期末压轴满分题型（22大题型）（高效培优期末专项训练）（原卷版）-苏科版(2024)七上

期末压轴满分题型汇总（22大题型）考点01数轴上的动点问题压轴考点02绝对值的几何意义压轴考点03有理数混合运算的实际应用考点04有理数的新定义问题考点05数字类、图形类规律探究考点06整式加减运算压轴考点07整式加减的无关型问题考点08整式加减的应用考点09整式加减的新定义问题考点10一元一次方程的含参问题考点11一元一次方程的实际应用考点12一元一次方程的新定义问题考点13走进几何世界压轴题考点14直线、射线、线段压轴考点15线段的和差压轴考点16线段中点计算考点17几何图形角度计算压轴考点18三角板中角度计算压轴考点19角平分线计算压轴考点20余角和补角相关压轴考点21平行线的判定与性质考点22平行模型压轴考点01数轴上的动点问题压轴1．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足．(1)a=，b=，c=；(2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数对应的点重合；(3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．①求t为何值时，点P到点B的距离是5；②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值．2．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第一次点A向左移动3个单位长度到达点，第二次将点向右移动6个单位长度到达点，第三次将点向左移动9个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，则线段的长度是．3．（25-26七年级上·江苏南京·月考）一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位到达A点，再向右移动7个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开．(1)直接写出A，B，C三点所表示的数；(2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动：①求15秒后动点P与点B之间的距离；②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点同时出发，向右运动．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使的值始终保持不变，请求出m的值，若不存在，请说明理由．4．（24-25七年级上·江苏淮安·月考）数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：(1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数______对应的点重合；(2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为_______，点对应的数为_______；(3)在（2）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒．动点从点向右出发，为何值时，、点之间的距离为15个单位长度；考点02绝对值的几何意义压轴5．（25-26七年级上·江苏无锡镇江·月考）综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和9两点之间的距离是，数轴上表示5和的两点之间的距离是；【独立思考】（2）试用数轴探究：当时，m的值为；（3）利用数轴，求出当时x的值；【实践探究】（4）请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去小明家做客，小明爷爷想考考小红，就说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁，是老寿星了，哈哈！”请求出小明爷爷和小明现在的年龄6．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题：(1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________；②在①的情况下，如果，那么为____________；(2)探究问题：代数式的最小值是多少？如图，点A、B、P分别表示数，的几何意义是线段与的长度之和，∴当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，的最小值是3．请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：①直接写出式子的最小值是____________；②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米；(3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值．7．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）学了数轴都知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示3和7的两点的距离是_________，数轴上表示3和的两点的距离是_________，数轴上表示和4的两点之间的距离是____________，数轴上表示和的两点之间的距离是____________；(2)写出时的取值范围是_______________；(3)当的取值范围为多少时，有最小值？并求出最小值．8．（25-26七年级上·江苏·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．材料分析：如图1，已知数轴上两点，．则两点距离为两数差的绝对值，即如：1到3的距离为两数差的绝对值，即；到3的距离为两数差的绝对值，即．根据以上思想，完成下题问题探究：参考阅读材料，解答下列问题．（1）如图2，数轴上表示和6的数的两点之间的距离是______；（2）若数轴上表示数的点位于与5之间，求的值是______；（3）当取最小值时，相应的数的取值范围是______；实际应用：（4）已知数轴上点，表示的数分别为8和，动点，分别从，两点，同时出发，点以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，点以点速度的2倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．问当为多少秒时？，之间的距离为3．拓展提升：（5）若数，满足，求的最小值．考点03有理数混合运算的实际应用9．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）某工厂根据安排原计划每天生产个零件，但实际日产量与原计划相比有出入，下表是一周内的实际日产量．