培优专题03 圆锥曲线中常考的二级结论（期末复习专项训练）（原卷版及全解全析）

2/24专题03圆锥曲线中常考的二级结论题型1圆锥曲线中的点差法题型9椭圆焦点三角形内切圆问题题型2抛物线焦半径焦点弦长题型10双曲线焦点三角形内切圆问题题型3椭圆的焦半径与焦点弦长题型11椭圆双曲线共焦点与离心率的关系题型4双曲线的焦半径与焦点弦长及定值题型12双曲线中的面积定值题型5抛物线的焦半径倒数之和为定值题型13圆锥曲线的切点弦方程题型6椭圆的焦半径倒数之和为定值题型14椭圆离心率与焦点三角形底角的关系题型7圆锥曲线中的焦比与离心率题型15圆锥曲线的第三定义题型8椭圆双曲线的焦点三角形面积问题题型16椭圆焦点三角形最大张角与离心率关系2/24题型一圆锥曲线中的点差法（共3小题）1．(25-26高二上·贵州部分学校·期中)已知直线l与椭圆C:x214+y26=1交于A,B两点，若线段2．(25-26高三上·河南部分校·期中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，斜率为2的直线l交C于M、N两点，P为C上异于M、N的点，且MP⊥NP．直线MP、NP均不过坐标原点O．设△MOP与△NOP的重心分别为D、E，△MNP的外心为T，直线OD、OE、OT的倾斜角分别为α3．(23-24高二下·广东·调研)已知O为坐标原点，点A,B在抛物线E:x2=4y上，且OA⋅OB=0,OD=OA+OB.记点D的轨迹为曲线G，若直线l题型二抛物线焦半径与焦点弦长（共3小题）4．已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，AB=10，AB的中点横坐标为4，则A．2 B．23 C．4 D．5．(24-25高二上·安徽亳州普通高中·期末)已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（B在x轴上方），且BF=36．(23-24高二上·江苏常州·期末)在平面直角坐标系xOy中，A，B为抛物线C:y2=4x上两个不同的点，F为抛物线的焦点，若AF=3FB题型三椭圆的焦半径与焦点弦长（共3小题）7．(24-25高二上·浙江台州·期末)已知椭圆E:x25+y2b2=1(0<b<5)的左右焦点分别为F1,F2A．x25+C．x25+8．(23-24高二下·安徽级示范高中培优联盟·)在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，y轴右侧的两点A，B在椭圆Γ上，且直线AB与圆O：A．12 B．35 C．349．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为e．倾斜角为120°的直线与A．12 B．33 C．32题型四双曲线的焦半径与焦点弦长及定值（共3小题）10．(24-25高三上·江苏苏州第三中学·月考)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1，焦点到一条渐近线的距离为7，离心率e=322，过左焦点F的直线11．已知双曲线C:x24−y22=1的左焦点为F，过点F的直线l交双曲线C12．(23-24高二上·福建晋江第一中学·期中)已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)焦距为10，左、右焦点分别为F1，F2，点题型五抛物线的焦半径倒数之和为定值（共3小题）13．(25-26高二上·江西九江匡庐星瀚高级中学·月考)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，过点F的直线l与C交于A．焦点F到抛物线C的准线的距离为4B．1C．若AB的中点的纵坐标为4，则AFD．若2BF=14．(25-26高二上·广西柳州第一中学·期中)已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，经过点F且斜率为3的直线l与抛物线C交于点A, B两点（点A．p=4 B．AFC．1AF+115．(25-26高三上·湖南益阳·)已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F4,0，过F作直线l交抛物线于A,B两点，则A．−73 B．112 C．1题型六椭圆的焦半径倒数之和为定值（共3小题）16．(25-26高二上·重庆巴蜀中学教育集团·月考)古希腊数学家阿基米德最早用不断分割法求椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍．已知椭圆C:x225+y29=1，F1、FA．椭圆C的面积为15B．若△PF1F2C．椭圆上存在4个点P，使得△PFD．