江西省南昌市南昌中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（解析版）

PAGE12025~2026学年度第一学期南昌中学三经路校区12月份考试高二数学考试时间：120分钟；命题人：叶淑英；审题人：揭芬芳一、单选题（共40分）1.点到平面的距离为（

）A. B.5 C.3 D.1【答案】B【解析】【分析】根据空间点的坐标的含义，即可得答案.【详解】点在平面上的射影是，则点到平面的距离为，故选：B.2.若方程表示圆，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由圆一般方程列不等式即可解得.【详解】要使方程表示圆，只需，解得：.故选：A3.设抛物线：（）的焦点为，若点在上，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解法一：将点的坐标代入抛物线方程求出，则可求出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义可求得结果；解法二：将点的坐标代入抛物线方程求出，从而可求出焦点，然后利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】解法一：因为点在上，所以，得，所以抛物线的准线方程为.由抛物线的定义，等于到准线的距离，即，解法二：因为点在上，所以，得，所以，所以，所以，故选：C.4.已知点在圆上，直线l过点A且与圆C相切，若直线l与两坐标轴交点分别为M､N，则（

）A. B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】由点在圆上，结合圆的切线的性质，求得直线的斜率，得到直线的方程，进而求得点的坐标，利用两点间距离公式，即可得解.【详解】由圆，可得圆心，因为为切点，所以，所以直线的斜率为，所以的方程为，即直线，令，可得，再令，可得，即，则.故选：C.5.给出以下命题，其中正确的是（）A.直线的方向向量为，平面的法向量为，则⊥B.平面经过三个点，向量是平面的法向量，则C.平面、的法向量分别为，，则∥D.直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直【答案】D【解析】【分析】根据空间位置关系的向量证明逐项分析判断.【详解】对A：∵，则，故或，A错误；对B：对于平面可得，若向量是平面的法向量，则，解得，故，B错误；对C：显然不存在实数，使得成立，则不共线，故与不平行，C错误；对D：∵，则，故，D正确.故选：D6.在三棱锥中，M是平面上一点，且，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】结合向量的减法运算对已知关系进行变形，结合向量四点共面结论列方程求.【详解】根据向量的减法运算可得，又，所以，所以，所以，又M是平面上一点，所以，所以，所以，所以，，，所以，，，故选：B.7.已知椭圆的左焦点为，为椭圆上任意一点，若点，则的最大值为（

