江苏省连云港市灌南县2024-2025学年高一下学期6月期末调研考试数学试题（解析版）

PAGE12024~2025学年第二学期期末调研考试高一数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由区间及并集定义可得答案.【详解】由题，则.故选：C2.不等式的解集为（）A. B.或C. D.【答案】B【解析】【分析】由题可得不等式解集.【详解】或，则得或.则解集为或.故选：B3.复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由复数除法运算结合复数几何意义可得答案.【详解】，则对应点为，在第二象限.故选：B4.已知向量满足，若，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积的运算律，建立方程并化简，可得答案.【详解】设与的夹角为，由，则，解得.故选：C.5.在某频率直方图中，从左到右共有11个小矩形，若居中的那个小矩形的面积等于其他10个小矩形的面积和的，且样本容量为160，则居中的那组数据的频数为（）．A.32 B.0.2 C.40 D.0.25【答案】A【解析】【分析】根据题意得到居中的那个小矩形的面积占全部面积的，计算得到答案.【详解】根据题意：居中的那个小矩形的面积占全部面积的，故.故选：A.6.在长方体中，若，，则与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因为，所以与所成角等于与所成的角，在中，利用余弦定理求解即可．【详解】解：如图，连接，．在长方体中，因为，所以与所成角等于与所成的角；在中，，由余弦定理得．故选：A．7.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据，利用两角和差的三角公式化简所给的式子，可得结论．【详解】，，，，故选：D．8.已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将正四面体如图放于正方体中，由题目条件可得外接球半径，注意到四面体相似于四面体，相似比为，据此可得球心到到平面距离，然后可得截面圆半径，可得答案.【详解】将正四面体如图放于正方体中，因的所有棱长均为，则正方体棱长为，该正四面体的外接球即正方体的外接球，球心O为正方体中心，外接球半径为.因D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则棱长均为，则四面体相似于四面体，相似比为.注意到，则，设中心为，则为正四面体的高.则.又三点共线，则到平面距离为.注意到该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面为圆，则圆半径为，故截面面积为.故选：C二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.设α，β，γ表示三个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，，则【答案】BCD【解析】【分析】由平面与平面的位置关系判断AB；由直线与平面垂直的性质判断CD．【详解】若，，则或相交，故A错误；若，，则，故B正确；若，，，则，故C正确；若，，，则，则D正确．故选：BCD．10.一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的4个小球，其中有2个红球，1个白球和1个黑球．从中1次随机摸出2个球，记事件A为“2个都是红球”，事件B为“1个红球1个白球”，事件C为“有1个球是黑球”，事件D为“至少有1个是红球”，则（）A. B.C.事件A，B为相互独立事件 D.事件A，B为互斥事件【答案】ABD【解析】【分析】设2个红球为，白球为，黑球为，由题可得各事件样本空间，据此可判断各选项正误.【详解】设2个红球为，白球为，黑球为.则1次随机摸出2个球的样本空间为：6种情况.对于A，事件A的样本空间为，则，故A正确；对于B，事件B样本空间为：，事件C样本空间为：，事件D样本空间为：，则，，则，故B正确；对于CD，由以上分析可得事件A，B不能同时发生，又则事件A，B为互斥事件.故C错误，D正确.故选：ABD11.在中，，分别是的中点，将沿着DE翻折，使点A运动到点P处，得到四棱锥，则（）A.对任意的点P，始终有B.存在某个点P的位置，满足平面平面C.对任意的点P，始终有平面与平面的交线D.当二面角为时，四棱锥的体积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理求得平面,即可证明结论；对于B，找出平面与平面所成的二面角，根据题意推导出，再推出B错误；对于C，利用线面平行的判定与性质定理即可证明结论；对于D，求出四棱锥的高即可利用体积公式算出结果即可.【详解】对于A：取的中点F，连接交与O，连接PF，可知点O为的中点，又因为为的中点，所以，即，同理得到,又，平面，所以平面，因为，所以平面，又因为平面，所以，故A正确；对于B：设平面平面，因为平面，故平面，又平面，则，由选项A知平面，所以平面，则为平面与平面所成的二面角，因为，所以不可能为直二面角，故B错误；对于C：设平面平面，因为平面，故平面，又平面,则，故C正确；对于D：如图，取的中点，连接交与，连接，可知点为的中点，又因为为的中点，所以即，同理得到，又，平面，所以平面，所以二面角的平面角为,故，再过点P作平面的垂线交于点H，在直角三角形中，，，所以，故D错误；故选：AC三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.