2025-2026学年第2章特殊三角形 秘题加练浙教版数学八年级上学期 含答案

/秘题加练17数学思想——对称补缺2.1图形的轴对称 打卡日期：实际用时：分钟例17材料阅读：“对称补缺”是解决与轴对称图形有关问题的一种添加辅助线的常用策略。如图1,在△ABC中,BM是△ABC的角平分线,AN⊥BM,交BM的延长线于点N。如图2,延长AN，BC，两者相交于点D，即可构造出轴对称图形△ABD，进而得到边、角之间特殊的数量关系，为解决问题提供思路。迁移应用:如图3,在△ABC中,若∠ACB=90°,AC=BC,AM是∠CAB的平分线,点M在BC上,BN⊥AM,交AM的延长线于点N。若BN=7,求AM的长。[解题秘籍]根据阅读材料中的方法添加辅助线，再由全等三角形的性质求出AM。强化训练17如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=80∘,O为△秘题加练18数学思想——等腰三角形中的分类讨论思想2.2等腰三角形 打卡日期：实际用时：分钟例18在△ABC中，AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm的两部分，求[解题秘籍]由题意可得线段之间的数量关系，进而求出边长。强化训练18已知在△ABC中，AB=AC,，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为2cm的两个三角形。已知△ABC的周长为16cm,求秘题加练19等腰三角形的性质2.3等腰三角形的性质定理打卡日期：实际用时：分钟例19如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D,E,F分别为AB,BC,CA上的点,且满足BE=CF,BD=CE。(1)求证:DE=EF。(2)已知∠A=70°,求∠DEF的度数。[解题秘籍]答案(1)由AB=AC,得∠B=∠C,可发现一组全等三角形。(2)由全等三角形的性质得出等角，根据平角定义和三角形内角和定理推导出∠DEF与一个已知角相等。强化训练19已知等腰三角形ABC,AB=AC,∠A=20°。(1)如图1,在AB上取点D,使AD=BC,则∠BDC=°。(2)如图2,D,E分别为AC,AB上的点,∠DBC=60°,∠ECB=50°,求∠BDE的度数。秘题加练20等边三角形的性质与全等三角形的综合2.3等腰三角形的性质定理打卡日期：实际用时：分钟例20(1)如图1,△ABD和△AEC都是等边三角形,求证:BE=DC。(2)如图2,已知点F在直线BC上,∠ABC=60°,以AF为边作等边三角形AEF,连结BE,求证:AB+BF=BE。[解题秘籍](1)由等边三角形的性质证明△ADC≌△ABE，即可得到答案。(2)构造等边三角形，利用(1)中结论可得到答案。强化训练20【模型定义】“手拉手模型”是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成。在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形。如果把小等腰三角形的腰看作是小手，大等腰三角形的腰看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手。【模型探究】(1)如图1，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连结BE,则∠AEB的度数为°,线段BE与AD之间的数量关系是。【模型应用】(2)如图2,AB=BC,∠ABC=∠BDC=60°,求证:AD+CD=BD。【拓展提高】(3)如图3,在两个等腰直角三角形ABC和ADE中,AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE=90°,连结BD,CE,两者相交于点P,则BD和CE的数量关系是,位置关系是。秘题加练21等腰三角形“三线合一”2.3等腰三角形的性质定理 打卡日期：实际用时：分钟例21把下列证明过程补充完整。已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CE⊥AB于点E。求证:∠CAD=∠BCE。证明:∵AB=AC,∴∠B=∠。∵AD是BC边上的中线,∴ADBC,∴∠ADC=90°,∴∠CAD+∠ACB=90°。∵CE⊥AB,∴∠BEC=90°,∴∠+∠B=90°,∴∠CAD=∠BCE。[解题秘籍]在补填证明过程时，要注意由同一个条件可能会推得几个不同的结论，而这些结论都可以用来继续证明，因此为了避免填错，需要结合上下文。