第3章 圆的基本性质期末复习（知识清单）（答案版）-浙教版(2024)九上

第3章圆的基本性质

1.圆：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆2.圆内的其他基本定义：（1）定点O叫做圆心，圆O一般写作“⊙O”（2）线段OP叫做圆的半径；（3）连结圆上任意两点的线段BC叫做弦；（4）经过圆心的弦AB叫做直径，直径也是弦，是圆上最长的弦。（5）圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如图中弧BC，可以表示成“BC”；3.点与圆的位置关系：d表示同一平面内点到圆心的距离（1）d＞r⇔点在圆外；如图P1，∵OP1＞半径r，所以点P1在圆外；同理因为点P1在圆外，所以OP1＞r（2）d=r⇔点在圆上；如图P2；（3）d＜r⇔点在圆内；如图P3；PP1P2P34.圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧，半径相等的两个圆叫等圆，能够重合的圆弧叫做等弧；5.圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆6.三角形与圆：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个外接圆的圆心叫做三角形的外心.7.旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度8.(1)图形旋转所得的图形和原图形全等；(2)对应点到旋转中心的距离相等；任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度9.有旋转必有等腰三角形→连结点与对应点，以及旋转中心所构成的三角形是等腰三角形。10.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；11.关于垂径定理的推论：l2dr推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且ldr推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦12.垂径定理相关计算常和直角三角形结合。如图所示，半径r、半弦长l2和弦心距d构成了直角三角形，因此有：（l13.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；14.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；15.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两个弦心距中有一对量相等，那么他们所对应的其余各对量都相等。（与圆心角有关的定理及应用都有一个前提，即“在同圆或等圆中”，不加这个条件对应结论不成立）AABOCDdd如图所示，在⊙O中，当∠AOB=∠COD，那么AB=CD，d1=d2。16.圆周角：顶点在圆上，且角的两边都和圆相交的角做圆周角；17.圆周角的性质定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；圆周角性质定理的推论：推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等；如下图所示，在⊙O中，AB是直径，点C和点D分别是圆上两点，则可知：（1）根据性质定理可知∠CAB=12∠（2）根据推论1可知：∠ACB=90°，即为直角.（3）根据推论2可知：∠CAB=∠CDB.（4）如果BC=BD，根据推论2可知：∠CAB=∠BCD.AABCOD18.圆的内接四边形：一个四边形的各个顶点在同一圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形。圆的内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补；19.根据圆内接四边形的性质定理可知：圆内接四边形的一个外角等于与其相邻内角的对角20.正多边形：各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形.21.正n边形每个内角的度数=180（22.圆内接正多边形：我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆，这个正多边形叫作圆内接正多边形。任何正多边形都有一个外接圆。23.弧长及扇形的面积：半径：R；圆心角：弧长公式：扇形面积公式：一、圆的认识1.圆内基本元素定义的辨析错误：错误理解半径为弦，或忘记直径是最长的弦。注意：在关于圆的基本元素定义的辨析中，主要注意以下几点重要内容：

①半径不是弦，半径一端为圆心，圆心不在圆上；②直径是弦，直径是圆上最长的弦，有无数多条；③弦所对的弧有两条；④长度相等的弧不一定是等弧，等弧需要两条弧完全重合。例1（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧【答案】C【分析】本题考查了圆的认识∶熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、弧、等圆、等弧等)是解决问题的关键，也考查了轴对称图形，根据直径、弦的定义对A选项和B选项进行判断∶根据对称轴图形的定义对C选项进行判断；根据等弧的定义对D选项进行判断．【详解】解∶A．过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意；B．直径是弦，过圆心的弦是直径，所以B选项不符合题意；C．半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意；D．