若直线PF1交椭圆于另一点Q17．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点为F，长轴长为4，若过F的直线与椭圆C18．抛物线有一性质：“过抛物线y2=2pxp>0的焦点为F的弦AB满足AF+BF=2pAFBF．”那么类比抛物线，对于椭圆A．23 B．43 C．13题型七圆锥曲线的焦比与离心率（共3小题）19．已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22．设l为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于20．(22-23高三·理科数学-·)F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点，B是椭圆的上顶点，过点F1A．33或23 B．22或55 C．21．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三上学期期末考试数学试题）已知椭圆M:y2a2+x2b2=1a>b>0的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆M的上焦点F作斜率为kk>0的直线l，直线A．23913 B．396 C．2题型八椭圆双曲线的焦点三角形面积问题（共3小题）22．(25-26高二上·河南新乡·期中)已知椭圆C:x29+y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，A．433 B．833 C．23．(25-26高二上·黑龙江牡丹江第一高级中学·期中)已知点P为椭圆C：x24+y29=1上的一点，焦点为F1，A．33 B．433 C．924．(25-26高二上·河北邢台卓越联盟·期中)已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两个焦点，P为A．32 B．33 C．6 题型九椭圆焦点三角形内切圆问题（共3小题）25．(25-26高二上·重庆名校联盟·)设点F1、F2为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点，离心率e=22，M是椭圆上与F1、F26．(25-26高二上·河南部分重点中学·)已知M是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上一点，F1,F2分别是椭圆的左､右焦点，点I是27．已知O为坐标原点，F1，F2为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，F1F2题型十双曲线焦点三角形内切圆问题（共3小题）28．(25-26高二上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)已知点F1、F2分别为双曲线C:x2−y2=4的左、右焦点，过点F2的直线l与双曲线C的左支和右支分别交于A，B两点，设r1、r2分别为△AF1F29．(25-26高三上·江西吉安西路七校·)双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0，F1，F2分别为左、右焦点，P是双曲线右支上一点，S△PF130．（湖北省腾云联盟2026届高三上学期开学考试数学试卷）设F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1b>a>0的左右焦点，O为坐标原点，过双曲线上任一点P作两条渐近线的垂线，记垂足分别为A，B，有F1F2题型十一椭圆双曲线共焦点与离心率的关系（共3小题）31．(25-26高二上·湖北黄梅县第一中学·)如图，F1,F2是双曲线C1:x2−y23=1A．aB．△AF1F2C．若F1F2=D．若AF132．（河南省洛阳市强基联盟2023届新高三摸底大联考数学（理科）试题）已知F是椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点，A为椭圆C1的下顶点，双曲线C2：x2m2−y2n2=1（m>033．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)如图，P是椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线CA．PF1=a+m，PF2C．tanθ2=nb D．若题型十二双曲线中的面积定值（共3小题）34．已知双曲线C：x2−y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1=2PF2，过点A．