（增产记为正，减产记为负）星期一二三四五六日产量/个(1)日实际产量最多为__________个，最少为__________个；(2)该厂实行计件工资制：若当天完成计划，计划内生产出的零件每个按10元发工资，超额完成的部分每个按15元发工资；若当天未完成计划，已完成的部分每个按10元的六折发工资，求该厂这一周发放的工资总额；(3)若将题干中的“增产记为正，减产记为负”改为“比前一天产量增加记为正，比前一天产量减少记为负”，题干中表格的数据依次转化为下表数据．直接写出下表中“？”处的数据．星期一二三四五六日产量/个…………？…10．（25-26七年级上·江苏·期中）小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向千米处有公交专线直达公园．出行方式等待上车时间（分钟）速度（千米/小时）费用出租车230不超过3千米超过3千米部分10元里程费：2元/千米时长费：元/分钟公交专线320票价共3元便民自行车015每15分钟1元，不足15分钟按15分钟计算步行050元(1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？(2)下午5∶30同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家；①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由；②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间．11．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示，不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动．套餐内容价格（元）优惠活动套餐A1张电影票桶爆米花60消费满300元，减25元消费满600元，减60元套餐B1张电影票桶爆米花张主题纪念币70若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（

）元．A．530 B．540 C．550 D．59012．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和6的初始位置上，沿数轴做移动游戏．移动游戏规则：两人先进行“石头，剪刀，布”，而后根据输赢结果进行移动．①若平局，则甲向东移动1个单位长度，同时乙向西移动1个单位长度；②若甲赢，则甲向东移动4个单位长度，同时乙向东移动2个单位长度；③若乙赢，则甲向西移动2个单位长度，同时乙向西移动4个单位长度．前三局如下表：（提示：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀）第一局第二局第三局第四局．．．甲的手势石头剪刀石头布．．．乙的手势石头布布．．．(1)从初始位置开始，第一局结束后甲在数轴上对应的数为___________，乙在数轴上对应的数为___________；(2)从初始位置开始，若前五局游戏中，甲一平两胜，这五局结束后，乙离原点的距离为___________；(3)若第四局结束后，乙在数轴上对应的数是2，则乙第四局的手势是什么？此时甲与乙在数轴上相距多少个单位长度？(4)从初始位置开始，若进行了（为正整数）局后，甲、乙在数轴上相距2个单位长度，请直接写出的值．考点04有理数的新定义问题13．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．例如：，．若，则称有理数a，b为“隔一数对”．例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”．(1)下列各组数是“隔一数对”的是___________（请填序号）．①，；②，．(2)计算：；(3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”．计算：．14．（25-26七年级上·江苏·期中）定义：为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图①，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离为2，到点的距离为1，那么点是的美好点；而表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点．如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点．所表示的数为2．(1)点表示的数分别是，，11，其中点___________是【】的美好点；【，】的美好点所表示的数是___________；(2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以每秒2个单位的速度沿数轴匀速向左运动．设运动时间为秒，当为何值时，为两点的美好点？15．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数与的两点间的距离．例如，的几何意义为数轴上表示数与5的两点间的距离，若，则的值为4或6．给出定义：数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和称为与的“关联距离”．例如，为与的“关联距离”，为与1，2，的“关联距离”．(1)若，则的值为；(2)若与1，的“关联距离”为3，满足条件的的非负整数值是；(3)若与1，的“关联距离”为5，的值是；(4)“关联距离”的最小值是，此时的值是．16．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．例如，图1中，点表示的数分别为1，2，4，此时点为线段的“理想点”．如图2，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为80．(1)则点之间的距离为___________；(2)求线段的“理想点”所对应的数；(3)现将一纸条如图3放置在数轴上，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？考点05数字类、图形类规律探究17．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）观察等式：，，，…，已知按一定规律排列的一组数：，，，…，，若，用含的代数式表示这组数的和是（

