江苏省淮安市2024-2025学年高一下学期期末调研测试数学试题（解析版）

2025学年度第二学期期末高一调研测试数学试题2025.06注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，只要将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.为虚数单位，的值为（）A. B.5 C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法运算结合复数模的计算公式可得结果.【详解】因为，所以.故选：A.2.某校高一年级共有学生1000人，选科组合只有“物化生”、“物化地”和“历政地”三种组合，其中选择“物化生”、“物化地”的学生人数分别为600，250.现采用分层抽样的方法选出40人进行职业生涯规划调查，则从“历政地”组合中选出的学生人数为（）A.3 B.5 C.6 D.10【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样的特征结合题意求解即可.【详解】由题意得，选择“物化生”、“物化地”和“历政地”的学生人数比为，所以采用分层抽样的方法选出40人进行职业生涯规划调查，从“历政地”组合中选出的学生人数为.故选：C.3.在中，角，，对应的边分别为，，，，，，则为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理即可.【详解】由余弦定理得，，即，得.故选：D4.，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据两角和、差余弦公式化简求值，结合同角三角函数的基本关系可得结果.【详解】由题意得，，所以，所以.故选：B.5.已知，是两个不同的平面，是一条直线，下列条件中一定能使成立的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.【详解】A.若，，则或，故A错误；B.若，，则或，故B错误；C.若，，则，或或相交，故C错误；D.若，，则，故D正确.故选：D6.已知，，若，互斥，则（）A.0.36 B.0.54 C.0.6 D.0.9【答案】D【解析】【分析】根据，互斥，，求解即可.【详解】因为，互斥，所以，，故，故选：D.7.已知数据的平均数为7，方差为12，那么数据的平均数和方差分别为（）A.2，3 B.2，6 C.4，3 D.4，6【答案】A【解析】【分析】设的平均数为，方差为，利用平均数和方差的性质得到方程，求出答案.【详解】设的平均数为，方差为，则数据的平均数为，方差为，所以，，解得，.故选：A8.不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设相应事件，利用列举法可得，结合古典概型运算求解即可.【详解】因为样本空间，，可得，设“记录号码为4”为事件A，由题意可知：，可得，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，下列结论正确的有（）A. B.与同向的单位向量是C.和的夹角为 D.与垂直的单位向量是【答案】BC【解析】【分析】根据，，逐项计算验证即可.【详解】因为，，所以，故A错误；与同向的单位向量是，故B正确；,，故C正确；与垂直的单位向量有或，故D错误；故选：BC.10.已知，且，下列结论正确的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据结合求得，，由计算可判断A；由计算可判断B；由计算可判断C；直接计算可判断D.【详解】因为，且，，所以，，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD11.如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点，下列结论正确的有（）A.存在点，使得共面B.存在点使得C.三棱锥的体积为定值D.到距离的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，当点为中点时，利用中位线的性质可证得，即可得四点共面；对于B，取中点，连接，利用中位线的性质可证得四边形为平行四边形，则，利用反证法假设存在点使得，结合线面垂直的判定和性质定理可证得，显然与题意矛盾；对于C，利用等体积法，结合线面平行的判定定理求得点面距为定值，由此可求得三棱锥体积为定值；对于D，根据定义作出点到距离，当点在点处时，取得距离的最大值为.【详解】对于A，如图，当点为中点时，连接，因为，分别为，的中点，所以所以，，则四点共面，又为线段上的动点，所以共面，故A正确；对于B，如图，取中点，连接，因为，分别为，的中点，所以,且，所以，即四边形为平行四边形，则.若存在点使得，则，因为平面，平面，所以，因为底面为正方形，所以，又平面平面，所以平面，而平面，所以.由，，平面，平面，可得平面，又平面，故，显然与题意矛盾.所以不存在点使得，故B错误；对于C，设点到平面的距离为，由B可知，，因为平面，平面，所以平面，所以为定值.因为是定值，故C正确；对于D，如图，取中点，连接，则，过点作于点，则，过点作于点，连接，因为平面平面，所以平面,又平面，，故即为点到距离.在中，，当点在点处时，，此时为最大值，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平行四边形中，，，若为线段上靠近的三等分点，交于，则________.