cos∠MON=13C．PM=PN 35．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l1、l2的方程分别为y=x、y=−x，过点P作l1、l2的垂线，垂足分别为A、B，四边形OAPB的面积为1，点P的轨迹为曲线A．圆O:x2+B．曲线y=x+1x与C．C上存在三点E、F、G，使得△EFG为等边三角形D．C在点P处的切线与l1、l2分别交于M、N两点，则36．(23-24高二上·江西上饶·期末)已知双曲线C:x2−y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上的一点，且直线PA．双曲线C的渐近线方程为y=±3x C．离心率e=3 D．题型十三圆锥曲线的切点弦方程（共3小题）37．(24-25高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中)过椭圆C:x24+y23=1上的点Ax1,38．(23-24高二·3.2.2双曲线的简单几何性质（精练）-·)过点P(3,4)作双曲线C：x2−y2=139．(24-25高三上·河北部分学校·期末)过直线y=x−3上一点M引抛物线x2=4y的两条切线MA,MB,A,B为切点，抛物线焦点为F，则F到AB距离的最大值为题型十四椭圆的离心率与焦点三角形底角的关系（共3小题）40．(25-26高二上·陕西渭南大荔县大荔中学·)已知椭圆C：y2a2+x2b2=1（a>b>0）的上、下焦点分别为F1，F2，点M41．设F1、F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，点P42．(25-26高三上·江苏如皋·调研)椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F题型十五圆锥曲线的第三定义（共3小题）43．(24-25高二下·湖南常德临澧县第一中学·月考)已知椭圆C:x24+y23=1，A1,A2分别为椭圆C的左、右顶点，F1(1)若Q为椭圆C上（除A1、A2外）任意一点，求直线(2)若直线MA2与直线NA2的斜率分别是k144．(22-23高二上·福建上杭县第二中学·月考)已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，A，B分别是双曲线的左、右顶点，点P45．如图所示，P是双曲线x24−y2=1右支（在第一象限内）上的任意一点，A1,A2分别是左右顶点，O是坐标原点，直线题型十六椭圆焦点三角形最大张角与离心率的关系（共3小题）46．(25-26高二上·重庆南开中学·期中)已知椭圆C:x24+y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1，FA．0,2 B．(0,3] C．3,247．(25-26高二上·浙江环大罗山联盟·期中)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点，∠F1PA．0,12 B．0,32 C．48．(25-26高二上·湖北沙中学·期中)已知F1，F2为椭圆x2a2+y2b2=1（aA．π3 B．π2 C．2π3

专题03圆锥曲线中常考的二级结论题型1圆锥曲线中的点差法题型9椭圆焦点三角形内切圆问题题型2抛物线焦半径焦点弦长题型10双曲线焦点三角形内切圆问题题型3椭圆的焦半径与焦点弦长题型11椭圆双曲线共焦点与离心率的关系题型4双曲线的焦半径与焦点弦长及定值题型12双曲线中的面积定值题型5抛物线的焦半径倒数之和为定值题型13圆锥曲线的切点弦方程题型6椭圆的焦半径倒数之和为定值题型14椭圆离心率与焦点三角形底角的关系题型7圆锥曲线中的焦比与离心率题型15圆锥曲线的第三定义题型8椭圆双曲线的焦点三角形面积问题题型16椭圆焦点三角形最大张角与离心率关系题型一圆锥曲线中的点差法（共3小题）1．(25-26高二上·贵州部分学校·期中)已知直线l与椭圆C:x214+y26=1交于A,B两点，若线段【答案】6【来源】贵州省部分学校2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题【分析】利用点差法列方程，整理求得直线l的斜率.【详解】依题意可知，直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k,Ax则x1214+y因为线段AB的中点坐标为−2,1，所以k=y故答案为：62．(25-26高三上·河南部分校·期中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，斜率为2的直线l交C于M、N两点，P为C上异于M、N的点，且MP⊥NP．