）A． B． C． D．18．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）观察下列两行数：，4，，16，，64，①，6，，20，，70，②根据你的观察发现和归纳，解决下列问题：(1)第①行数的第10个数为________，第②行数的第10个数为________；(2)取每行数的第2025个数，求这两个数的和；(3)按一定规律排列的多项式：，，，，…，类比前面两行数规律的探究方法，则这列多项式的第n个多项式是________________．19．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）【综合实践】数学学习中，利用图形验证数学结论是一种非常重要的方法．这种数形结合的方法称为图解法．探究：计算．如图，第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为，空白部分的面积为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；(1)求第3次分割后空白部分的面积为_____；(2)根据第6次分割图可得：因为_____所以_____(3)运用以上的图解法计算：20．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，大正方形的边长是4米，第一次将其均分为两个长方形，得到一个长方形1，第二次将第一次分割后剩下的部分再平均分，得到一个正方形2，按照这个方法一直分下去，直至得到正方形6．(1)将图形1至6的面积分别记作至，求的值；(2)《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完．结合图形，则________．(3)请运用上述方法，求的值．考点06整式加减运算压轴21．（25-26七年级上·江苏徐州·月考）已知，则（

）A． B．16 C．32 D．22．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知关于的代数式：，，且代数式．(1)当时，化简代数式(2)若代数式是关于的一次多项式，求的值；(3)已知，求下列代数式的值23．（25-26七年级上·江苏南京·期中）【阅读材料】“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：把看成一个整体，则．【尝试应用】（1）化简：；（2）已知，求代数式的值．【拓展探索】（3）已知，，，求的值．24．（25-26七年级上·安徽安庆·月考）【阅读材料】在小学学习正整数的加减时，我们会用“列竖式”的方法帮助计算．在进行整式的加减运算时也可以用类似的方法：如果把两个或者几个整式按同一字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列，并将各同类项对齐，就可以列竖式进行加减了，如计算就可以列竖式为：所以．根据上述材料，解决下列问题：已知：．(1)将按照的降幂排列为．(2)仿照上面的方法列竖式计算．(3)小丽说也可以用类似的方法列竖式计算，请你试试看．(4)请写出一个多项式，使其与的和是二次单项式．考点07整式加减的无关型问题25．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知，．(1)若，求的值；(2)若代数式的值与字母x的取值无关，求y的值．26．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点重合，折点记为B；最后将数轴展开．(1)直接写出A，B，C三点所表示的数A：______，B：______，C：______；(2)点P为数轴上任意一点，其对应的数为x，当点P在0到3之间时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）；(3)点C开始在数轴上运动，以每秒2个单位长度向左运动：①若点C运动了18秒，则点C运动到数轴上什么位置，请写出它表示的数______；②点A，B分别以每秒6个单位长度和3个单位长度的速度与点C同时出发，向左运动、假设t秒钟过后，记A与B两点之间的距离为，B与C两点之间的距离为．这三个点在运动过程中，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．27．（25-26七年级上·江苏南通·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”（图1），它是中国重要的文化遗产．数出“洛书”中实心点或空心点的个数，按顺序将它们填入的方格中，就得到了如图2所示的一个“三阶幻方”．

【探究发现】在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上数字之和都相等，这个和称为“幻方和”，最中间的数称为“中心数”，探究发现，幻方和是中心数的3倍．例如，在图2的三阶幻方中，幻方和是中心数5的3倍．【尝试运用】（1）在图3所示的三阶幻方中，幻方和为，；【深入思考】（2）在图4所示的三阶幻方中，，①若，求F所表示的代数式；②若为常数），且幻方和与t的取值无关，直接写出k的值及该幻方和．28．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）【知识回顾】在学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则．【理解应用】已知代数式，．（1）化简：；（2）若的值与的取值无关，求的值．【能力提升】（3）有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的阴影部分面积为，周长为，左下角的阴影部面积为，周长为，设．①当时，求．②当的长变化时，下列代数式值不变的是()A．

B．

C．

D．考点08整式加减的应用29．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）图是我国古代传说中的“洛书”，图是“洛书”的数字表示，相传，大禹时，洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会、流传下来收入《尚书》中，名《洪范》，《易·系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．“洛书”是一个三阶幻方，就是将已知的个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图中，若，，，则为（

）A． B． C． D．30．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，相距的、两地间有一条笔直的马路，地位于两地之间且距A地．小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时的速度向地匀速运动，到达地后以每小时的速度返回，到达A地停止运动．设运动时间为（小时），小明的位置为点．若把点记为原点，从到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，则请你回答下列问题：(1)指出点所表示的有理数______．(2)当时，则点表示的有理数______．(3)在小明行驶过程中，当小明距离地时，直接写出所有满足条件的值．(4)在整个运动过程中，求点P和点A的距离（用含的代数式）．31．（25-26七年级上·江苏南京·期中）某水果批发市场苹果的价格如下表：价目表购买苹果千克单价不超过20千克的部分6元/千克超过20千克但不超过40千克的部分5元/千克超过40千克的部分4元/千克(1)小明第一次购买15千克苹果，需要付费______元；(2)小明第二次购买苹果x千克超过20千克但不超过40千克，则需要付费包含两部分，一部分为购买苹果20千克，付费120元；另外一部分为购买苹果______千克，此部分应付费______元；则总共应付费为______元用含x的式子表示(3)小强分两次共买100千克，第二次购买的数量多于第一次购买数量，且第一次购买的数量为a千克，请问两次购买水果共需要付费多少元？