2025-2026学年第十九章二次函数和反比例函数强化训练北京版九年级数学上学期 含答案

/第十九章二次函数和反比例函数强化训练2025-2026学年北京版九年级上册一、选择题1.下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（

）A． B． C． D．2.关于函数的图象，有下列说法：①对称轴为直线

②抛物线开口向上③图象经过原点

④从图象可以判断出当时，y随着x的增大而减小．其中正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④3.若反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＞1 D．k＜14．已知二次函数的图像上有三点A（1，），B（2，），C（-2，），则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．5.将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是（

）A． B．C． D．6.表示关系式；；的图象依次是（

）A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③7.反比例函数的图象位于（

）A．第一、第三象限B．第一、第四象限C．第二、第三象限 D．第二、第四象限8.如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图像上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y＝﹣（x＞0）的图像于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（

）A．逐渐变大或变小 B．等于定值16C．等于定值8 D．另有答案9．如图，函数经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②abc＞0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点，则．其中结论的正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（

）

A．2.25m B．9m C．11.25m D．12m二、填空题11．已知函数是关于x的二次函数，当k＝时，图象开口向上；当k＝时，图象开口向下．12．已知反比例函数，当y=6时，x=．13.反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是_______．14．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为(﹣5，0)，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一根为______．15.如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上，轴，且的对角线交点为坐标原点O．若，则．16．一辆宽为2m的货车要通过跨度为8m，拱高为4m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－x2＋4．为保证安全，车顶离隧道至少要有0．5m的距离，则货车的限高应为．三、解答题17.已知y是关于x的反比例函数，当x=3时，y(1)求此函数的表达式；(2)当x=−4时，函数值是2m，求18．已知二次函数的图象如图所示，求的面积.19.为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与燃烧时间x（单位：min）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10min燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为8mg(1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？20.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由；（3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？21.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式；(2)点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．①在线段MB上是否存在点P，使△PCD的面积最大．如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由；②在线段MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】一、选择题1.下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B2.关于函数的图象，有下列说法：①对称轴为直线

②抛物线开口向上③图象经过原点

④从图象可以判断出当时，y随着x的增大而减小．其中正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C3.若反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＞1 D．k＜1【答案】C．4．已知二次函数的图像上有三点A（1，），B（2，），C（-2，），则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B5.将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B6.表示关系式；；的图象依次是（

）A．①②③ B．③①② C．②③① D．②①③【答案】D7.反比例函数的图象位于（

）A．第一、第三象限B．第一、第四象限C．第二、第三象限 D．第二、第四象限【答案】D8.如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y＝（x＞0）的图像上从左向右运动，PA∥y轴，交函数y＝﹣（x＞0）的图像于点A，AB∥x轴交PO的延长线于点B，则△PAB的面积（

）A．逐渐变大或变小 B．等于定值16C．等于定值8 D．另有答案【答案】B9．如图，函数经过点（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②abc＞0；③9a﹣3b+c＝0；④5a+b+c＝0；⑤若点，则．其中结论的正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D10．如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（

）

A．2.25m B．9m C．11.25m D．12m【答案】B二、填空题11．已知函数是关于x的二次函数，当k＝时，图象开口向上；当k＝时，图象开口向下．【答案】4－212．已知反比例函数，当y=6时，x=．【答案】13.反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则m的取值范围是_______．【答案】m>114．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为(﹣5，0)，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一根为______．【答案】x＝315.如图，的顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在反比例函数的图象上，轴，且的对角线交点为坐标原点O．若，则．【答案】16．一辆宽为2m的货车要通过跨度为8m，拱高为4m的截面为抛物线的单行隧道(从正中间通过)，抛物线满足关系式y＝－x2＋4．为保证安全，车顶离隧道至少要有0．5m的距离，则货车的限高应为．【答案】3.25m三、解答题17.已知y是关于x的反比例函数，当x=3时，y(1)求此函数的表达式；(2)当x=−4时，函数值是2m，求【答案】(1)反比例函数解析式为y(2)m【详解】（1）解：设反比例函数解析式为y=把x=3，y=−2代入反比例函数解析式，可得：∴反比例函数解析式为y=−（2）解：由（1）可得：y=−∵当x=−4时，函数值是2又∵当x=−4时，y∴2m解得：m=18．已知二次函数的图象如图所示，求的面积.【答案】解：∵二次函数∴顶点∵点在图像上且在轴上，即时的坐标∴∴∴的面积19.为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与燃烧时间x（单位：min）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10min燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为8mg(1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？【答案】(1)药物燃烧时；y=4(2)至少需要40分钟后学生才能回教室【详解】（1）解：设y1∵函数经过点10,8，∴8=10k1，∴y1根据函数图象可得0<∴药物燃烧时；y=设y2∵函数经过点10,8，∴8=k210∴y2根据函数图象可得x

∴药物燃烧后y=（2）令y2=1.6，则80x50−10=40答：至少需要40分钟后学生才能回教室．20.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）该商场平均每天盈利能达到1500元吗？如果能，求出此时应降价多少；如果不能，请说明理由；（3）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元？解：（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出，由题意，得，即：，解，得，，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为20，所以，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价20元；（2）假设能达到，由题意，得，整理，得，，即：该方程无解，所以，商场平均每天盈利不能达到1500元；（3）设商场平均每天盈利元，每件衬衫应降价元，由题意，得，，，，当元时，该函数取得最大值为1250元，所以，商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元．21.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0），C（0，3），点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式；(2)点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．①在线段MB上是否存在点P，使△PCD的面积最大．如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由；②在线段MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（1）解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）解：存在．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴M（1，4），设直线BM的解析式为y＝kx+n，把B（3，0），M（1，4）代入得，解得，∴直线BM的解析式为y＝﹣2x+6，设P（m，﹣2m+6）（1≤m＜3），∴S＝•m•（﹣2m+6）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∵1≤m＜3，∴当m＝时，S有最大值，最