直线MP、NP均不过坐标原点O．设△MOP与△NOP的重心分别为D、E，△MNP的外心为T，直线OD、OE、OT的倾斜角分别为α【答案】7【来源】河南省部分校2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试题【分析】设点的坐标，得到重心的坐标，得到OD、OE、OT的斜率，根据点差法结合已知条件可求出b2a2【详解】设Mx1,y1因为M、N、P都在双曲线C:x所以x12a2−△MOP与△NOP的重心分别DxEx直线OD、OE的斜率分别为：kOD=y所以tanα=kOD△MNP的外心为T是三角形三边重直平分线的交点，因为MP⊥NP，所以△MNP是直角三角形，其外心T是三角形斜边MN的中点，所以Tx1+x2所以tanγ=①−②得x12−x2同理可得kMP⋅k由题意可知kMN=2，所以b2a2所以该双曲线的离心率为e=c故答案为：7.3．(23-24高二下·广东·调研)已知O为坐标原点，点A,B在抛物线E:x2=4y上，且OA⋅OB=0,OD=OA+OB.记点D的轨迹为曲线G，若直线l【答案】12【来源】广东省2023-2024学年高二下学期6月统一调研联考数学试题【分析】设直线OA:y=kx，则OB:y=−1kx，结合已知用k表示出A,B,D【详解】显然OA,OB斜率均存在，设直线OA:y=kx，则OB:y=−1kx，联立y=kxx2设Dx,y，则x=4k−4k设Mx1,y1则kMN故答案为：12题型二抛物线焦半径与焦点弦长（共3小题）4．已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，AB=10，AB的中点横坐标为4，则A．2 B．23 C．4 D．【答案】A【来源】贵州省贵州大学附属中学2025届高三下学期5月底质量检测（三）数学试题【分析】根据抛物线定义有|AB|=x1+【详解】设Ax由抛物线定义知：|AB|=x1+x2所以8+p=10，即p=2.故选：A.5．(24-25高二上·安徽亳州普通高中·期末)已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点（B在x轴上方），且BF=3【答案】3【来源】安徽省亳州市普通高中2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试题【分析】根据给定条件，作出几何图形，借助图形并结合抛物线的定义求解即得.【详解】过A，B分别作准线x=−p2的垂线，垂足分别为D，过A作直线BE的垂线，垂足为G，依题意，AF=AD=由BF=3AF，得AB=4因此cos∠ABG=BGAB所以l的斜率为tan60°=故答案为：36．(23-24高二上·江苏常州·期末)在平面直角坐标系xOy中，A，B为抛物线C:y2=4x上两个不同的点，F为抛物线的焦点，若AF=3FB【答案】433【来源】江苏省常州市2023-2024学年高二上学期期末学业水平监测数学试卷【分析】根据抛物线的标准方程及几何性质，求出直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出A，B的坐标，进而得到AB，再由点到直线的距离公式，求出△AOB的高，即可求得△AOB的面积．【详解】由抛物线的对称性，不妨设直线AB的斜率为正，如图所示，设抛物线的准线为l，过点A作AD垂直于l且交l于点D，过点B作BC垂直于l且交l于点C，过点B作BE垂直于AD且交AD于E，则AB=2AE，所以直线AB的倾斜角为又F1,0，故直线AB的方程为y=联立y=3x−1y2=4x，消y整理得3x2则A3,23，B1又原点到直线AB的距离为d=32，所以当直线AB的斜率为负，即直线AB的倾斜角为120°时，同理可求．故答案为：43题型三椭圆的焦半径与焦点弦长（共3小题）7．(24-25高二上·浙江台州·期末)已知椭圆E:x25+y2b2=1(0<b<5)的左右焦点分别为F1,F2A．x25+C．x25+【答案】D【来源】浙江省台州市2024-2025学年高二上学期期末质量评估数学试题【分析】先证明焦半径公式，然后根据内切圆的性质求得GF1=ex0+c，进一步得GO=e【详解】先证明焦半径公式，对于椭圆方程：x2由椭圆上任意点P(x,y)及左、右焦点F1(−c,0)、得P=c同理，PF根据椭圆方程知，ca∈(0,1),|x|≤a⇒a>c故椭圆x2a2+y如图,设△MF1F由圆的性质可知GF则GF又GF1+GF2=2c则x1=ex0，由x0=5所以椭圆E的方程为x2故选：D8．(23-24高二下·安徽级示范高中培优联盟·)在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，y轴右侧的两点A，B在椭圆Γ上，且直线AB与圆O：A．