）A.4 B.3 C.6 D.5【答案】D【解析】【分析】由，结合图形即得.【详解】因为椭圆，所以，，则椭圆的右焦点为，.由椭圆的定义得：，当点Q在点处，取等号，所以的最大值为5，故选：D.8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点M，N分别在双曲线的左、右支上，且，以为直径的圆过点，点P在双曲线的右支上，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意画出图形，可得四边形为矩形，设，即可表示出、、，再在直角三角形中利用勾股定理求出，即可求出离心率.【详解】解：易知四边形为矩形，设，则，，，在中，，即，解得，所以，，在中，即，所以.故选：C二、多选题（共18分）9.点在圆上，点在圆上，则（）A.的最小值为B.的最大值为C.两个圆相交弦所在直线的方程为D.两圆的公共弦长为【答案】BCD【解析】【分析】根据圆的方程可确定圆心和半径，根据圆心距和两圆半径关系可确定两圆相交；根据圆的几何性质可知AB正误；根据相交弦所在直线求法和垂径定理可得CD正误.【详解】由圆的方程知：圆心，半径；由圆的方程知：圆心，半径；则两圆圆心距，，两圆相交；对于A，两圆相交，当为两圆同一个公共点时，，即，A错误；对于B，，B正确；对于C，两圆方程作差可得相交弦所在直线方程：，C正确；对于D，圆心到相交弦所在直线的距离，两圆公共弦长为，D正确.故选：BCD.10.如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（）A.B.C.D.向量在方向上的投影数量为【答案】AC【解析】【分析】根据题意，利用空间向量线性运算，可判断A正确；利用空间向量数量积的运算性质与运算，可判断B错误，C正确；根据投影的定义及计算公式，可判断D错误.【详解】对于A：由，可得，则，所以A正确；对于B，由，所以，所以B错误；对于C，，所以C正确；对于D，向量在方向上的投影数量为，所以D错误；故选：AC.11.已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则下列说法正确的是（）A.椭圆的离心率为 B.存在点，使得C.的最小值为 D.内切圆半径的最大值为【答案】AD【解析】【分析】对于A：根据椭圆方程可得，即可得离心率；对于B：分析可知以为直径的圆与椭圆没有交点，即可判断B；对于C：整理可得，结合的范围分析判断；对于D：利用等面积法可得，进而分析的面积的最值即可.【详解】不妨设分别是左、右焦点.对于选项A：由椭圆方程可得，，，所以椭圆的离心率为，故A正确；对于选项B：因为，可知以为直径的圆与椭圆没有交点，所以不存在点使得，故B错误；对于选项C：由于对有，，从而所以不可能以为最小值，故C错误；对于选项D：设内切圆半径为，则，故.当且仅当点为短轴顶点时，取到最大值，所以内切圆半径的最大值为，故D正确；故选：AD.三、填空题（共15分）12.若点关于轴对称，则____________.【答案】2【解析】【分析】根据空间中点关于坐标轴对称得解.【详解】因为点关于轴对称,所以，所以，故答案为：213.若三点共线，则______．【答案】【解析】【分析】由三点共线转换为向量共线来做，根据向量共线定理列出方程即可得解.【详解】，且三点共线，存在实数，使得．即，解得故答案为：.14.椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，.点O是坐标原点，点A是椭圆的左顶点，的中点M为双曲线的左顶点，设椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足，则椭圆的离心率______.【答案】##【解析】【分析】根据的中点M为双曲线的左顶点得，根据椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，可得，再由可得答案.【详解】因为的中点M为双曲线的左顶点，所以，椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，满足，所以，可得，所以，代入可得，则椭圆的离心率.故答案为：.四、解答题（共77分）15.直三棱柱中，，，，分别是的中点．（1）求的值；（2）求证：⊥平面．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算求的值；（2）利用向量法证明线线垂直，可证线面垂直.【小问1详解】直三棱柱中，平面，又，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意得，，∴，，，，，所以；【小问2详解】求得，．∴，，，∴，，∴，，即，又平面，平面，，∴⊥平面．16.已知空间中三点，，，设，．（1）已知向量与互相垂直，求的值；（2）求的面积．【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）由向量垂直的充要条件可得；（2）先由向量夹角公式求得的余弦，进而求得正弦，再利用三角形面积公式即可求解.【小问1详解】因为，，，所以，，，因为向量与互相垂直，所以，解得．所以的值是5．【小问2详解】由（1）可得．故，所以．17.已知圆，直线．（1）判断并证明直线l与圆C的位置关系；（2）设直线l与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为，求直线l的方程．【答案】（1）直线与圆相交，证明见解析；（2）直线的方程为或.【解析】【分析】（1）由题可得，由得直线恒过定点，再由定点与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系；（2）利用条件可分析出弦所对圆心角，据此求出圆心到直线的距离，即可求解.【小问1详解】因为直线的方程为，所以，由得，，所以直线恒过定点，因为，所以点在圆内，故直线与圆相交；【小问2详解】因为圆的方程为，所以点的坐标为，半径为2，因为点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故,所以，故圆心到直线的距离，直线斜率不存在时，直线的方程为，因为点到直线的距离为1，所以直线满足条件，即直线的方程可能为，当直线斜率存在时，设直线方程为，则圆心到直线的距离，解得，所以直线的方程为，故直线的方程为或.18.已知椭圆的左､右焦点分别为，且过点，过点的一条直线与椭圆相交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）若，试求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用椭圆过已知点以及向量数量积的条件，结合椭圆中的关系，求解椭圆的标准方程即可.（2）先分析特殊情况（直线与轴垂直），再设出直线的斜截式方程，代入椭圆方程，利用韦达定理得到根与系数的关系，结合线段长度的比例关系建立方程，求解直线的斜率，进而得到直线方程.【小问1详解】根据题意作图如下：设，椭圆过点，所以有，，又，则，所以，则，所以，整理得，因为，所以解得，故椭圆的方程为.【小问2详解】根据题意作图如下：若，则.当直线与轴垂直时，其方程为，则，，不满足题意.设直线的方程为，代入椭圆方程得，整理得，即.设，则①，②.因为，在直线上，且在的两侧，所以，则，所以③.由①③解得，代入②，得解得，所以直线的方程为，即或，综上，直线的方程是或.19.已知点在离心率为的双曲线上．（1）求的方程；（2）过点的直线与相交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过轴上的定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析，定点坐标为.【解析】【分析】（1）根