2025 八年级数学上册新授课分式的约分与通分课件

一、教学背景分析：为何要学？学什么？演讲人教学背景分析：为何要学？学什么？01总结升华：分式约分与通分的“数学本质”02教学过程设计：从旧知到新知，从理解到应用03作业布置：分层落实，延伸思考04目录2025八年级数学上册新授课分式的约分与通分课件作为深耕初中数学教学十余年的一线教师，我始终认为，分式的约分与通分是分式运算的“地基工程”——它不仅直接关联着后续分式的加减乘除运算，更深刻体现了“类比迁移”“化归转化”等重要数学思想。今天，我将以“分式的约分与通分”为核心，结合八年级学生的认知特点与教学实践中的常见问题，展开一节逻辑清晰、层次分明的新授课。01教学背景分析：为何要学？学什么？1教材地位与作用分式是七年级“整式”知识的延伸，也是九年级“二次根式”“方程与不等式”的重要基础。约分与通分作为分式运算的核心技能，其本质是对分式基本性质的应用——这就像分数的约分通分是分数加减乘除的前提一样，分式的约分通分是分式化简、求值、解方程的必要准备。以人教版八年级上册第十五章“分式”为例，本节内容承接“分式的概念与基本性质”，后续将直接服务于“分式的乘除”“分式的加减”等课时，是知识链条中承上启下的关键节点。2学情分析与目标设定1八年级学生已掌握分数的约分通分、整式的因式分解（包括提公因式法、公式法），但对“分式中字母取值的隐含条件”“多项式因式分解的彻底性”等问题仍存在认知盲区。基于此，我将本节课的教学目标设定为：2知识与技能：理解分式约分与通分的定义，掌握最简分式、最简公分母的判断方法，能准确完成单项式分母、多项式分母的分式约分与通分；3过程与方法：通过类比分数的约分通分，经历“观察—猜想—验证—归纳”的探究过程，体会“从特殊到一般”“化复杂为简单”的数学思想；4情感态度与价值观：在纠错与合作中感受数学的严谨性，通过分式化简的简洁美激发学习兴趣，增强“用数学工具解决问题”的信心。3教学重难点界定重点：分式约分的步骤（找公因式、约去公因式）与通分的步骤（找最简公分母、变形为同分母分式）；难点：多项式分母的公因式与最简公分母的确定（尤其是需要先因式分解的情况），以及符号问题的处理（如分子或分母为负时的变形）。02教学过程设计：从旧知到新知，从理解到应用1情境导入：从分数到分式的“老朋友”“同学们，上周五的数学小测中，有一道题难倒了不少人：化简(\frac{12}{18})并说明依据。大家还记得正确答案吗？”（学生齐答：(\frac{2}{3})，依据是分数的基本性质）“那如果把数字换成字母，变成(\frac{12a}{18a^2})，你们还会化简吗？这就是我们今天要研究的‘分式的约分与通分’。”通过“分数化简—分式化简”的类比，既唤醒学生已有经验，又自然引出课题。此时我会展示两组对比练习：第一组：(\frac{6}{15})→(\frac{2}{5})；(\frac{18x^2y}{27xy^3})→？第二组：(\frac{3}{4})与(\frac{5}{6})通分→(\frac{9}{12})与(\frac{10}{12})；(\frac{1}{2x})与1情境导入：从分数到分式的“老朋友”(\frac{1}{3y})通分→？学生通过计算会发现：分式的约分通分与分数的本质一致，都是“保持值不变，改变形式”，但分式中多了字母和多项式，需要关注“公因式”与“公分母”的确定。2新授环节一：分式的约分——化繁为简的艺术2.1定义与核心步骤“约分，就是把分式的分子与分母的公因式约去。就像整理书架，把重复的书拿走，让书架更简洁。”结合教材定义，我会强调三个关键词：公因式：分子分母都含有的因式（整式）；约去：分子分母同时除以公因式（依据是分式的基本性质）；结果要求：化为最简分式（即分子分母没有公因式）。2新授环节一：分式的约分——化繁为简的艺术2.2公因式的确定方法这是约分的关键，我会分三类情况逐步讲解：单项式与单项式：公因式的系数取分子分母系数的最大公约数，字母取相同字母的最低次幂。例如(\frac{12a^3b}{18a^2b^2})，系数最大公约数是6，字母a的最低次幂是(a^2)，字母b的最低次幂是(b)，故公因式是(6a^2b)，约分后为(\frac{2a}{3b})。单项式与多项式：先将多项式因式分解，再找公因式。例如(\frac{4x}{x^2+2x})，分母分解为(x(x+2))，分子是(4x)，公因式是(x)，约分后为(\frac{4}{x+2})。2新授环节一：分式的约分——化繁为简的艺术2.2公因式的确定方法多项式与多项式：必须先对分子分母分别因式分解，再找公因式。例如(\frac{x^2-4}{x^2-4x+4})，分子分解为((x+2)(x-2))，分母分解为((x-2)^2)，公因式是((x-2))，约分后为(\frac{x+2}{x-2})。2新授环节一：分式的约分——化繁为简的艺术2.3易错点警示在学生练习过程中，我会巡视并收集典型错误，通过投影展示并分析：错误1：(\frac{a+b}{a^2+b^2})直接约分为(\frac{1}{a+b})（错因：分子是和的形式，分母是平方和，无公因式）；错误2：(\frac{-x+y}{x-y})约分为1（错因：分子可变形为(-(x-y))，故公因式是((x-y))，约分后应为-1）；错误3：(\frac{6x^2y}{12xy^2})约分为(\frac{x}{2y})（正确，但需强调系数约分要彻底，避免出现(\frac{3x}{6y})这样的中间状态）。