12 B．35 C．34【答案】D【来源】安徽省级示范高中培优联盟2023-2024学年高二下学期春季联赛数学试题【分析】首先证明椭圆的焦半径公式，记AB与圆O:x2+y2=b2相切于点Q，Ax1,y1，B【详解】首先证明椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上任意一点P(x,y)证明：因为F1(−c,0)、所以P==c同理可得PF根据椭圆方程知，ca∈(0,1),|x|≤a⇒a>c故椭圆x2a2+y记AB与圆O:x2+y2=b2相切于点则AQ2=x所以AQ2=1−b2所以AQ+AF=a，同理可得BQ+BF所以2a=15，则a=152，又焦距2c=12，所以所以离心率e=c故选：D9．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为e．倾斜角为120°的直线与A．12 B．33 C．32【答案】A【来源】湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023届高三下学期5月压轴卷数学试题（二）【分析】设Ax1,y1【详解】设Ax1,y1消去y1，得x注意到x1≤a，则a+ex同理，BF=x2∵AB的倾斜角为120°，∴直线的斜率k=−3根据弦长公式，可得AB=由ABAF−BF=2∵AB故选：A题型四双曲线的焦半径与焦点弦长及定值（共3小题）10．(24-25高三上·江苏苏州第三中学·月考)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1，焦点到一条渐近线的距离为7，离心率e=322，过左焦点F的直线【答案】2【来源】江苏省苏州市第三中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题【分析】根据给定条件，求出双曲线方程及左焦点坐标，再按直线AB斜率存在与否分类设出其方程，并与双曲线方程联立，结合韦达定理求出|AF|,|BF|即可计算得解.【详解】令双曲线C:x2a2−依题意，bca2+b2双曲线C的方程为x22−y27=1由y=k(x+3)7x2−2y设A(x1,y1|AF|=(x1由|AF|+|BF|=λ|AF|⋅|BF|，得λ==−2当直线AB⊥x时，由x=−37x2−2y所以λ=2故答案为：211．已知双曲线C:x24−y22=1的左焦点为F，过点F的直线l交双曲线C【答案】2【来源】微点16双曲线方程与性质（二）【讲】-同步微点进阶【分析】利用焦半径公式可证1AF【详解】设∠AFO=α，则∠BFO=πAF=所以1AF从而AF+BF=2故答案为：2.12．(23-24高二上·福建晋江第一中学·期中)已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)焦距为10，左、右焦点分别为F1，F2，点【答案】−【来源】福建省晋江市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可.【详解】由题意可知F1代入双曲线方程有yA又△AF1F2的面积为所以双曲线方程为：x2设Px则PF同理PF因为x0>4故答案为：−8题型五抛物线的焦半径倒数之和为定值（共3小题）13．(25-26高二上·江西九江匡庐星瀚高级中学·月考)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，过点F的直线l与C交于A．焦点F到抛物线C的准线的距离为4B．1C．若AB的中点的纵坐标为4，则AFD．若2BF=【答案】ABD【来源】江西省九江市匡庐星瀚高级中学2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试题【分析】对A，由抛物线方程求得焦点坐标和准线方程可求解判断；对BCD，设直线l:x=my+2，设Ax【详解】对于A：抛物线y2=8x的焦点F2,0所以焦点F到准线的距离为4，A正确；对于B：设直线l:x=my+2，设Ax则由x=my+2y2=8x所以y1又由抛物线定义可得AF=所以1AF对于C：若AB的中点的纵坐标为4，则y1+y所以AF=y1对于D：若2BF=AF，则2m所以14y1+y所以2y22−y1y所以−12y所以S△AOF故选：ABD.14．(25-26高二上·广西柳州第一中学·期中)已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，经过点F且斜率为3的直线l与抛物线C交于点A, B两点（点A．p=4 B．AFC．1AF+1【答案】ABC【来源】广西柳州市第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题【分析】直线l与抛物线C联立方程组，求出点A,B的坐标，由AF=8，求得p=4【详解】设Ax1,因为Fp2,0，直线的斜率为3，则设直线l

