2025-2026学年第四章 相似三角形 单元测试卷A卷浙教版数学九年级上学期 含答案

/第四章相似三角形单元测试卷A卷浙教版2025—2026学年九年级上册一．单项选择题（每小题4分，满分40分）题号1345678910答案1．下列各组图形其中的一个可以看作是另一个放大或缩小得到的是(

)A．B． C． D．2．△ABC的三边长分别为、、2，△A′B′C′的两边长分别为1和，如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边的长应等于(

)A． B．2 C． D．23．下列说法正确的是（

）A．位似图形中每组对应点所在的直线必互相平行B．两位似图形的面积比等于位似比C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比D．位似图形的周长之比等于位似比的平方4．若，则的值是（）A． B． C． D．5．△ABC和△A′B′C′是相似图形，且对应边AB和A′B′的比为1：3，则△ABC和△A′B′C′的面积之比为（）A．3：1 B．1：3 C．1：9 D．1：276．如图，在中，，且，被、分成三部分，且三部分面积分别为，，，则A．1：1:1 B．1:2:3 C．1:3:5 D．1:4:9第8题图第8题图第7题图第6题图第7题图第6题图7．如图，要使，则下列选项中不能作为条件添加的是（）A．B=BD∙BA B．∠A=∠BCD C．∙ D．8．如图，是的重心，则下列结论正确的是（）A．2AD=DE B．AD=2DEC．3AD=2DE D．AD=3DE9．如图，两条直线被三条平行线所截，AB＝2，BC＝3，则等于(