用含a的式子表示32．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）为了更好地理解整式加减的实际应用，七（1）班龙狮小组进行数学实践活动．【操作探究】如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中，记阴影部分①、②、③、④的周长分别为，，，，（1）若，，，求长方形的面积；【深入思考】（2）若长方形的周长为24，长方形的周长为16，请算出，，的值；【拓展提升】（3）若，，求长方形的周长（结果用含m，n的代数式表示）考点09整式加减的新定义问题33．（25-26七年级上·江苏常州·期中）定义：若，则称x是y关于m的相关数．(1)若6是a关于2的相关数，则_______；(2)若A是B关于m的相关数，，B的值与m无关，求B的值．34．（25-26七年级上·江苏南通·期中）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．(1)当，时，求的值．(2)当，时，求的值．(3)已知，，求式子的值．(4)已知，，求a的值．35．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）数学的迷人之处，在于数字背后蕴藏的奥秘．通过观察、归纳与验证，我们可以从最平常的数字中，探索出简洁而美妙的规律．例如，给定一列式子，并规定：（为正整数）．例如：，照此规律，解答下列问题：(1)______，______；(2)求与的积；(3)利用你发现的规律，求的值．36．（25-26七年级上·江苏·期中）【新知学习】类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”．例如：与是“强同类项“．【新知应用】(1)给出下列四个单项式：①，②，③；④，其中是“强同类项”的组合是______；（填写序号）(2)若与是“强同类项”，求m的值；(3)若为关于x，y的多项式，，当C的任意两项都是“强同类项”时，求n的值；(4)已知，均为关于a，b的单项式，其中，，如果，是“强同类项”，那么x的最大值和最小值分别是什么？考点10一元一次方程的含参问题37．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；(2)若无论k取任何有理数，关于x的方程（a、b为常数）与方程为“美好方程”，求的值．38．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）定义：使等式的一对有理数a，b称为“共生数对”，记为．(1)下列数对：①，②，③是“共生数对”的有______（填序号）；(2)若是“共生数对”，则______“共生数对”（填“是”或“不是”）；(3)若是“共生数对”，且关于x的方程的解为，求的值．39．（24-25七年级下·江苏·月考）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．(1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___；(2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，则______；(3)若关于的方程的解也是关于的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数和正整数的值．40．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）已知（，，…an是各项的系数，c是常数项）：我们规定的伴随多项式是，且，例：如果，则它的伴随多项式．(1)已知，则它的伴随多项式；(2)已知，它的伴随多项式，求x的值；(3)已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于x的方程有正整数解，求整数a的值．考点11一元一次方程的实际应用41．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）图1是2025年11月份的日历，用图2所示的“九方格”框住图1中的9个日期，将其中被阴影方格覆盖的四个日期分别记为，，，．(1)______（填“”，“”或“”）；(2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，他选用作差法来比较大小说理的过程如下，请你将其补充完整．解：设，则，，______可得______；(3)当在图1的选择位置使值为64，如若能，请框选；若不能，请说明理由．(4)当图2在图1的不同位置时，代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由．42．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足．(1)_______；(2)①有一个玩具火车，如图1所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B所对应的数为m，当点B移动到点A时，点A所对应的数为n．则玩具火车的长为_______个单位长度；②如图1所示，将第①题中的玩具火车沿数轴左右水平移动，当时，求此时点A所表示的数．(3)在（2）的条件下，当火车以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点P和点Q从N、M出发，分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为，若的值与它们的运动时间无关，请直接写出k值_______．43．（25-26七年级上·江苏连云港·月考）两个完全相同的长方形，如图所示放置在数轴上．(1)长方形的面积是_____；(2)若点P在线段上，且，则点P在数轴上表示的数为_____；(3)若长方形分别以每秒2个单位长度、3个单位长度沿数轴正方向移动，设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为．①整个运动过程中，S的最大值是_____，持续时间是_____；②当S是长方形面积一半时，求的值．44．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）曙光双语学校月日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔，双色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠笔的单价比单色圆珠笔的单价贵元，买支双色圆珠笔和支单色圆珠笔共需要元．(1)问双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？(2)若三色圆珠笔市场上根据球珠直径有三个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下表：三色圆珠笔级别球珠直径球珠直径球珠直径单价元元元现在学校用元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应该选择哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由．