联立方程y2=2pxy=3x−p2，消去y又因为点A在第一象限，则x2<p因为AF=x1+p因为BF=x2且1AF因为AB=且直线l的方程为y=3x−2，即为原点到直线l的距离为d=2所以S△AOB故选：ABC.15．(25-26高三上·湖南益阳·)已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F4,0，过F作直线l交抛物线于A,B两点，则A．−73 B．112 C．1【答案】C【来源】湖南省益阳市2025-2026学年高三上学期9月教学质量监测数学试题【分析】根据抛物线的焦点坐标求出p，设出A，B坐标，联立直线和抛物线，利用设而不求思想结合基本不等式进行转化求解即可．【详解】如图，设抛物线y2=2px的焦点坐标为∵焦点为F4,0，∴p2=4，得p=8当AB⊥x轴时，易得A(4,8)，B(4,−8)，则则BF9当AB不垂直x轴时，设斜率为k，Ax1,则直线AB的方程为y=k(x−4)，(k≠0)，代入y可得k2x−42则x1+x过A,B分别作准线的垂线，垂足分别为则AF=AM=1=8+则1AF于是，BF9当且仅当BF9=4综上：因718>16,故故选：C.题型六椭圆的焦半径倒数之和为定值（共3小题）16．(25-26高二上·重庆巴蜀中学教育集团·月考)古希腊数学家阿基米德最早用不断分割法求椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍．已知椭圆C:x225+y29=1，F1、FA．椭圆C的面积为15B．若△PF1F2C．椭圆上存在4个点P，使得△PFD．若直线PF1交椭圆于另一点Q【答案】AD【来源】重庆市巴蜀中学教育集团2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题【分析】根据椭圆面积公式直接求解判断A；利用焦点三角形面积公式建立方程求解判断B；分类讨论求解点P的个数判断C；由余弦定理求出椭圆焦半径，代入化简即可判断D.【详解】由椭圆C:x225+y所以椭圆C的面积为abπ因为△PF1F由12知tan∠F1当点P在椭圆的上，下顶点时，满足△F又因为a−c=1≤PF2≤a+c=9，F1同理，满足PF1=综上可得，满足△F1P在△PF1F即PF整理得PF1=所以1P故选：AD．

17．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点为F，长轴长为4，若过F的直线与椭圆C【答案】3【来源】专项觉醒1椭圆的最值问题【分析】利用焦点弦性质1FP【详解】因为椭圆长轴长为4，所以a=2，由e=32得，c=由焦点弦的性质得1PF故PF+2QF=PF+2故答案为：3418．抛物线有一性质：“过抛物线y2=2pxp>0的焦点为F的弦AB满足AF+BF=2pAFBF．”那么类比抛物线，对于椭圆A．23 B．43 C．13【答案】B【来源】专项练—数学思想与方法1【分析】当直线l的斜率为0时，直接求出λ，当直线l的斜率不为0时，故可设直线l的方程为x=my+1，设Ax1,【详解】由题意可知F21,0，且当直线l的斜率为0时，AF2B当直线l的斜率不为0时，故可设直线l的方程为x=my+1，由x24+y2设Ax1,y1，B由x1=myx1x2AF2=2−AF2+即4−43m故选：B．题型七圆锥曲线的焦比与离心率（共3小题）19．已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22．设l为过椭圆右焦点F的直线，交椭圆于【答案】9+427【来源】大招22第二焦半径公式【分析】根据题意，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理代入计算，然后由MFNF【详解】

因为ca=22，a2设Ax所以椭圆x2a2+y所以直线AB方程为y=3联立x2+2y2=2则y1所以y1令y1y2=t，则解得t=−9±427，所以MF故答案为：9+427或【点睛】关键点点睛：本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及一元二次方程根与系数的关系，难度较大，解答本题的关键在于将MFNF转化为−20．(22-23高三·理科数学-·)F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点，B是椭圆的上顶点，过点F1A．33或23 B．22或55 C．