2025 八年级数学上册新授课一次函数的应用问题课件

一、温故知新：一次函数的核心特征与建模基础演讲人温故知新：一次函数的核心特征与建模基础01实践探究：从“解题”到“用数学”的跨越02分类探究：一次函数应用的典型场景03总结升华：一次函数应用的核心思想与学习启示04目录2025八年级数学上册新授课一次函数的应用问题课件各位同学，上午好！今天我们要开启一次函数学习的新篇章——“一次函数的应用问题”。作为你们的数学老师，我仍记得三年前第一次带八年级时，有位同学课后问我：“学这些直线方程有什么用？买菜又用不上。”当时我笑着说：“等我们学完应用部分，你会发现生活里藏着无数条‘直线’。”今天，就让我们带着这样的疑问，从课本走向生活，用一次函数这把“钥匙”，打开数学与现实连接的大门。01温故知新：一次函数的核心特征与建模基础温故知新：一次函数的核心特征与建模基础要解决一次函数的应用问题，首先需要明确其数学本质。我们先回顾上节课的核心内容：1一次函数的定义与表达式一次函数的一般形式是(y=kx+b)（(k\neq0)），其中(k)是斜率，决定了函数的增减性；(b)是截距，代表当(x=0)时(y)的初始值。从图像上看，它是一条直线——这是其区别于二次函数、反比例函数的关键特征。2从“数”到“形”的转化能力一次函数的应用本质是“数学建模”：将实际问题中的变量关系抽象为(y=kx+b)的形式，再通过分析函数的性质（如增减性、交点、极值）解决问题。这需要我们具备两项能力：变量识别：确定问题中的自变量(x)（如时间、数量）和因变量(y)（如路程、费用）；关系提炼：通过表格、图像或文字描述，找到(y)随(x)变化的“线性规律”。举个例子，上周我们做过“匀速步行的路程问题”：小明以50米/分钟的速度从家出发，离家5分钟后，路程(s)与时间(t)的关系是(s=50t)（(t\geq0)）。这里(k=50)是速度，(b=0)是初始路程（未出发时离家0米）。这个简单的模型，就是一次函数应用的雏形。02分类探究：一次函数应用的典型场景分类探究：一次函数应用的典型场景一次函数的应用场景广泛，但核心逻辑一致：找到变量间的线性关系，建立函数模型，再通过模型分析解决问题。接下来，我们通过四类典型问题，逐步深入。1行程问题：匀速运动中的“直线轨迹”行程问题是一次函数应用的“经典战场”，其核心是“速度、时间、路程”的线性关系（(s=vt+s_0)，其中(s_0)是初始路程）。例1：甲乙两地相距300千米，一辆汽车从甲地出发，以60千米/小时的速度匀速驶向乙地；同时，一辆摩托车从乙地出发，以40千米/小时的速度匀速驶向甲地。设汽车行驶时间为(t)小时（(t\geq0)），两车距离为(d)千米。（1）求(d)与(t)的函数关系式；1行程问题：匀速运动中的“直线轨迹”出发后几小时两车相遇？分析：汽车的行驶路程为(60t)，摩托车的行驶路程为(40t)；两车相向而行，初始距离为300千米，因此(d=300-60t-40t=300-100t)（(0\leqt\leq3)，当(t=3)时(d=0)，即相遇）；第（2）问即求(d=0)时的(t)，解得(t=3)小时。易错点提醒：需注意(t)的取值范围——当两车相遇后，若继续行驶，距离会变为负数，但实际问题中(d\geq0)，因此函数定义域需结合实际情况限制。2费用问题：分段计费中的“折线与直线”生活中许多费用（如水电费、出租车费、话费）采用“分段计费”模式，看似是“折线”，但每一段都是一次函数。例2：某市出租车计费规则如下：起步价（3公里内）10元；超过3公里后，每公里2.5元（不足1公里按1公里计算）。设乘车距离为(x)公里（(x\geq0)），费用为(y)元。（1）求(y)与(x)的函数关系式；2费用问题：分段计费中的“折线与直线”若乘车8.6公里，需支付多少元？分析：当(0<x\leq3)时，(y=10)（这是常数函数，可视为(k=0)的一次函数）；当(x>3)时，超出部分为(x-3)公里（注意“不足1公里按1公里计算”，但本题若(x)为精确值，可简化为(y=10+2.5(x-3)=2.5x+2.5)）；第（2）问中，8.6公里按9公里计算，代入(x=9)，得(y=2.5\times9+2.5=25)元。教学反思：去年带学生做此题时，有位同学提出：“如果我乘车3.2公里，费用是10+2.5×1=12.5元，对吗？”这说明学生已能将“分段”与“一次函数”结合，但需强调“分段点”的处理（如是否包含等于号）。3方案选择：最优决策中的“函数交点”当存在两种或多种方案时，通过比较一次函数的大小关系（(y_1>y_2)、(y_1=y_2)、(y_1<y_2)），可找到“最优方案”。例3：某文具店推出两种优惠方案：方案A：购买文具每件打8折；方案B：购买10件以内（含10件）不打折，超过10件的部分打5折。设购买数量为(x)件，总费用为(y)元，每件文具原价20元。