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意；故选∶C2.点与圆的位置关系错误：要判断点与圆的位置关系时，不能转化为线段与半径的大小关系。注意：探究点与圆的位置关系时，主要是要确定圆心，然后确定半径，再确定点到圆心的距离所表示的线段。将每条表示距离的线段与半径进行比较，根据大小关系判断点与圆的位置关系即可。例2（24-25九年级下·全国·期中）已知矩形ABCD的边AB=6cm，(1)以点A为圆心、8cm为半径作⊙A，求点B，C，D与(2)若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径【答案】(1)点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在(2)6cm【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．（1）根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A（2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围．【详解】（1）解：如图所示，连接AC，∵在矩形ABCD中，AB=6cm，∴AB=CD=6cm，∴AC=∵AB=6∴点B在⊙A∵AD=8∴点D在⊙A∵AC=10∴点C在⊙A（2）∵以点A为圆心作⊙A，使B，C，D∴⊙A的半径r的取值范围是6cm3.不在同一直线上的三点确定一个圆错误：认为任意三个点都能确定一个圆，或认为两个点也能确定一个圆。注意：“不在同一直线上的三点确定一个圆”说明：需要不在同一直线上的三个点才有唯一确定的圆，其圆心为连结任意两点的线段的垂直平分线的交点，其半径为圆心与其中任意一点的线段长。例3（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个【答案】D【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可．【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆，若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆，故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个．故选：D．4.确定坐标轴或网格中圆弧所对应圆的圆心错误：不能通过坐标系或网格中的相关知识、结合全等三角形的性质作图，从而无法作已知线段的垂直平分线而得到圆心。注意：在坐标系或网格中，要作水平方向或垂直方向上线段的垂直平分线，则只要平行于坐标系的坐标轴，或网格上的网线即可；要作斜线段的垂直平分线时，只要关于线段作直角边水平或竖直的直角三角形，利用直角三角形的全等的性质，作出它的垂直平分线。如下图所示：例4（24-25八年级下·广东中山·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A，B，C，其中点A的坐标为0，4、点B的坐标为4，4、点C的坐标为【答案】(2,0)【分析】本题考查确定圆心的方法，理解圆弧所在圆的圆心是圆弧中任意两条弦的垂直平分线的交点是解题的关键．由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为圆心．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，作弦AB和BC的垂直平分线，如图所示，∴它们的交点D为该圆弧所在圆的圆心，由图知，D2,0∴该圆弧所在的圆心坐标为2,0，故答案为：(2,0)．5.图形旋转的性质错误：阅读图形旋转有关的题干信息时不能结合其性质，也不能根据全等图形的性质得到相关的等量关系。注意：图形旋转时，旋转前后的图形为全等图形；对应点到旋转中心的距离相等；任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。例5（24-25七年级上·河北邢台·期末）如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转α0∘<α<180∘得到三角形EDC．若∠A．60° B．70° C．40° D．100°【答案】B【分析】本题考查了找旋转角，旋转的性质．先利用旋转的性质得到∠DCE=∠ACB=30°，【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转α0°<α∴∠DCE=∠ACB∵∠BCE∴α=∠BCD故选：B．6.半角旋转模型错误：对“半角旋转模型”的结论认识不足，并混淆等腰直角三角形半角旋转模型和正方形半角旋转模型的结论。H注意：“半角旋转模型”的结论如下：H（1）正方形半角旋转模型A.如右图所示，正方形ABCD中，点E和点F分别为BC、CD边上一点，且∠EAF=45°（即∠EAF=12∠BAD），将直角三角形ADF绕点A顺时针旋转90°①△AFE≌△AF’E（通过∠FAE=∠F’AE=45°、AF=AF’，AE=AE可证）.②EF=EF’=BE+BF’=BE+DF，即BE、EF和DF三边的数量关系为EF=BE+DF.③EA与FA分别是∠BEF和∠DFE的角平分线.④过点A作EF的垂线，正好将△AEF分成两个直角三角形，且△ADF≌△AHF，△ABE≌△AHE，所以也有垂线段AH的长为正方形的边长.⑤根据①、④也可知S△AEF=S△ABE+S△ADFB.半角旋转模型的衍生：满足条件：在四边形中，对角互补，其中一个顶点相邻两边相等，关于该顶点作其内角的12下图中，已知AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，∠EAF=12∠BAD.