通过“示范—练习—纠错”的循环，学生逐渐掌握约分的规范步骤：“一分解（因式分解）、二找公（公因式）、三约去（分子分母同除公因式）、四检查（是否为最简分式）”。3新授环节二：分式的通分——异分母的“统一战线”3.1定义与核心目标“通分，就是把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式。就像给不同单位的量统一单位，方便后续运算。”我会对比分数通分强调：通分的关键是找到各分母的“最简公分母”，通分后的分母是最简公分母，分子则根据分式基本性质相应扩大。3新授环节二：分式的通分——异分母的“统一战线”3.2最简公分母的确定方法这是通分的难点，我会结合具体例子总结“三步骤”：1分解因式：将各分母分解为最简整式的乘积（单项式直接看系数与字母，多项式必须因式分解）；2取系数：取各分母系数的最小公倍数；3取字母（或整式）：取各分母中所有不同字母（或整式因式）的最高次幂。4例如，通分(\frac{1}{2x^2y})与(\frac{1}{3xy^3})：5分母分解：(2x^2y)，(3xy^3)；6系数最小公倍数：6；7字母最高次幂：(x^2)，(y^3)；83新授环节二：分式的通分——异分母的“统一战线”3.2最简公分母的确定方法最简公分母：(6x^2y^3)；通分结果：(\frac{3y^2}{6x^2y^3})，(\frac{2x}{6x^2y^3})。再如，通分(\frac{1}{x^2-4})与(\frac{1}{x^2-4x+4})：分母分解：((x+2)(x-2))，((x-2)^2)；系数最小公倍数：1；整式因式最高次幂：((x+2))，((x-2)^2)；最简公分母：((x+2)(x-2)^2)；通分结果：(\frac{x-2}{(x+2)(x-2)^2})，(\frac{x+2}{(x+2)(x-2)^2})。3新授环节二：分式的通分——异分母的“统一战线”3.3符号与变形技巧学生常因符号问题出错，我会强调：若分母为负，可通过分式基本性质将负号提到分式前（如(\frac{1}{-x+y}=\frac{-1}{x-y})）；若分子或分母是多项式，需先按降幂排列，再分解因式（如(-x^2+4)应变形为(-(x^2-4)=-(x+2)(x-2))）。4巩固练习：分层设计，螺旋提升为确保不同层次学生都能获得发展，我设计了“基础—提高—拓展”三级练习：4巩固练习：分层设计，螺旋提升4.1基础题（面向全体）约分：(\frac{15a^3b^2}{25a^2b^3})，(\frac{x^2-9}{x^2+6x+9})；通分：(\frac{1}{4a^2b})与(\frac{1}{6ab^2})，(\frac{1}{x-1})与(\frac{1}{x^2-1})。4巩固练习：分层设计，螺旋提升4.2提高题（面向中等生）若分式(\frac{x^2-4}{x^2-2x})是最简分式，求x的取值范围；通分(\frac{1}{(a-b)(b-c)})与(\frac{1}{(b-c)(c-a)})（提示：注意符号转化）。4巩固练习：分层设计，螺旋提升4.3拓展题（面向学优生）已知(\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4})，求分式(\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2})的值（提示：用参数法设比值为k，转化为整式后约分）；12练习过程中，我会采用“独立思考—小组讨论—教师点拨”的模式，鼓励学生讲解思路，暴露思维过程。例如在拓展题中，学生通过设(x=2k)，(y=3k)，(z=4k)，代入后分子分母的(k^2)会被约去，从而得到结果，这一过程能深刻体会约分在简化运算中的作用。3观察规律：(\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2})，(\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3})，类比写出(\frac{1}{(x+1)(x+2)})的“拆分”形式，并尝试通分验证。03总结升华：分式约分与通分的“数学本质”1知识网络构建01通过板书思维导图，梳理本节课的核心内容：02分式约分：公因式→最简分式（化繁为简）03分式通分：最简公分母→同分母分式（化异为同）2思想方法提炼类比思想：从分数到分式，将已知方法迁移到新情境；转化思想：通过因式分解将多项式转化为整式乘积，将异分母转化为同分母；简洁性原则：数学追求简洁美，约分与通分正是这种追求的体现。3情感价值升华“同学们，今天我们不仅学会了分式的约分与通分，更重要的是掌握了‘用已知解决未知’的学习方法。就像约分是去掉冗余、保留核心，通分是统一标准、协同合作，数学的智慧不仅在计算，更在对生活的启示——简化问题、兼容差异，才能走得更稳更远。”04作业布置：分层落实，延伸思考作业布置：分层落实，延伸思考010203基础作业（必做）：教材P132练习第1、2题（约分），P134练习第1、2题（通分）；提高作业（选做）：若分式(\frac{x^2-1}{(x+1)(x-2)})的值为0，求