【答案】C【来源】理科数学-【名校面对面】2022-2023学年高三大联考（2月）试题【分析】根据题意，设出过点F1的直线为x=my−c，与椭圆方程联立得到根与系数关系，由PF1=3F【详解】设过点F1的直线为x=my−c，令P(x1由x2a2易知Δ>0，则y1+由PF1=3F1则y1=−3y2，故y1代入整理得3c又直线BF2⊥PQ，kBF可化为ca2=故选：C．21．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三上学期期末考试数学试题）已知椭圆M:y2a2+x2b2=1a>b>0的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆M的上焦点F作斜率为kk>0的直线l，直线A．23913 B．396 C．2【答案】A【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三上学期期末考试数学试题【分析】根据AF=4FB和长轴是短轴长的2倍可设椭圆方程，再联立直线和椭圆方程通过韦达定理可求解出斜率，从而求得【详解】因为长轴长是短轴长的2倍，所以a=2b，而c=a2−设Ax直线l的方程为y=kx+代入椭圆方程可得kx+3b2即k2∵Δ=2∵AF=4FB所以x2=23kb3k2+4因为k>0，所以k=2故选：A.题型八椭圆双曲线的焦点三角形面积问题（共3小题）22．(25-26高二上·河南新乡·期中)已知椭圆C:x29+y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，A．433 B．833 C．【答案】D【来源】河南省新乡市2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题【分析】由椭圆的定义及余弦定理进行求解．【详解】在椭圆C中，a2=9，b2由椭圆的定义，得PF在△F1P因为∠F1P即16=36−3PF1所以△F1P故选：D.23．(25-26高二上·黑龙江牡丹江第一高级中学·期中)已知点P为椭圆C：x24+y29=1上的一点，焦点为F1，A．33 B．433 C．9【答案】B【来源】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题【分析】根据椭圆的定义及余弦定理、面积公式即可求解.【详解】由题可得a=3,b=2，所以c=9−4设PF1=x,所以x2由余弦定理可得cos60即36−2xy−202xy=1所以S△故选：B.24．(25-26高二上·河北邢台卓越联盟·期中)已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的两个焦点，P为A．32 B．33 C．6 【答案】A【来源】河北省邢台市卓越联盟2025-2026学年高二上学期期中数学试题【分析】根据双曲线的焦点三角形的面积公式列式求解即可.【详解】下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，S△P由题意，PF1−则△PF由余弦定理可得:F=P则PF所以S=b由双曲线的焦点三角形的面积公式可知S△PF1即b=32故选：A.题型九椭圆焦点三角形内切圆问题（共3小题）25．(25-26高二上·重庆名校联盟·)设点F1、F2为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两个焦点，离心率e=22，M是椭圆上与F1、F【答案】2【来源】重庆市名校联盟2025-2026学年高二上学期第一次联合考试数学试卷【分析】利用椭圆的定义，结合三角形角平分线的性质与比例的性质，可求MI:【详解】如图：连接F因为I为△MF1F2的内切圆圆心，所以根据三角形角平分线的性质，可得F2又IN平分∠F1MF2，所以M所以MIIN=F2MF2故答案为：226．(25-26高二上·河南部分重点中学·)已知M是椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上一点，F1,F2分别是椭圆的左､右焦点，点I是【答案】1【来源】河南省部分重点中学2025~2026学年高二上学期10月末质量检测数学试题【分析】根据椭圆的基本概念，以及角平分线分线段成比例定理，列出各边长的关系，再根据离心率的定义，求出结果即可.【详解】在△MF1F2中，连接F1I,F2I，因I由角平分线分线段成比例定理得：MIIN=M因为MF1+又因为椭圆的离心率e=ca，所以故答案为：1.27．已知O为坐标原点，F1，F2为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，F1F2【答案】34/【来源】湖南省长沙市周南中学2026届高三上学期第2次阶段性检测数学试题【分析】根据椭圆的定义及三角形内切圆的几何性质，以及三角形中位线的性质可得出.