以上类似结论同样可以在下图中得到AABCDEFF（2）等腰直角三角形半角旋转模型如右图所示，ABCEFF'在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点E,F分别是斜边BC上两点，且∠EAF=45°（即∠EAF=12∠BAD），将△ABCEFF①△AFE≌△AF’E（通过∠FAE=∠F’AE=45°、AF=AF’，AE=AE可证）.②△BEF’是直角三角形.③EF²=EF’²=BE²+BF’²=BE²+CF²，即BE、EF和CF三边的数量关系为EF²=BE²+CF².例6（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．【解决问题】如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接【思路梳理】∵AB=∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与∵∠ADC∴∠FDG=180°，点F、D、(1)根据以上思路可以证明，△AFG≌（

），从而可得(2)如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若(3)如图3，AB=AD，∠BAD≠90°，∠EAF【答案】(1)△AFE，(2)∠B(3)EF【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，正方形的性质等知识，利用旋转与三角形全等的知识是解题的关键．（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证明△AFE≌△AFG（2）当∠B+∠D=180°时，把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证明（3）把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，且旋转角等于∠BAD，可使AB与AD重合，证明△AFE≌△【详解】（1）解：∵AB=∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图则BE=∵∠ADC∴∠FDG=180°，点F、D、在正方形ABCD中，∠BAD∴∠BAE∴∠GAF∴∠GAF在△AFE与△AG=∴△AFE∴EF=∵FG=∴EF=故答案为：△AFE，SAS（2）解：猜想当∠B+∠D证明如下：∵AB=∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图则BE=DG，∵∠ADC∴∠ADC∴∠FDG=180°，点F、D、∵∠BAD=∠BAE∴∠BAE∴∠GAF∴∠GAF在△AFE与△AG=∴△AFE∴EF=∵FG=∴EF=（3）解：EF=证明如下：∵AB=∴把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，且旋转角等于∠BAD则AB与AD重合，BE=∵∠ADC∴∠FDG=180°，点F、D、在四边形ABCD中，∠BAD∵∠EAF∴∠BAE∴∠GAF∴∠GAF在△AFE与△AG=∴△AFE∴EF=∵FG=∴EF=二、垂径定理1.用垂径定理计算错误：用垂径定理构建的直角三角形中，直接用弦长与弦心距、半径构建勾股关系。注意：对垂径定理构建出的直角三角形是由半径r、半弦长l2和弦心距d构成，因此有：（lldr例7（24-25九年级下·福建厦门·期中）如图，在⊙O中，弦AB=23，O到AB的距离OC=1，则【答案】2【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，由垂径定理可得BC=12【详解】解：∵OC⊥AB，∴BC=在Rt△OBC中，由勾股定理可得∴⊙O的半径为2故答案为：2．2.用垂径定理列方程错误：利用（l注意：学会用（l例8（2024九年级上·青海西宁·竞赛）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，则【答案】25【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据垂径定理求出BD=6,根据勾股定理求出AD=8,设⊙O的半径为r，则AO=BO【详解】解：如图，连接BO,∵⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高∴AD⊥BC在Rt△ABD中，设⊙O的半径为r，则AO=BO在Rt△BOD中，∴r解得r=故答案为：2543.学会作辅助线构造垂径定理“三要素”错误：对在圆内求线段长的问题，不能联系到垂径定理问题，不会通过作辅助线构造垂径定理“三要素”来建立直角三角形，进行计算或证明。注意：学会围绕垂径定理中“垂直平分弦”来构建直角三角形，常见的辅助线方法有两种：①是连结弦其中一个端点与圆心，连出半径；②是过圆心作弦的垂线，连出表示弦心距的线段。例9（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，CD为⊙O的弦，A、B为直线CD上两点，OA【答案】证明见解析【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，过点O作OH⊥CD于H，由垂径定理得CH=DH【详解】证明：如图，过点O作OH⊥CD于H，则∵OA=OB，∴AH=∴AH-即AC=4.弦相对位置的分类讨论错误：多条弦相关的探究问题，在没有明确弦相对位置关系的情况下，没有进行分类讨论。注意：一般两种情况的弦的问题需要分类讨论，如下：（1）以两条平行的弦为背景的题目，注意讨论两条弦在圆心同侧还是异侧。（2）以两条有公共端点的弦为背景的题目，注意讨论两条弦在圆心同侧还是异侧。