（用，表示）【答案】【解析】【分析】由得到，结合图形，由平面向量的线性运算可得结果.【详解】由为线段上靠近的三等分点，则，由题意，易得，所以，故有，所以.故答案为：.13.在中，若，是关于的方程的两个实根，则________.【答案】0【解析】【分析】先根据题意，利用韦达定理及和两角和的正切公式得出；再根据三角形内角和性质求出，进而可求解.【详解】因为，是关于的方程的两个实根，所以由韦达定理可得：，则.又因为，所以.又因为,，所以，则.故答案为：.14.如图，有一长方体密封容器用于装水，底面为边长为2的正方形，高为4，因不慎在顶点和棱的中点，处各破损了一个小孔（小孔大小和容器厚度忽略不计）.若该容器可以任意放置，则该容器可装水的最大体积为________.【答案】12【解析】【分析】根据平面确定定理，三点共面，正方体被平面截成两部分，由此求出较大一部分体积；截面过时，设与交于点，与相交于，通过计算三棱台的最小值即可确定该容器可装水的最大体积.【详解】连接，在正方体中，分别是棱的中点，，又，所以，即共面，又平面平面，所以与相交于一点，即多面体为棱台，，则另一部分体积，此时该容器可装水的最大体积为.截面过时，设与交于点，与相交于，设，在长方体中，易得为三棱台，则，即，，当，即时取等，此时，另一部分的体积，此时该容器可装水的最大体积为12.综上，该容器可装水的最大体积为12.故答案为：12.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知复数在复平面上对应点在第四象限，且，的虚部为.（1）求复数；（2）设复数、、在复平面上对应点分别为，，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设复数，，根据题目条件建立方程组求解出，即可求解.（2）先根据共轭复数的定义及复数的运算法则求出，；再根据复数的几何意义写出相应点的坐标；最后根据平面向量的坐标表示及数量积的坐标运算即可求解.【小问1详解】设复数，.因为复数在复平面上对应点在第四象限，且，的虚部为.则，解得：，所以.【小问2详解】因为，所以，.则，，，所以，.所以.16.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在千瓦时之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示.（1）求直方图中的值，并求被调查用户月用电量的中位数；（2）从月用电量在150千瓦时以上的用户中抽取1户作为调查对象，求其月用电量在150~200千瓦时之间的概率.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据频率和为可求得的值，结合频率分布直方图可计算中位数；（2）分别计算月用电量在150千瓦时以上和月用电量在千瓦时的用户数，根据古典概型概率的计算公式可得结果.【小问1详解】由题意得，，解得.因为月用电量在千瓦时频率为，月用电量在千瓦时的频率为，所以被调查用户月用电量的中位数在，设中位数为，则，解得，所以被调查用户月用电量的中位数为.【小问2详解】因为月用电量在150千瓦时以上的用户数为，月用电量在千瓦时的用户数为，所以从月用电量在150千瓦时以上的用户中抽取1户作为调查对象，月用电量在千瓦时之间的概率.17.已知，，，，.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示计算可得，结合的范围利用同角三角函数的关系式计算可得，利用切化弦结合两角和差的正、余弦公式计算可得；（2）利用同角三角函数的关系式计算得，再将变形成两角和，利用两角和的正弦公式计算即可得解.【小问1详解】，.，，又，.，则.由，可得，即，所以.又，..小问2详解】由（1）可知，，，，则.所以.18.在中，角，，对应的边分别为，，，.（1）求；（2）若的平分线交于.①若与面积之比为，求的值；②若中点为，且，，求的面积.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）利用正弦定理转化后，结合三角形的内角和与三角恒等变换，可求角；（2）①利用三角形的面积公式，结合可得，又由余弦定理可得，于是得到的值.②设，，利用可得，利用可得，可求出的值，进而求的面积.【小问1详解】在中，由正弦定理得，因为，代入得.，，.，，.【小问2详解】①，.因为，，则有，解得.在中，由余弦定理得，解得..②设，.，.，代入化简得①.②代入①得..19.如图，三棱锥中，平面平面，，，.（1）已知为线段上一点，，求证：；（2）求三棱锥外接球体积；（3）若为线段的中点，与平面所成角为，求的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由余弦定理求出，，，由勾股定理逆定理得到，由面面垂直得到线面垂直，进而证明出结论；（2）推出三棱锥外接球球心一定在平面内，且为的外心，由正弦定理求出的外接圆半径，从而求出外接球半径，得到外接球体积；（3）作出辅助线，得到为与平面所成的角，分在线段上和在线段上，表达出，换元后，结合函数单调性和基本不等式求出最值，得到结论.【小问1详解】连接，在中，因为，，由余弦定理知，故，所以.在中，，由余弦定理知，由勾股定理有，.又平面平面，平面平面，平面，平面.平面，.【小问2详解】为直角三角形