强化训练21如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=5,AD=4,BC=6。在AB,AC上分别截取AP,AQ,使AP=AQ。再分别以点P,Q为圆心,以大于12秘题加练22等角对等边2.4等腰三角形的判定定理打卡日期：实际用时：分钟例22如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论:①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②DE=DB+CE;③AD+DE+AE=AB+AC;④BF=CF。其中所有正确的结论为(填序号)。[解题秘籍]根据角平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出∠DBF=∠DFB，即△BDF是等腰三角形，同理△CEF是等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解答即可。强化训练22如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，P为CA延长线上一点，过点P作PE∥AD,分别交AB,BC于F,E两点。(1)求证:△APF是等腰三角形。(2)过点C作CH∥AB，交AD的延长线于点H，若CD=DH，请直接写出图中所有的等腰三角形(△APF除外)。秘题加练23逆命题与逆定理2.5逆命题和逆定理 打卡日期：实际用时：分钟例23如图1，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于3[解题秘籍]参考图1.延长BC至点D，使CD=BC,连结AD，发现△ABD的特殊性，再由△强化训练23如图，点A1,B1,C1小聪在做完课本中的这道题后发现：若把原命题中‘“AC1=秘题加练24与“斜边上的中线”有关的综合题2.6直角三角形 打卡日期：实际用时：分钟例24如图,在△ABC中,AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线,F为CE的中点,连结DF,已知CD=AE。(1)若∠BAD=50°,则∠EDB的度数为°。(2)求证:DF⊥CE。(3)若S△CDF=1[解题秘籍]答案(1)解在直角三角形中求角度的问题，要能想到斜边上的中线分直角三角形为两个等腰三角形。(2)发现DF和CE在同一个三角形中，而F又是CE的中点，容易想到“三线合一”，故想到通过用直角三角形的性质证ED=DC。(3)利用中线分三角形为面积相等的两部分，找到△CDE和△强化训练24如图1，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高线，M，N分别是线段BC,DE的中点。(1)求证:MN(2)连结DM,ME。①若∠ABC=70②猜想∠A与∠(3)当∠BAC秘题加练25直角三角形的判定2.6直角三角形 打卡日期：实际用时：分钟例25如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,D为AC上一点,延长BC至点E,使CE=CD,连结AE,BD,延长BD交AE于点F。求证:△BEF是直角三角形。[解题秘籍]发现图形中的全等三角形，利用全等三角形的性质证明∠EBF+∠E=90°。强化训练251.如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF。求证:△DEF是等腰直角三角形。2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E在BC上,CE=AC,EF⊥CD于点F。(1)求证:AD=CF。(2)连结AE,若G是AE的中点,连结GD,GF,求证:GD⊥GF。秘题加练26勾股定理的应用2.7探索勾股定理 打卡日期：实际用时：分钟例26勾股定理有着悠久的历史，它的证明曾引起很多人的兴趣。如图1，以直角三角形的三边为边向外作正方形，西方著名数学家毕达哥拉斯就曾用此图形证明了勾股定理。现把较小的两个正方形纸片按图2所示的方式放置在最大的正方形内，两个较小正方形纸片的重叠部分记为四边形ABCD。若AB=3，求图中阴影部分的面积。[解题秘籍]设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边长为c，由图形可得出阴影部分矩形的长和宽，进而得出阴影部分矩形的面积，再结合勾股定理即可得到结果。本题还可以由勾股定理的面积关系直接看出S田边形ABCD=2S强化训练26阅读理解：【问题情境】小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图可以验证勾股定理吗?