(3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，其中三色圆珠笔单价为元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分配，总费用始终不变．求此时的值和总费用．考点12一元一次方程的新定义问题45．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．(1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值；(2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值；(3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值．46．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．(1)若点A表示数0，点B表示的数3，数0，1，4，6所对应的点分别，，，，其中是点A，B的“关联点”的是________；(2)点M表示数，点N表示数9，点P从点N出发在数轴上以3个单位每秒的速度运动．①若点P从点N向右侧运动，当点P是点M，N的“关联点”时，点P的运动时间为________秒；②若点P从点N向左侧运动，当点P，M，N中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”时，求出此时点P的运动时间．47．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”．(1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则；(2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值；(3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）；②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为．48．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．(1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则___________；(2)若关于的方程的解也是“立信方程”的解，求的值．(3)关于的方程是“立信方程”，直接写出符合要求的正整数的值．考点13走进几何世界压轴题49．（24-25七年级上·山东济宁·期末）用5个正方形拼接成如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，第6个正方形可放在（填写序号）的位置；50．（24-25六年级上·山东威海·期中）将图1所示的大正方体在顶点处截去一个小正方体后，得到图2所示的几何体．(1)设原来大正方体的表面积为，图2所示的几何体表面积为，那么与的大小关系是：____；（填“>”“<”或“=”）(2)图3的实线图形是图2所示几何体表面展开图的一部分，请在图3的虚线区域将图2的展开图补全；(3)设原来大正方体的棱长之和为m，图2所示几何体的棱长之和为n，小明认为：n刚好比m多出大正方体3条棱的长度，小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，所截去的小正方体的棱长与原大正方体的棱长之间具备怎样的数量关系时，才会正确？51．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）综合与探究：问题情景：学习了第一章生活中的立体图形后，综合实践小组开展了“长方体纸盒制作”实践探究活动．操作探究：(1)若准备制作一个无盖正方体纸盒，图中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒的是_____；(2)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为的小正方形，用含的代数式表示这个纸盒的底面边长为______；当四角剪去的四个小正方形的边长为时，求出纸盒的体积．(3)如图综合实践小组利用边长为的正方形纸板，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，．则该长方体纸盒的体积为______．52．（24-25七年级上·江苏南京·期中）n阶长方形操作如图1，从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形，剩下一个小的长方形，将这个过程称为1次操作．若经过n次操作后，剩下的小长方形恰好是正方形，称原长方形为n阶长方形．图2是一个2阶长方形，它的宽与长的比（简称“宽长比”为）．思考3阶长方形的宽长比可能是多少？不妨倒过来想，如图3，1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形（宽长比为），同理2阶长方形的宽长比为和，图中所示的3阶长方形的宽长比为和．(1)画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图和对应的宽长比．(2)直接写出4阶长方形的宽长比所有可能的值．(3)从以下问题中任选一个作答：①10阶长方形的宽长比共有多少种可能的值？②图3中“”“”…是必然的，解释其中道理．③若一个长方形的宽长比为，则它是几阶长方形？考点14直线、射线、线段压轴53．（24-25七年级上·全国·期末）一条直线上若有4个点，则它有____________条线段；若有5个点，则它有____________条线段；若有个点，则它有____________条线段．（1）拓展一：乘火车从杭州站到上海站共有8个站（包括杭州站和上海站）．如果要你设计这条线路的单向单程车票，你准备设计多少种？（2）拓展二：如图①，工作流水线上放置着5个机器人，还放置着1只工具箱，5个机器人取工具的次数相同．如果，将工具箱放在何处，才能使机器人取工具所花时间最少？若有个机器人，则工具箱应放在何处？（3）拓展三：图②中共有多少个比平角小的角？（4）拓展四：图③中共有多少个长方形（包括正方形）？54．（24-25七年级上·江苏南通·期末）【阅读思考】如表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系．图形…直线条数234…最多交点个数1…【延伸探究】（1）按此规律，5条直线相交，最多有______个交点；（2）平面内的8条直线任意两条都相交，交点数最多有x个，最少有y个，请求出的值；【实践应用】（3）学校七年级6个班级举行足球联赛，比赛采用单循环赛制（即每两支队伍之间赛一场），当比赛到某一天时，统计出七1，七2，七3，七4，七5五个班级已经分别比赛了5，4，3，2，1场球，请直接写出没有与七6班比赛的班级，并求出还剩的比赛总场数．55．