例10（24-25九年级上·浙江杭州·期中）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB=24,CD=10，则【答案】17或7【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理等知识点，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．作OE⊥AB于E，OF⊥【详解】解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于则AE=∵AB∥∴E、在Rt△AOE中，在Rt△OCF中，当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离=OF当圆心O在弦AB与CD的外部时，AB与CD的距离=OF所以AB与CD的距离是17或7．故答案为：17或7．5.用垂径定理逆定理证明错误：遇到“弦中点”的已知条件时，不能根据垂径定理的逆定理来证明弦心距与该条弦垂直。注意：当已知条件涉及“弦中点”时，要将圆心与弦中点相连，就能得到连结的线段与该条弦垂直，为圆内的几何计算和证明提供重要条件信息。例11（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点，求证：AB【答案】证明见解析【分析】本题考查垂径定理的推论及垂直平分线的性质，根据“AC是直径，点C是劣弧BD的中点”可得AC垂直平分BD，再根据垂直平分线的性质即可得证．解题的关键是掌握：一条直线如果具有“a．经过圆心，b．垂直于弦，c．平分弦（被平分的弦不是直径），d．平分弦所对的优弧，e．平分弦所对的劣弧”这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”．【详解】证明：∵AC是直径，点C是劣弧BD的中点，∴AC垂直平分BD，∴AB=6.垂径定理的实际应用错误：几何图形相关的实际应用，不能通过数形结合的思想、数学建模的思想将实际问题中的图形构建以圆为背景的几何问题，再通过垂径定理解决问题。注意：熟练数形结合和数学建模的思想方法，将实际问题转化为与圆相关的几何问题，再用与圆有关的知识解决问题。例12（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽AB为16m，拱高CN为4(1)求桥拱的半径；(2)此桥的安全限度是拱顶C点距离水面不得小于1.5m，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度DE为12【答案】(1)10(2)不需要采取紧急措施，理由见解析【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程．（1）设桥拱的半径是rm，由垂径定理求出AN=AB=8m，而ON（2）由垂径定理求出DM的长，由勾股定理求出OM的长，即可求出CM的长即可得解．【详解】（1）解：如图半径OC⊥AB，设桥拱的半径是rm∵OC∴AN∵拱高CN为4m∴ON∵O∴r∴r∴桥拱的半径是10m（2）解：不需要采取紧急措施，理由如下：如图，连接OD，∵CO∴DM∴OM∵CM∵2m∴不需要采取紧急措施．三、圆心角、圆周角与圆内接四边形1.圆心角相关的计算问题错误：在圆内解决计算有关的几何问题，忘记“等腰三角形”的隐含条件。注意：如图，在⊙O中，圆心角为∠AOB，因为OA和OB均为半径，因此OA=OB，所以△AOB为等腰三角形。AABO例13（24-25九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，在以O为圆心的半圆中，AB是直径，点C是弧AB的中点，连接OC，OE平分∠COB交⊙O于点E，连接AE，则∠AEOA．20° B．22.5° C．30° D．45°【答案】B【分析】本题考查了垂径定理,圆心角、弧、弦的关系,等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．先利用垂径定理的推论得到OC⊥AB，再根据角平分线的定义得到∠BOE【详解】解：∵点C是弧AB的中点，∴OC∴∠AOC∵OE平分∠∴∠BOE∵OA=OE∴∠AEO故选：B．2.圆心角相关的几何证明错误：在圆内解决证明有关的几何问题，忘记“等腰三角形”的隐含条件；也不能根据对应弦、对应弧的等量关系进行证明。注意：注意圆心角与对应弦构成的“等腰三角形”，注意如果两个圆心角、两条弧、两个弦心距中有一对量相等，那么他们所对应的其余各对量都相等。例14如图，O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于点D，E．求证：(1)AD(2)CD=【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用．（1）首先得到BC=AC，推出∠B=∠A，然后等量代换得到∠（2）由∠BOE=∠AOD得到BE【详解】（1）证明：∵O为等腰三角形ABC的底边AB的中点，∴BC=∴∠B∵OE=∴∠ADO∵∠AOD+∠ADO∴∠BOE∴AD=（2）证明：∵∠BOE∴BE=∵BC=∴AC-AD=3.特殊的圆心角及弦长错误：圆心角与对应弦构成的等腰三角形中，特殊的内角构成特殊的等腰三角形。如果不能根据特殊的圆心角联想到特殊三角形，就无法从角信息转变为线段信息。注意：熟悉特殊的圆心角及对应的弦长，常见的特殊情况如下：AABO∵∠AOB=90°，∴AB=2rABO∵∠AOB=60°，∴AB=rABO∵∠AOB=120°，∴AB=3r例15（23-24九年级下·江苏南通·期末）如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，点P是直径MN上一动点，若⊙O的直径为2，则AP+BP