)A． B． C． D．第10题图第12题图第9题图第10题图第12题图第9题图10．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD=1，BD=2，现将△ABC折叠，使点C与点D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上，若BF=1.2，则CE的长为A． B． C． D．二．填空题（每小题5分，满分20分）11．若，则．12．如图，在中，点D、E分别在边、上，，如果，那么．13．如图，在中，，，点D，E分别在，上，且，若，，则的长度是．14．如图，矩形中，点P在边上，，连接并延长，交的延长线于点E，连接交于点Q．则的值为．第13题图第13题图第14题图第14题图三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）15．小明复习了四边形后，对四边形的翻折进行了探究：已知，点E为四边形边上一点，将沿折叠，点D的对应点为F，射线交四边形的边于一点P．(1)若点E是边的中点．①如图1，若四边形为正方形，求证：；②如图2，若四边形为菱形，，求的长；(2)若四边形为矩形时，，点E为的三等分点，求的长．16．如图，已知：在矩形中，的平分线分别与边及边的延长线相交于点、，为的中点，连接．(1)如果，，求的面积；(2)连接，求的度数．17．如图，在菱形中，，．点是边的中点，延长、交于点，平分交于点．(1)求证：．(2)求菱形的面积．(3)求的长．18．已知，P是平分线上一点，于点A，于点B．(1)如图1，求证：四边形是正方形．(2)如图2，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：．(3)点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值．(4)点M在线段的延长线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，，求线段的长．19．如图，四边形是圆O的内接四边形，连结交于点E(1)求证：(2)若，．①求证．②当时，求的值．20．实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为，．(1)以点为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的．(2)的坐标为．(3)若点是内任意一点，则位似变换后对应点坐标为．参考答案一、选择题题号12345678910答案BCCCCCCBBC二、填空题11．或2【分析】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键．分两种情况讨论：与时，再进行计算即可．【详解】解：若，则，，，此时，，若，则，综上所述，k的值为或2．故答案为：或2．12．【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，利用平行线证，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．【详解】∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．13．/【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形．过点C作交的延长线于F，判定是等腰直角三角形，得到，判定，推出，求出，判定，得到，即可求出的长．【详解】解：过点C作交的延长线于F，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴．故答案为：．14．【分析】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，先根据求出，再根据矩形的性质求解即可．【详解】解：，，四边形是矩形，，，，，，，，即，，．故答案为：．三、解答题15．(1)①见解析；②(2)或1【分析】（1）①如图，连接根据菱形的性质得到，得到，根据折叠的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，②如图，延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，根据菱形的性质得到，求得，由翻折可知，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，得到，设，则，，在△中，，根据勾股定理得到；（2）当时，如图，可知，，根据相似三角形的性质得到，即，根据勾股定理得到；当时，如图．过点作，与，的延长线交于点，，设，求得，根据相似三角形的性质得到结论．【详解】（1）（1）①证明：如图，连接四边形为正方形，点为的中点，，将△沿折叠，点的对应点为，，，，，△△，，②解：如图，延长交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，四边形为菱形，，，由翻折可知，，，，，，，△△，，，即，设，则，，在△中，，，在△中，由勾股定理可得，即，解得，；（2）解：当时，如图，可知，，△△，，即，在△中，，即，解得：；当时，如图．过点作，与，的延长线交于点，，设，，由“”字型相似可得△△，，即，解得，在△中，由勾股定理得，解得（舍去），，，即，解得，综上所述，或1．16．(1)6(2)【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形、正方形的性质和判定、角平分线的定义、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）过作于，交于，证明≌，根据角平分线和矩形的对边平行得：，并求出，由∽，列比例式求的长，代入面积公式可得结论；（2）证明≌，推出是等腰直角三角形，即可求解．【详解】（1）解：如图，过作于，交于，∵四边形是矩形，∴，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，在和中，，∴≌，∴，∵是的中点，∴，∴，∵，∴∽，∴，∴，∴，∴；（2）解：如图，过作于，连接，∵，∴四边形是矩形，∴，在中，，∴是等腰直角三角形，∵是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形是正方形，∴，∵，∴，即，∵，在和中，，∴≌，∴，，∴，即，∴是等腰直角三角形，∴．17．(1)见解析(2)(3)【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与相似三角形的性质，正确地添加辅助线是解题的关键．（1）连接交于点，由菱形的性质得，，则，而，所以；（2）由，得，由，，求得，则，所以；（3）设交于点，证明，则，证明得出，进而根据，得出即可求解．【详解】（1）证明：连接交于点，四边形是菱形，，，，延长、交于点，平分交于点，，，，．（2）解：，，，，，，，菱形的面积为．（3）解：设交于点，，，，在和中，，，，∵∴∴∴又∵∴∴．18．(1)见详解(2)见详解(3)(4)【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得到，即可证明；（2）根据题意可证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证；（3）延长相交于点G，可证明，则，根据已知条件和（2）中结论，表示出各线段长度，证明后，利用相似三角形性质列比例式求解即可（4）延长交于点H，可证，可求出长度，利用，，由对应线段成比例可求得线段长．【详解】（1）证明：，，，，四边形是矩形．是平分线上一点，，四边形是正方形；（2）由（1）知四边形是正方形，，．，，，又，，，，；（3）如图1，延长相交于点G，，设，则，由（2）知，，．，，，．四边形是正方形，，，，；（4）如图2，延长交于点H，由（1）知四边形是正方形．，，．，．又，，，，．，，．，，，即，．，，，．又，．19．(1)见解析(2)①见解析；②【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出进而得出；（2）①设，过点作于点F，利用等腰三角形的性质与同弧所对圆周角相等可得：，，，再利用三角形的内角和定理即可求证；②设，，则，由此可得，由（1）可知，设相似比为，设，，则，由相似三角形的性质可得：，可解得，在和中，利用勾股定理可得，则，联立方程解出，在中，设，由得：，由勾股定理可得，由此即可求解出的值．【详解】（1）证明：，，又，；（2）①证明：设，过点作于点F，，，且平分，，，，，，，，，，，；②解：当时，设，，在等腰中，，，，设，，则，由可得：，，在和中，由勾股定理得：，，，，，，联立解得：，，，，在中，设，由得：，在中，，即，，，，．20．(1)