江苏省徐州市2024-2025学年高一下学期期末抽测数学试题（解析版）

PAGE12024~2025学年度第二学期期末抽测高一年级数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则的虚部为（）A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法法则化简即可.【详解】由题意得，，故的虚部为.故选：A2.已知，，则（）A.2 B. C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】根据向量的坐标表示和向量的模进行求解即可.【详解】因为，所以.所以.故选：B.3.用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生600人，则该校学生总数为（）A.1400人 B.1600人 C.1800人 D.2000人【答案】C【解析】【分析】根据分层抽样的性质先求出抽样比，进而求解即可【详解】因为用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，所以高二年级要抽取人，因为该校高二年级共有学生600人，所以每个个体被抽到的概率是，所以该校学生总数是，即该校学生总数为1800人．故选：C.4.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出从4张卡片中不放回地随机抽取2张所有可能的组合的可能数，求出和为奇数的条件的组合数即可求解.【详解】从4张卡片中不放回地随机抽取2张，所有可能的组合有：，共种等可能的结果，和为奇数的条件是一奇一偶，符合条件的组合为：，所以抽到的2张卡片上的数字之和是奇数的概率为.故选：D.5.设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】B【解析】分析】根据线面位置关系，逐项检验，可得答案.【详解】对于A，由，，则或，故A错误；对于B，由，则，使得，由，则，即，故B正确；对于C，由题意可得与的位置关系可能为相交、平行或在面内，当与相交时，与的位置关系可能是相交或异面不垂直，故C错误；对于D，当且时，，，，故D错误.故选：B.6.在梯形中，，，，，若在上的投影向量为，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设，则，利用投影向量可得，利用向量的数量积的定义及运算律可求解.【详解】依题意，设，则，因为在上的投影向量为，所以，又，所以，所以，即，因，，，则，解得，所以.故选：C.7.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（）A.A，B相互独立 B.A，B互斥C. D.【答案】C【解析】【分析】根据古典概型的概率计算，由互斥事件、独立事件以及对立事件的概率公式，可得答案.【详解】由题意可得，，，由，则，故C正确，B错误；由，则事件不是相互独立的，故A错误；由，则D错误.故选：C.8.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用两角和的余弦公式和辅助角公式将题设等式化简，得到，再利用二倍角余弦公式即可求得.【详解】因为所以，所以.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有两组样本数据：和，则这两组样本数据的（）A.样本平均数不相同 B.样本中位数相同C.样本标准差不相同 D.样本极差相同【答案】AD【解析】【分析】利用平均数、中位数、标准差、极差的意义逐项分析判断即可.【详解】对于A，两组数据的平均数分别为，，故A正确；对于B，数据的中位数是2，数据的中位数是4，故B错误；对于C，两组数据的标准差都为，故C错误；对于D，两组数据的极差分别为，故D正确.故选：AD10.在锐角中，，，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】对于选项A，将两个等式利用和差的正弦公式展开，即可求得的值；对于选项B，根据条件求出的值，进而可得到的关系；对于选项C，根据先求出其余弦值，进而得到正切值；对于选项D，首先将展开，然后根据求出.【详解】对于选项A：因为，所以①②，所以，所以A正确；对于选项B：因为，.所以，即，所以B正确；对于选项C：因为，所以.所以，所以C正确；对于选项D：因为，.又，所以，化简得，所以解得.又是锐角，所以，所以，D正确.故选：ABD.11.如图①，在长方形中，，，M，N为的三等分点，P，为的三等分点，连接，，，分别交于点K，G，O.如图②，将沿翻折至，形成三棱锥，则（）A.平面B.当时，直线与所成的角C.当二面角为时，D.直线上的点到直线的最短距离为【答案】ACD【解析】【分析】在矩形中可证、、，故可证平面，从而可判断A的正误，对于B，连接，或其补角为异面直线所成的角，结合线面垂直的性质判断其正误，对于C，在平面中，过作，垂足为，连接，结合余弦定理及垂直关系转化计算后可判断其正误，对于D，由公垂线可知直线上的点到直线的最短距离即为，故可判断其正误,【详解】对于A，在矩形中，因为为的三等分点，故，同理，而，故四边形为平行四边形，故，同理.在直角三角形中，，故，而为锐角，故，同理，故，故，故，同理，故在三棱锥中，有，而平面，故平面，故A正确；对于B，连接，因为，故或其补角为异面直线所成的角，当时，，又因为，所以平面，而平面，所以故直线与所成的角是，故B错误；对于C，当二面角为时，在平面中，过作，垂足为，连接，由A的分析可得,，故为二面角的平面角，故，故，故，，其中，，故，故，所以，故，因为平面，而平面，故平面平面，而平面平面，平面，故平面，因为平面，故，故，故，故C正确；对于D，由A的分析可得，，故为与的公垂线，故直线上的点到直线的最短距离为即为，故D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为_____.