【答案】2【分析】作点B关于MN的对称点B'，连接AB'交MN于点P，连接BP，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时AP+BP=AB'最小，连接OB'本题考查了圆心角、弧、弦的关系，轴对称中最短路线问题，三角形的三边关系以及勾股定理，根据三角形的三边关系确定AP+BP取最小值时点【详解】解：作点B关于MN的对称点B'，连接AB'交MN于点P此时AP+BP=∵点B和点B'关于MN∴PB∵点A是半圆上一个三等分点，点B是AN的中点，∴∠AON=180°÷3=60°，∴∠AO∵OA∴A故答案为：2．4.圆周角度数是其所对弧圆心角的一半错误：不能将同弧的圆心角和圆周角的已知条件、问题所求进行联系。注意：熟练运用“圆周角度数是其所对弧圆心角的一半”这一性质，可以将圆中同弧或等弧所对的圆心角、圆周角联系在一起：当所求与圆心角相关时，注意根据其所对的弧找到对应的圆周角，通过已知条件求得圆周角，再求出对应圆心角及相关几何问题；同样的，当所求与圆周角相关时，注意找到其对应的圆心角，通过已知条件求得圆心角，再求出对应圆周角及相关几何问题.例16（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在⊙O中，若∠A=35°，则∠【答案】55°/55度【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握圆周角定理成为解题的关键．由圆周角定理可得∠BOC【详解】解：如图：连接OC，∵∠A∴∠BOC∵OC=∴∠OBC故答案为：55°．5.半圆（直径）所对的圆周角是直角错误：不能根据直径找到对应的圆周角，从而确定直角三角形。注意：半圆（直径）所对的圆周角是直角，因此可以得到新的直角三角形，与垂径定理相同，构建直角三角形是计算和证明圆中角、线段等几何问题的关键。例17（2025·宁夏·模拟预测）如图，AB是☉O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB=8,CD=2【答案】2【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理以及三角形中位线定理等知识，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．连接BE，先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值，易得AE=2r，连接BE，根据圆周角定理得到∠ABE=90°【详解】解：连接BE，如图所示：∵OD⊥AB∴AC设⊙O的半径OA∴OC在Rt△OAC中，由勾股定理得：解得：r=5∴AE∵OD=5，∴OC∵AE∴∠ABE∵点O,C分别是∴OC是△∴BE在Rt△CE=故答案为：2136.90°圆周角所对的弦是直径——坐标系应用错误：在平面直角坐标系中不能根据“90°圆周角所对的弦是直径”确定直径。注意：在平面直角坐标系中，如果圆内的弦两端正好在x轴和y轴上，那么这条弦为该圆的直径。如下图所示，因为∠AOB=90°，所以线段AB即为直径.xxyOAB例18（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别交于点A8，0，B0，6，C是AO的中点，则⊙【答案】54【分析】连接AB，CM，根据直角所对的弦为直径，得出AB为⊙M的直径，根据勾股定理求出AB=OA2+OB2=10，得出OA=【详解】解：连接AB，CM，如图所示：∵∠AOB∴AB为⊙M∵点A8，0∴OA=8，OB∴AB=∴OA=即⊙M的半径为5∵M为圆心，C是AO的中点，∴CM⊥OA，∴∠ADM根据勾股定理得：DM=∴CD=∴AC=∵C是AO的中点，∴AC=∴OC=∴△AOC的周长为AO故答案为：5；457.90°圆周角所对的弦是直径——动点问题错误：不能用“90°圆周角所对的弦是直径”来分辨出动点的轨迹为圆弧。注意：有些动点满足无论如何运动，都使得以其为顶点的角为直角，那么这个动点的运动轨迹为圆弧，且这个直角所对的固定长度的线段为该圆的直径。例19如图，正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为【答案】5【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，正方形的性质和应用，以及勾股定理的应用，首先判断出△ABE≌△DAF，即可判断出∠DAF=∠ABE，再根据∠ABE+∠BEA=90°，可得∠FAD+∠BEA=90°，所以∠APB=90°；然后根据点P在运动中保持∠APB=90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设【详解】解：如图：，∵动点F，E的速度相同，∴DF又∵正方形ABCD中，AB=2∴AD在△ABE和△AB=∴△ABE∴∠ABE∵∠ABE∴∠FAD∴∠APB∵点P在运动中保持∠APB∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接DG交弧于点P，此时DP的长度最小，AG=在Rt△AGD中，∴即线段DP的最小值为5-故答案为：5-8.同弧/等弧所对的圆周角相等错误：不能使用“同弧/等弧所对的圆周角相等”这一推论，在与圆有关的计算或证明中转移等量关系。注意：在圆内，充分利用“同弧/等弧所对的圆周角相等”这一性质，可以将同弧所对的多个圆周角列得等量关系，方便证明与计算。例20（2024年湖南省初中学业水平考试数学试题卷（万唯金卷））如图，直线AB，CD为⊙O的两条直径，点E在⊙O上，连接DE，点C为AE的中点，若∠AOC=50°，则【答案】25【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接BC，BE，根据等弧所对圆周角等于所对圆心角的一半，求得∠ABC【详解】解：连接BC，BE，如图，∵点C为AE的中点，∴AC∴∠∵∠∴∠∵CE∴∠故答案为：25．例21（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在半径为5的⊙O中，AQ是⊙O的直径，点B，D是直径右侧半圆弧上的两点（点B，D不与点A，Q重合）．