【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积-+4个直角三角形的面积。从而得到等式：a+b2【初步运用】(1)如图1，若b=2a,，则小正方形面积：大正方形面积=。(2)现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若(a=4,b=6,，此时空白部分的面积为。(3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓(实线)的周长为24，OC=3,，求该风车状图案的面积。【迁移运用】(4)如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EF-GH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S秘题加练27 勾股定理的逆定理2.7探索勾股定理 打卡日期：实际用时：分钟例27如图,在△ABC中,AB=AC=13cm,,D是边BC上一点,BD=5cm,AD=12cm,动点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度向终点C运动，设运动时间为t(s)，当BP的中垂线恰好经过点D时，求t的值。[解题秘籍]利用勾股定理的逆定理得出.△ABD强化训练27如图，在四边形ABCD中，AD=秘题加练28直角三角形全等的判定2.8直角三角形全等的判定打卡日期：实际用时：分钟例28已知AD是△ABC的角平分线,DE⟂(1)如图1,若BD=CD,求证:BE=CF。(2)如图2,连结EF,求证:AD垂直平分EF。[解题秘籍](1)先利用角平分线的性质得到DE=DF,再证明Rt(2)由(1)得点D在EF的垂直平分线上，再通过证明三角形全等得到点A在EF的垂直平分线上，强化训练281.如图,在△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,E为△ABC外一点,AB=AE,连结AD,DE,DE交AB于点F,且AD平分∠CDE。(1)用尺规完成以下基本作图：过点A作DE的垂线，垂足为M(不写作法，保留作图痕迹)。(2)在(1)的条件下,求证:∠BDF=∠EAF(填空)。证明:∵∠C=90°,∴CA⊥CD。∵AD平分∠CDE,CA⊥CD,AM⊥DE,∴。在Rt△ABC和Rt△AEM中,∵{∴Rt△ABC≌Rt△AEM(),∴。∵∠BFE=∠B+∠BDF,∠BFE=∠E+∠EAF,∴∠B+∠BDF=,∴∠BDF=∠EAF。2.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AC,AB上的点,M,N分别是CE,BD上的点,若MA⊥CE,AN⊥BD,AM=AN。求证:(1)△ABN≌△ACM。(2)EM=DN。秘题加练29再谈截长补短法第2章学习任务清单 打卡日期：实际用时：分钟例29当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，要认真留意。如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,交BC于点D,且∠B=2∠C,求证:AB+BD=AC。截长法:如图1,在AC上截取AE=AB,连结DE,证明CE=BD即可。补短法:如图2,延长AB到点F,使BF=BD,连结DF,证明AF=AC即可。请补全两种方法的证明过程。[解题秘籍]在本题中，截长法和补短法的核心都是创造轴对称图形，再利用轴对称带来的众多等量关系进行角度或线段转换，从而解决问题。在三角形中，与轴对称密切相关的就是角平分线。强化训练29在△ABC中,∠CAB=2α,且0°<α<30°,AP平分∠CAB。(1)如图1,若α=21°,∠ABC=32°,且AP交BC于点P,试探究线段AB,AC与PB之间的数量关系，并加以证明。(2)如图2,若∠ABC=60°-α,点P在△ABC的内部,且∠CBP=30°,求∠APC的度数(用含α的代数式表示)。秘题加练30几何模型——倍长中线模型第2章学习任务清单 打卡日期：实际用时：分钟例30学习了全等三角形后，我们知道中点在平行线之间的题目通常会用到倍长中线构造“8”字型全等的方法：如图1，已知AB∥CD，连结AD，BC，两者相交于点E，若E为AD的中点，则有△ABE≌△DCE。请利用以上方法解决下列问题。(1)如图2，为测量河对岸点A到点B的距离，过点B作直线l，并在直线l上依次取点C和点D，使得AC⊥l，BC=BD。