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）（1）知识探究：如图1，已知一条直线，当上有2个点时，图中只有，条线段，当上有3个点时，图中有条线段，当上有4个点时，图中有条线段，当上有5个点时，图中有条线段，．．．．．．按此规律：当上有个点时，图中有___________条线段：（2）知识应用；如图2，内有条射线，则图中共有___________个角；（3）知识迁移：如图3，线段BC上有2016个点，则图中共有___________个三角形；（4）知识拓展：①如图4，图中共有___________个长方形（含正方形）；②如图5，图中共有___________个长方形（含正方形）；56．观察下列图形，阅读下面相关文字并填空：（1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点；（2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分．考点15线段的和差压轴57．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点，同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有．(1)直接写出：_____，_____；(2)若，请求出的长；(3)若点是直线上一点，且，求的值；58．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知C、D是线段上不重合的两点．(1)若，求证：；(2)若，，且，求的长度．59．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（

）A． B． C． D．60．（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动．【问题情境】如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系．【特例探究】（1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点．列表分析线段，，之间的关系．线段，，之间的关系分析表特例序号①641②83a③106b表格中，数据________，________．【推理论证】（2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由；【拓展运用】（3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式．考点16线段中点计算61．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）数轴上点，，，分别表示实数，，，，点，分别从，出发，沿数轴正方向移动，点从出发，在线段上往返运动（在，处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点，，的速度分别为，，个单位长度每秒，点，重合时，运动停止．当点为线段的中点时，运动时间为秒．62．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）阅读材料并解答问题：若数轴上点M和点N表示的数分别为m、n，则我们可以用绝对值表示点M和点N之间的距离，记为，即．若数轴上一点P满足，则称点P为的中点．已知数轴上点A、B、C、D表示的数分别为，4，x，y．解答下列问题：(1)___________；(2)若Q为的中点，求点Q表示的数；(3)当点C在之间运动时，若点E表示的中点，点F表示的中点．试探究的值是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由．(4)若x，y为整数，且．直接写出的最大值．63．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为．【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．【综合运用】(1)填空：①A、B两点间的距离，线段的中点C表示的数为；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为；(2)求当t为何值时，；(3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．64．（24-25七年级上·福建福州·月考）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点B对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为．（1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为_______．【问题探究】（2）在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为？【拓展延伸】（3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式；点对应的数为；若数轴上点的对应数为；点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式；点对应的数为．①填空：若数轴上点的对应数为；点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为________．②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，则是否存在，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的值，若不存在，说明理由．考点17几何图形角度计算压轴65．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）综合与实践：【实践操作】在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，直角顶点与点O重合，是直角，平分．【问题发现】(1)如图1，若，求的度数；(2)将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；(3)将直角三角尺绕点O顺时针旋转一周，旋转过程中始终平分，当与存在两倍关系时，请直接写出的度数．66．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方．【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时同为秒．（1）的度数是______．（2）①三角尺的边旋转的度数可表示为______（用含的代数式表示）；②求为何值时．【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角板完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒，（3）试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，为何值时，与中其中一个角是另一个角的两倍？