连接AB,OD,OB,(1)当OD⊥AB时，求(2)当OB∥AD时，求(3)设AC=x,S△BCO2【答案】(1)2(2)64(3)y【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握圆的相关概念及应用是本题的解题关键．（1）当OD⊥AB时，由垂径定理求出OC，即可求出（2）当OB∥AD时，连接DQ，交OB于E，作OF⊥QB于F，根据等面积求出QE，再求出QD，根据勾股定理求出（3）作OM⊥AB于M，由同高的面积之比等于底之比得S△【详解】（1）解：如图，当OD⊥∵AB=8，∴AC=在Rt△∴OC=∴CD=（2）解：如图，当OB∥AD时，连接DQ，交OB于E，作OF⊥∵QB=∴QF=在Rt△∴OF=∵AQ为⊙O∴∠ADQ∵OB∥∴∠OEQ由等面积得12BQ·∴QE=∴QE=∴DQ=2在Rt△∴AD=∴△OAD的周长为OA（3）解：如图，作OM⊥AB于∴AM=∴OM=3∵AC=∴CM=∴OC∵S△∴S△∴y=∵点C为AB、∴点D在AB⏜上（不与A∴0<x∴y=9.圆的折叠问题错误：圆的折叠问题往往忽视折叠前后的角相等，从而联系不到对应的弧相等.注意：对折叠能为我们带来全等图形，但在圆中，相等的线段或角度，可以衍生更多结论，这些结论就有可能是解决几何问题的关键。比如下图中，将圆沿着弦AB折叠，使得点C折到点C’处，延长AC’交圆于点D，可知∠CAB=∠C’AB，根据圆周角的性质可知，BC=AABCCD例22（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，AB是半圆O的直径，点C为半圆O上一动点（除点A，B外），若圆弧BC沿BC所在的直线折叠后与直径AB交于点D（D在O右侧），当AB=8，OD=2时，CD=【答案】2【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系和折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，得到AC⏜=CD⏜，则AC=CD是解答的关键．过C作CH⊥AB于H，连接CO，【详解】解：解：过C作CH⊥AB于H，连接CO，∵AB是半圆O的直径，AB=8∴∠ACB=90°，OC=∴AD=6∵圆弧BC沿BC所在的直线折叠后与直径AB交于点D，∴AC⏜和CD⏜所在的圆是等圆，又AC⏜和CD∴AC⏜=CD∵CH⊥∴AH=DH=在Rt△CHO中，在Rt△DCH∴CD=故答案为：2610.圆内接四边形性质定理的运用错误：忽略圆内接四边形中对角互补的性质。注意：以圆为背景的关于求角的问题中，当有圆内接四边形时，注意对角互补的隐含条件。例23（2025·广东中山·三模）如图，△ABC为圆的内接三角形∠CAB=29°，∠B=34°，将△ABC绕【答案】54【分析】本题考查了旋转性质，圆内接四边形对角互补，三角形内角和性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用三角形内角和性质得∠ACB=117°，再根据圆内接四边形对角互补，得∠AB'【详解】解：连接B'∵∠CAB=29°，∴∠ACB∵△ABC为圆的内接三角形，将△ABC绕A点依顺时针方向旋转，∴∠A∴∠AB∴∠B即旋转角大小为54°，故答案为：54四、正多边形1.正六边形的内角和对角线错误：对正六边形每个内角的度数，以及关键对角线与边的关系不熟悉。注意：正六边形ABABCDEF①②（1）正六边形每个内角都是120°；（2）正六边形可以看作由六个全等的等边三角形拼成，如图②；（3）如果正六边形的边长为a，那么从正六边形一点出发的三条对角线中，AC=AE=3a，AD=2a.例24（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，正六边形的中心与坐标原点重合，若点A的坐标为-1,0，则点C的坐标为【答案】1【分析】本题考查了正多边形的中心角，正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设BC与y轴交于点G，连接OC，根据正六边形的对称性可知OA=OD=OC=1，∠OGC=90°，∠【详解】解：设BC与y轴交于点G，连接OC，如图，∵点A的坐标为-1,0∴OA=1∵正六边形的中心与坐标原点重合，由正六边形的性质可知：OA=OD=OC=1∴∠GOC在Rt△OCG中，∠GOC∴GC=∴OG=∴C1故答案为：12五、弧长与扇形面积1.探究多个圆弧运动下的路径弧长错误：求弧长时，不先明确圆心导致半径错误，在使用公式时算错。注意：（1）单条弧长求长度时，最重要是要确定圆心，才能确定半径大小，才能使用公式解弧长。（2）多个弧长的运动路径，主要先确定圆心，才能确定每段弧的半径长和弧长所对的圆心角，分别用公式求出每段弧长，再加起来，才是最终结果。常见的有“渐开线”的圆心呈周期性变化而半径不断增大，或者在几何图形的翻滚运动中的翻滚中心和半径长都呈周期性变化。①边长为1的正六边形中，从点A开始，依次以A、B、C、D、E、F、A为圆心作圆，生成如下图形：FK2:圆心点A，半径1K1K2:圆心点B，半径K2K3:圆心点C，半径K3K4:圆心点D，半径K4K5:圆心点E，半径K5K6:圆心点F，半径K6K7:圆心点A，半径......F→K7的路径长=60×1×π②直角三角形ABC在平面上向右滚动时点A的运动轨迹，视图如下：第一段：圆心为点B，半径为边AB长，角度为∠B外角；第二段：圆心为点A,半径为0，角度为∠A外角；（因此此段轨迹长为0，要格外注意）；第三段：圆心为点C，半径为边AC长，角度为∠C外角（即90°）。例25（24-25六年级下·上海·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∠B=30°，AB=2，AC=1．将△ABC沿着直线l作顺时针方向的滚动．