【答案】【解析】【分析】由题意可得母线长与底面半径，利用侧面展开图是扇形可求侧面积.【详解】由题意可得圆锥的母线长，底面半径为，所以圆锥的侧面积为.故答案为：.13.已知数据1，2，4，的方差为，则______.【答案】或3【解析】【分析】根据方差公式计算即可.【详解】数据1，2，4，的平均数为，故方差为，化简可得，即，解得或.故答案为：或314.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为_____.【答案】【解析】【分析】由题意得，结合余弦定理、基本不等式有的最大值为12，结合三角形面积公式即可得解.【详解】由题意，所以，而，解得，由余弦定理有，所以，等号成立当且仅当，所以的最大值为12，所以的面积的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.近日，江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）登上热搜，为了解各年龄层对“苏超”的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求选取的市民年龄在内的人数；（2）利用频率分布直方图的组中值对这200名市民的年龄的平均数进行估计；（3）根据频率分布直方图，估计这200名市民的年龄数据的70%分位数.【答案】（1）140人（2）岁（3）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出市民年龄在内的频率，进而可求出频数.（2）根据频率分布直方图求平均数.（3）根据百分位数的定义和公式进行求解计算.【小问1详解】由频率分布直方图可得市民年龄在内的频率为，由题得，随机选取了200名市民，所以市民年龄在内的人数为.所以选取的市民年龄在内的人数为140人.【小问2详解】由频率分布直方图，可估计200名市民年龄的平均数为.所以这200名市民的年龄的平均数为37岁.【小问3详解】由频率分布直方图，可知市民年龄在内的频率之和为，市民年龄在内的频率之和为，所以70百分位数应在中，设为，可得，解得.所以这200名市民的年龄数据的70%分位数为42.5.16.已知复数，，.（1）当时，求和；（2）设，在复平面内对应的点分别为A，B，O为原点，若，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数求复数标准式，由复数的乘法以及加减，结合模长公式，可得答案；（2）由复数的几何意义写出点的坐标，根据数量积的坐标计算以及三角函数的辅助角公式，可得答案.【小问1详解】当时，，，所以，，则.【小问2详解】由已知得，，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以，即.17.如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求C；（2）设D为中点，分别在边，上取点E，F，使点C，D关于直线对称，若，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理对等式进行角化边并整理化简，从而解得所求角的余弦值，可得答案；（2）由正弦定理与余弦定理求得三角形的边与角，根据中垂线以及中点的性质，利用余弦定理，可得答案.【小问1详解】在中，由余弦定理可得.所以即，所以.又因为，所以.【小问2详解】因为，，由余弦定理得，即，所以，，连接，，则，设为，，设为y，在中，由余弦定理得，解得，在中，由余弦定理得，解得，所以.18.定义向量，.（1）求；（2）若与共线，求；（3）证明：当且仅当时，对任意恒成立.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）按题目所给定义带入相应值求解；（2）根据两共线向量的坐标关系列出等式，再利用同角三角函数商的关系、二倍角的正切公式进行计算即可.（3）按题目所给定义将不等式化简为证明，当时，不等式对成立，当时方法一与方法二均为取特值说明不等式不恒成立.【小问1详解】因为，，所以.【小问2详解】因为与共线，所以，因为，所以，，所以，所以.【小问3详解】因为，，要证，只要证.方法1：①当时，对成立，②当时，取，，解得，取，，所以，，即，，又因为，，所以不存在使原不等式成立.综上所述，当且仅当时，.方法2：令，，则，①当时，成立，②当时，取，，，而，所以.③当时，取，，，而，所以.④当时，取，，，而，所以.综上所述，当且仅当时，.19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，.（1）证明：平面；（2）若平面平面，证明：点P，A，B，C在以D为球心的同一球面上；（3）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由题意可得，由线面平行的判定定理可得结论；（2）取中点E，连接，，平面，可求得，从而可得结论；（3）设P在底面上的射影为点G，平面，则就是与平面所成的角.当点G在上，则就是与平面所成的角，求解可得范围，当点不在上，连接，，设，，，，可求得，，进而得，求解即可.【小问1详解】因为底面为菱形，所以，又因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】取中点E，连接，，因为底面是边长为2的菱形，且，所以，，.又因为，所以，因为平面平面，，平面平面，