数据2，6，8，3，3，4，6，8的上四分位数为________．【答案】【解析】【分析】根据百分位数的定义计算即可.【详解】将数据从小到大排序为：2，3，3，4，6，6，8，8，，所以上四分位数第6个数与第7个数的中位数，为故答案为：.13.一个正四棱台形油槽的上、下底面边长分别为60cm和40cm，深度为75cm，则该油槽的容积为________L．【答案】【解析】【分析】由棱台的体积公式即可求解.【详解】该油槽的容积为.故答案为：.14.在中，若，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】先化简已知式可得，代入余弦定理，由基本等不等式即可得出答案.【详解】由可得：，所以，设中，角对应的边为，所以，所以，所以，当且仅当时取等，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，函数的最小值为0．（1）求常数m的值；（2）求函数的图象的对称中心．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式化简，再求出，即可求出常数m的值；（2）由（1）可得，令，即可求出函数的图象的对称中心.【小问1详解】，因为，所以，所以.【小问2详解】由（1）可得：，令，则，所以函数的图象的对称中心为.16.某厂生产的12件产品中，有10件合格品、2件不合格品，合格品与不合格品在外观上没有区别．从这12件产品中任意抽检2件．（1）求2件都是合格品的概率；（2）求1件是合格品、1件是不合格品的概率；（3）若抽检的2件产品都是不合格品，则这批产品将被退货，求这批产品没有被退货的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）可得从12件产品中任意抽检2件的基本事件数的共个数，同时可得其中2件都是合格品的事件数，代入古典概型计算公式可得答案；（2）可得1件是合格品、1件是不合格品的事件数，代入古典概型计算公式可得答案；（3）可得抽检的2件产品都是不合格品的事件数，代入古典概型计算公式可得这批产品没有被退货的概率.【小问1详解】从12件产品中任意抽检2件，共有种抽取方法，其中2件都是合格品的事件数有：种，可得2件都是合格品的概率：.【小问2详解】其中1件是合格品、1件是不合格品的事件数有：种，可得1件是合格品、1件是不合格品的概率：;【小问3详解】抽检的2件产品都是不合格品的事件数有种，可得抽检的2件产品都是不合格品的概率：，即这批产品没有被退货的概率为.17.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．（1）求A；（2）若，的面积为，求a．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换即可求解；（2）由三角形面积公式求得，再由余弦定理即可求解.【小问1详解】因为，所以，即，即，因为，所以，所以，即，即，因为，所以，所以，解得；【小问2详解】由题意，解得，所以由余弦定理有，解得.18.如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，O为BD的中点．（1）证明：平面；（2）求点C到平面MBD的距离；（3）证明：平面平面．【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）由题意先证得，再由线面平行的判定定理即可证明；（2）由等体积法可得，再由棱锥的体积公式即可得出答案；（3）取中点为，由，则平面即为平面，先证得，，再由线面垂直的判定定理可证得平面，最后由面面垂直的判定定理即可证明平面平面．【小问1详解】连接，因为四边形为正方形，O为BD的中点，所以过点，且为的中点，在中，分别为的中点，所以，平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为，因为底面，底面，所以，所以，所以，，设点C到平面MBD的距离为，因为，所以，所以，所以.所以点C到平面MBD的距离为.【小问3详解】取的中点为，连接，，连接与交于点，由正方体的性质可得，所以五点共面，所以平面即为平面，又由正方体的性质可得平面，平面，所以，在三角形中，，所以，又因为，所以，所以在三角形，，所以，平面，，所以平面，又因为平面，所以平面平面.19.如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，，点C是圆O上不同于的任意一点，E为的中点．（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值；（3）若点为圆O（含圆周）内任意一点，它到点距离与到直线的距离相等，求三棱锥体积的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用线面垂直性质得，再根据直径的特点得，最后利用线面垂直的判定即可证明；（2）取中点为，连结，利用余弦定理得，再次在中利用余弦定理即可得到答案；（3）过点作，垂足为，利用线面垂直判定定理即可得到平面，再求出，最后根据锥体的体积公式即可得到范围.【小问1详解】因为平面，且平面，所以，因为点在以为直径的圆上，所以，又因为平面平面，所以平面．【小问2详解】因为平面，平面，所以，因为，所以，因为平面，则为直