（1）分别写出两种方案的(y)与(x)的函数关系式；3方案选择：最优决策中的“函数交点”如何选择方案更省钱？分析：方案A：(y_A=20\times0.8x=16x)（(x\geq0)）；方案B：当(0\leqx\leq10)时，(y_B=20x)；当(x>10)时，(y_B=20\times10+20\times0.5(x-10)=10x+100)；比较(y_A)与(y_B)：当(x\leq10)时，(16x<20x)，方案A更优；当(x>10)时，令(16x=10x+100)，解得(x=\frac{100}{6}\approx16.67)。因此：3方案选择：最优决策中的“函数交点”如何选择方案更省钱？-\(10x17\)时，\(y_Ay_B\)（方案A优）；-\(x=17\)时，\(y_A=16×17=272\)，\(y_B=10×17+100=270\)，此时方案B更优（注意实际购买数量为整数，需验证临界点）；-\(x17\)时，\(y_By_A\)（方案B优）。关键方法：此类问题需先分别建立函数模型，再通过解方程（找交点）和不等式（比较大小）确定最优区间。3方案选择：最优决策中的“函数交点”如何选择方案更省钱？

2.4图像信息题：从“形”到“数”的逆向建模例4：图1是某快递车从A地到B地的路程-时间图像（横轴为时间(t)小时，纵轴为路程(s)千米）。（2）若另一辆货车以50千米/小时的速度从B地出发，与快递车同时出发相向而行，求许多应用题以图像形式给出信息（如路程-时间图、费用-数量图），需通过观察图像的“起点、终点、斜率”提取函数参数。（1）求快递车在0-2小时、2-4小时的行驶速度；3方案选择：最优决策中的“函数交点”如何选择方案更省钱？两车相遇的时间。分析：观察图像，0-2小时内，(s)从0增加到160千米，速度(v_1=\frac{160-0}{2-0}=80)千米/小时；2-4小时内，(s)保持160千米不变，说明快递车在休息（速度为0）；第（2）问中，货车的路程函数为(s_货=300-50t)（假设A、B两地相距300千米，需从图像终点确认，若图像中4小时到达B地，则总路程为160千米？此处需根据实际图像调整，假设总路程为300千米，则快递车在2小时后继续行驶，4小时到达，即2-4小时行驶了140千米，速度(v_2=70)千米/小时，此部分需结合具体图像数据）。3方案选择：最优决策中的“函数交点”如何选择方案更省钱？能力提升：图像题的关键是“读点”——起点（(t=0)时的(s)）、拐点（速度变化的时间点）、终点（总路程或总时间），再通过两点坐标求斜率（速度）。03实践探究：从“解题”到“用数学”的跨越实践探究：从“解题”到“用数学”的跨越数学的价值在于应用。为了让大家更深刻体会这一点，我们开展一个“生活中的一次函数”探究活动。1活动任务以4人小组为单位，选择一个生活场景（如家庭水电费、奶茶店促销、共享单车计费），收集数据，建立一次函数模型，并分析其实际意义。2活动步骤场景选择：建议选择贴近日常生活、数据易收集的场景（如打印店的“张数-费用”关系）；数据收集：通过询问商家、记录消费单等方式获取至少5组数据（如打印10张15元，20张25元，30张35元……）；模型建立：将数据标注在坐标系中，观察是否呈线性关系；若为线性，用“两点法”求(k)和(b)；结论分析：解释(k)（单位变化的费用）和(b)（固定费用，如开机费）的实际意义，讨论“多打印是否更划算”等问题；成果展示：制作海报或PPT，下节课分享。3教师提示去年有小组选择“早餐店的包子销售”，发现“购买1-5个包子单价2元，6个及以上单价1.8元”，建立了分段一次函数模型，并计算出“买6个比买5个多花0.8元，多1个包子更划算”，这种贴近生活的分析正是数学应用的魅力所在。04总结升华：一次函数应用的核心思想与学习启示总结升华：一次函数应用的核心思想与学习启示回顾本节课，我们从“温故”到“探究”，从“解题”到“用数学”，逐步揭开了一次函数应用的面纱。1核心思想总结01一次函数的应用本质是“建模思想”：02抽象：从实际问题中提取变量（(x)和(y)）；03建模：通过观察数据或图像，确定(y=kx+b)的形式；04分析：利用函数的增减性、交点等性质解决问题（如求最值、最优方案）；05验证：将模型结果与实际情况对比，确保合理性（如定义域限制）。2学习启示同学们，数学不是纸上的符号，而是解决问题的工具。当你们用一次函数分析打车费用、比较促销方案时，正是在践行“用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界”的核心素养。正如数学家华罗庚所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”一次函数的应用，只是你们数学应用之旅的起点。3课后任务完成课本P58