请直接写出所有满足题意的的值______．67．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在同一条直线上依次有A，O，B三点，，将一个三角板的直角顶点放在点O处，其中，．(1)将三角板绕点O旋转到图2的位置，在的内部，，有怎样的数量关系？请写出来，并说明理由；(2)若将三角板绕点O转动，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方．若，求的度数；(3)若将图1中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，射线，，中的一条射线，是否可以成为另两条射线组成的夹角的平分线？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．68．（24-25七年级上·江苏·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的5分位线；，则也是的5分位线．（1）如图2，点A、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的3分位线，（，），，则；（2）如果点A、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的5分位线，且，则．考点18三角板中角度计算压轴69．（24-25七年级上·江苏徐州·月考）若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点О处（注：，）．(1)如图1，使三角板的短直角边在射线上，则________；（直接写出结果）(2)如图2，将三角板绕点О逆时针方向旋转，若恰好平分，则所在射线是的平分线吗？如是，请说明理由．(3)如图3，将三角板绕点О逆时针转动到使时，求的度数；(4)将图1中的三角板绕点О以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，所在的直线恰好平分，则t的值为_________．（直接写出结果）70．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）【新概念】如图1，为内一条射线，当满足时，我们把射线叫做射线、的m等个性线，记作．（其中m为正整数）【实际应用】已知：O为直线上一点，过O点作射线．(1)如图2，将一个三角板（含、）直角顶点D放在O处，另两条边分别为，，当是时，___________．（填“是”或“不是”）．(2)如图3，将三角板的顶点E放在O处，那么当是时，是否也是？请先猜想结果，再说明理由．(3)将图3中的射线绕O点逆时针旋转，如图4，此时存在正整数m使是的同时，也是，则___________，___________．71．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方．(1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______；(2)绕点转动三角板，①如图，当恰好平分时，试说明平分；②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明．72．以直线上一点为端点作射线使，将一个直角三角形的直角顶点放在处（注：）．(1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则____________；(2)如图2，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请问所在射线是不是的平分线？(3)将三角板绕点逆时针转动，当边与重合时停止，转动到某个位置时，若恰好，求的度数．考点19角平分线计算压轴73．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）【操作思考】将一副直角三角板（分别含和的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线．【特例感知】（1）如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______；【拓展探究】（2）如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠．①当时，求的度数；②当时，______；（用含的式子表示）【解决问题】（3）如图3，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在的值，使？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由．74．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”．(1)若，且在内部，则__°；(2)若恰好平分，请求出的度数；(3)若是的平分线，是的平分线，请画出图形，探究与的数量关系，并说明理由．75．（24-25七年级上·江苏南京·期末）定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”．(1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可）(2)如图②，点O在直线上，，．①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______．76．（24-25七年级上·江苏扬州·月考）如图，直线与相交于点，，将一等腰直角三角尺的直角顶点与重合，平分．将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒，若直线平分，则的值为．

考点20余角和补角相关压轴77．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，O是直线上的一点，是直角，平分．(1)如图1，若，求的度数．(2)在图1中，若，直接写出的度数：（用含的代数式表示）．(3)将图1中的绕顶点O顺时针开始旋转．①当旋转至如图2的位置时，请探究与的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；②过点O的一条射线，使得恰好平分，在图1和图2中分别探究与的度数之间的关系，请直接写出结论．78．（24-25七年级下·江苏·期中）定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为补角，则称该射线为的“好线”．如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线是的“好线”．(1)若，且OE在内部，求的度数；(2)若OE恰好平分，求的度数；(3)若OF是的平分线，OG是的平分线，直接写出与的数量关系．79．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）已知：O