△ABC到△A'【答案】13【分析】本题考查了求扇形的弧长，先求出△ABC到△A'B'C'的位置叫做“【详解】解：如图，△ABC'滚动了一周”，点A所经过的路程为AM由旋转可知，B'∠∴△ABC'滚动了一周，点A∴△ABC在滚动了3周之后，点A经过的路程长为13故答案为：13π2.求解扇形的衍生图形面积错误：衍生图形不够熟悉，不能利用扇形联系到衍生图形面积的求法。注意：常见的衍生图形：由扇形OAB的面积减去等腰三角形AOB的面积即可。由正方形的面积减去圆的面积的差除以4即可；也可以是左上角正方形减去1/4圆的面积。由扇形BDE的面积减去直角三角形BCD的面积即可。由扇形OAD的面积减去扇形OBC的面积即可。例26（2025·宁夏中卫·三模）如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长AB=2，则“勒洛三角形”与等边△ABC围成阴影部分的面积等于（结果保留【答案】2【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，等边三角形的性质，勾股定理，过点A作AH⊥BC于H，由等边三角形的性质得到∠ACB=60°，BH=【详解】解：如图所示，过点A作AH⊥BC于∵△ABC是等边三角形，AB∴BC=AB=2∴BH=∴AH=∴S阴影=3=2π故答案为：2π3.求解组合图形、叠加图形的面积错误：常见的扇形与其他几何图形的组合，或者多个图形的重叠和拼剪无法确认哪些图形变形而成。注意：解决此类问题最主要是要将不规则图形变成规则图形，常见的解决办法如下：1.等量代换法：根据同底等腰的性质，根据同底等腰的性质，S△OCD=S△ACD，所以S阴=S扇OCD。2.割补法：3.加减规则图形法SS阴=S扇形ADE－（S矩形ABCD－S扇形CDF）例27（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A'的位置，则图中阴影部分的面积为【答案】2【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，根据“阴影部分的面积=扇形ABA'的面积+以BA'为直径的半圆的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形【详解】解：S===2π故答案为2π1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）说法错误的有（

）①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为3cm且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可．【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则：①经过一个点P的圆有无数个，正确；②以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确；③半径为3cm且经过点P④以点P为圆心，以3cm综上，错误的为④，即1个．故选：A．2.（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，是我们平常所用的两把三角尺，将△CDE绕着点C沿逆时针（箭头方向）旋转一周360°．在旋转过程中，当∠BCD是钝角时，旋转角度α的取值范围是（A．0°<α<30°或120°<α<180° BC．0°<α<60°或150°<α<210° D【答案】D【分析】本题考查三角尺，图形的旋转，大于90度小于180度的角是钝角，分0°<α<60°，60°<α【详解】解：由题意知，旋转前，∠BCA=90°，∠DCE当0°<α<60°时，90°<∠BCD当60°<α<240°时，0°<∠BCD当240°<α<360°时，90°<∠BCD故当∠BCD是钝角时，旋转角度α的取值范围是0°<α<60°故选D．3.（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B、C、D都是⊙O上的点，若CD=BD,∠AOCA．140° B．144° C．146° D．150°【答案】B【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，由邻补角性质可得∠BOC=180°-∠AOC【详解】解：∵∠AOC∴∠BOC∵CD=∴∠COD∴∠AOD故选：B．4.（2025·贵州遵义·模拟预测）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交弧AB于点C，测出AB=8cm，CD=2A．4cm B．5cm C．7cm D．10cm【答案】B【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设这个残缺圆形工件的圆心为点O，连接OA，先判断出圆心O一定在直线CD上，再根据垂径定理可得AD=12AB=4【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点O，连接OA，∵CD是弦AB的垂直平分线，∴圆心O一点在直线CD上，又∵CD是弦AB的垂直平分线，AB=8∴AD=12设圆形工件的半径为rcm，则OA∵CD=2∴OD=在Rt△AOD中，AD解得r=5∴圆形工件的半径为5cm故选：B．5.（2024年长沙市初中学业水平考试（数学）万唯临考金卷）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥弦CD，垂足为点E，若∠ADC=58°，则A．32° B．58° C．64° D．72°【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．连接BD，先根据圆周角定理可得∠ADB=90°，则可得【详解】解：如图，连接BD，∵AB是⊙O∴∠ADB∵∠ADC∴∠BDC由圆周角定理得：∠COB故选：C．