补全图形，指出测量哪条线段就可知道AB的长，并加以证明。(2)如图3，在△ABC中，D是AC的中点，分别以AB，BC为一条直角边，向外作等腰直角三角形ABE和BCF,∠ABE=∠CBF=90°,试判断线段BD与EF的数量关系并说明理由。(3)如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,连结CD,过点D作ED⊥CD,交AC于点E。已知AE=2,BC=5,则CE的长为。[解题秘籍](1)根据题目中的方法，构造“8”字形全等模型，找到AB的对应边即可。(2)延长BD至点G,使得.DG=(3)延长CD至点F,使.DF=强化训练30【探索发现】(1)如图1，在△ABC中，D为线段BC的中点，延长AD至点E，使AD=DE,连结CE。能证明△ABD≅△【初步应用】(2)如图2,AD是△ABC【拓展提升】(3)如图3，在△ABC中,D是BC的中点,∠A=45秘题加练31等腰三角形中的新定义问题第2章学习任务清单 打卡日期：实际用时：分钟例31在平面内，对于一个等腰三角形，若存在一个点到一条腰两端点的距离相等，且到三角形第三个顶点的距离等于腰长，则我们称这个点为等腰三角形的“双合点”。如图1，在等腰三角形ABC中,AB=AC,且AP=BP,PC=AC,则称点P为等腰三角形ABC的“双合点”。(1)如图2，在等腰三角形ABC中，AB=AC，请用无刻度的直尺和圆规作出该等腰三角形的一个“双合点”P(保留作图痕迹)。(2)在等腰三角形ABC中,AB=AC。①如图3,当“双合点”P恰好在边BC上,且满足PC=AC时,求∠BAC的度数。②当“双合点”P在边BC的延长线上时,∠BAC=°。(3)如图4,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,Q为△ABC内一点,连结AQ,BQ。当∠CAQ=∠CBQ=15°时,求证:点Q为等腰三角形ABC的“双合点”。[解题秘籍](1)根据“双合点”的定义，作一条腰的垂直平分线，以这条腰所对的顶点为圆心，展长为半径画弧交这条腰的垂直平分线于点P，则点P即为所求。(2)根据“双合点”的定义和等腰三角形的性质，再由等边对等角和三角形的内角和为180(3)过点B作BH⟂AQ于点H,过点Q作(QG⟂BC于点G，过点C作(CD⟂AQ于点D,连结CQ,证明△强化训练31定义:在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若a,b,c满足b2(1)命题“直角三角形都是和谐勾股三角形”是(填“真”或“假”)命题。(2)如图1，若等腰三角形ABC是“和谐勾股三角形”，其中AB=BC,AC>AB,求∠A(3)如图2,在△ABC申,∠B=2∠A,且①当∠A②请证明△ABC秘题加练32等腰三角形中的探究问题第2章学习任务清单 打卡日期：实际用时：分钟例32综合与实践：小聪与小慧两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”展开了课后探究。【情景再现】如图1,在△ACB和△A'C'B'中,∠下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程。证明:如图1,延长BC至点D,使CD=B'C',连结AD。∵AC∴△ADC≌△A'B'C'(SAS),∴AD……∴△ABC≌△ADC(SSS),∴△ABC≌△A'B'C'。【实践解决】(1)请结合“情景再现”的证明过程，把“……”的部分补充完整。(2)小聪进行了如下的思考：如图2，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90(3)小慧结合“构造法”进行了进一步探究：如图3，△MON是等腰直角三角形，∠MON=90∘[解题秘籍](1)结合上下文，找到相等的边即可。(2)由三角形全等证明.AE=(3)由(2)中的思路，容易想到在OP外侧作等腰直角三角形，再利用(2)中的结论易得NP的长。强化训练32 【教材呈现】如图1所示为数学教材的部分内容。【操作发现】(1)如图2，通过作图我们可以发现，此时(即“边边角”对应相等)的两个三角形全等(填“一定”或“不一定”)。【探究证明】(2)阅读并补全证明：已知:如图3,在△ABC和△DEF中,∠B=∠E,AC=DF,∠C+∠F=180°(∠C<∠F)。求证:AB=DE。证明:在BC上取一点G,使AG=AC。∵AG=AC,∴∠C=。又∵∠C+∠F=180°,而∠AGC+∠AGB=180°,∴∠AGB=。∵AC=DF,∴AG=。又∵,∴△ABG≌△DEF(AAS),∴AB=DE。【拓展应用】(3)在△ABC中,AB=AC,点D在射线BA上,点E在AC的延长