6.（2024九年级下·广东·学业考试）如图△ABC内接于⊙O．若∠A=75∘，∠B=60A．23 B．22 C．2+【答案】D【分析】本题考查了三角形内角和定理，圆周角定理，勾股定理解直角三角形等内容，作出正确的辅助线构造直角三角形是解题关键．连接OA、OB，由三角形内角和可得出∠C=45°，再根据圆周角定理可得∠AOB=90°，在Rt△【详解】解：如图所示，连接OA、OB，在△ABC中，∠BAC=75°∴∠C=180°-∠∴∠AOB=2∠在Rt△AOB中，OA=OB即222=2故⊙O的直径为2故选：D．7.（2025·河南开封·一模）如图是完全展开的扇形纸扇，AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，DE的长为8A．252πcm2 B．248πcm2 C．【答案】A【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及弧长的计算，先根据弧DE的长求出AD的长，再用大扇形的面积减去小扇形的面积即可解决问题．【详解】解：由题知，∵DE的长为8πcm，∴120⋅π解得AD=12∴S扇形ABC=∴扇面的面积为：300π故选：A．8.（24-25九年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，AD是⊙O的直径，将弧AB沿弦AB折叠后，弧AB刚好经过圆心O．若BD=6，则A．33 B．35 C．63【答案】C【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质和折叠的性质，直径所对的圆周角是90度，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解题的关键．过点O作OH⊥AB于点H，交AB于点M，连接AM，根据折叠的性质得到AB垂直平分OM，所以AO=AM，再判断△AOM为等边三角形得到∠AOM=60°，得出∠【详解】解：如图，过点O作OH⊥AB于点H，交AB于点M，连接∵将弧AB沿弦AB折叠后，弧AB刚好经过圆心O，∴AB垂直平分OM∴AO∴AM∴△AOM∴∠AOM∵OH∴∠OAH∵AD∴∠ABD∴AD∴AB故选：C．9.（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知圆弧所在圆的半径为8 cm，所对的圆心角为45°，则这条弧的长为【答案】2【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是掌握弧长公式l=【详解】解：弧长为=45×故答案为：2π10.（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是16cm，到圆的最小距离是4cm，则圆的半径是【答案】6【分析】设圆的半径为xcm，根据题意，得x本题考查了圆的性质，解方程，熟练掌握圆的性质是解题的关键．【详解】解：设圆的半径为xcm，根据题意，得x解得x=6故答案为：6cm11.（2025·江苏南京·三模）如图，△ABC内接于⊙O，若AB=AC=10，BC【答案】25【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合AB=AC=10，BO=OC，得AO【详解】解：过点A作AH⊥BC∵AB=AC=10∴AO所在的直线是BC的垂直平分线，∴A,∴BH=在Rt△ABH中，设⊙O的半径是r则HO=8-在Rt△OHB中，∴r2解得r=故答案为：25412.（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，以正六边形ABCDEF的顶点A为圆心，AB长为半径画圆，M是⊙A上的任意一点，则∠FMB的度数为【答案】60°/60度【分析】本题考查了正多边形的内角问题，圆周角定理．本题的关键是根据多边形的内角和公式求出圆心角度数．根据多边形的内角和公式求出∠A【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形∴∠A∴∠M故答案为：60°．13.（2025·浙江宁波·模拟预测）等腰△ABC中，∠A=36°，AB=AC，以C为圆心，BC为半径作圆弧与△ABC【答案】54°或72°【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形内角和定理，由等边对等角和三角形内角和定理得到∠ABC=∠ACB=72°，再分点D在AB上和点【详解】解：∵AB=AC，∴∠ABC如图，当⊙C与AB交于D∵CD=∴∠BDC如图，当⊙C与AC交于D∵CD=∴∠BDC∴∠BDC的度数为54°或72°故答案为：54°或72°．14.（2025·吉林长春·二模）如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点P是直径MN上一动点．连接AB、AP、BP，若MN=22【答案】3+1/【分析】本题考查了圆周角定理，轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的判定和性质等，作点A关于MN的对称点A'，连接A'B，交MN于点P，连接OA'、OA、OB、PA'、AA'，PA正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：作点A关于MN的对称点A'，连接A'B，交MN于点P，连接OA'、OA、OB则PA=∴PA+PB=PA∵点A与A'关于MN对称，点A∴∠A∵点B是AN的中点，∴∠BON∴∠A∵MN是⊙O的直径，∴OB∴△O∴A∴PA+PB∴△PAB周长的最小值=故答案为：3+115.（24-25九年级上·吉林·期中）某型号的圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．设其圆心