【详解】在等腰△F1P分别延长PF2与F1M，交于点G，因为点Q是三角形F1又因F1M⊥PM，故△PMF1与△PMQ全等，所以M为又因为O为F1F2的中点，OM所以|F2G|=2|OM|=4所以由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2故答案为：3题型十双曲线焦点三角形内切圆问题（共3小题）28．(25-26高二上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中)已知点F1、F2分别为双曲线C:x2−y2=4的左、右焦点，过点F2的直线l与双曲线C的左支和右支分别交于A，B两点，设r1、r2分别为△AF1F【答案】−23+2【来源】江苏省扬州市广陵区扬州大学附属中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题【分析】①根据内心的性质得到F2D−F1【详解】设△AF1F2内切圆与边所以F1P=F1F2又F2D+F1D=2c所以△AF②同理可证，△BF1F设r1、r2分别为△AF设点M、N分别为△AF1F根据双曲线的定义可知内切圆⊙M与x轴相切于D点，所以MD⊥x轴，同理，NE⊥x轴；又点M、N分别为△AF1F2、△BF注意到Rt△MDF2∼Rt△NEF在Rt△NEF2中，EF2【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据内心的性质得到F229．(25-26高三上·江西吉安西路七校·)双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0，F1，F2分别为左、右焦点，P是双曲线右支上一点，S△PF1【答案】2【来源】江西省吉安市西路七校2025-2026学年高三上学期第一次联考（10月）数学试题【分析】根据角平分线定理、PI=2IM、双曲线的定义可得Ma2,0，再由切线长定理、双曲线的定义得G点为双曲线的右顶点，过点P作PH⊥x轴于点H，根据相似比可得x【详解】设双曲线的半焦距为c，I是△PF1F2的内心，连接F2因PI=2IM，则由角平分线定理得PIMI=P∴PF1∴PF1又F1M+F2M=2c设△PF1F2的内切圆I分别切边PF1，PF2，则由切线长定理得PD=PE，F1所以PF又因为F1G+F2即G点为双曲线的右顶点，则IG⊥x轴，过点P作PH⊥x轴于点H，连IG，得MGGH∴GH=a，所以又因为S△PF1F2所以4a2a2−故答案为：2.30．（湖北省腾云联盟2026届高三上学期开学考试数学试卷）设F1，F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1b>a>0的左右焦点，O为坐标原点，过双曲线上任一点P作两条渐近线的垂线，记垂足分别为A，B，有F1F2【答案】4【来源】湖北省腾云联盟2026届高三上学期开学考试数学试卷【分析】先求出双曲线C的方程为x24−y212=1，设直线l的方程为：x=my+4，Mx1,y1x1>2,y1<0,N【详解】因为点P是双曲线C：x2a2因为双曲线C的渐近线方程为bx±ay=0,所以点P到两条渐近线的距离分别为:PA=而F1因此由F1F2即3a即3a4−10a2所以由b>a>0得:3a因为当∠F1P所以12PF1⋅所以双曲线C的方程为x2因为F1,F2是双曲线C的左、右焦点，所以因为过点F2的直线l与双曲线C的右支交于M,N所以设直线l的方程为：x=my+4，Mx由x=my+4x24依题意得，3m2−1≠0因此y1设圆G与△MF1F2三边：由于点M在双曲线右支上，因此4=MF1−MF2同理可得：HD因此若圆G，H的半径分别为r1因为F1所以12MF1+即r1=−4因为双曲线C的右准线为：x=1，离心率e=2，所以双曲线的定义知：MF因此GH====48×12因为m<33因此4≤4m所以GH的取值范围是：4故答案为：4题型十一椭圆双曲线共焦点与离心率的关系（共3小题）31．(25-26高二上·湖北黄梅县第一中学·)如图，F1,F2是双曲线C1:x2−y23=1A．aB．△AF1F2C．若F1F2=D．若AF1【答案】BCD【来源】湖北省黄梅县第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测试卷（12.8）【分析】由双曲线和椭圆共焦点，得到a,b,c的关系，判断A，根据切线长性质和双曲线的定义得到F1M−F2M=2，再由F1M【详解】A.由双曲线C1:x2−B.设△AF1F2的内切圆的圆心为I，且圆心与边可得AN=AK，F1又因为AF所以F1又F1M+F2可得M的横坐标为1，即I的横坐标为1，故B正确；C.在椭圆C2中，F1A则2F由F1F2=F则C2的离心率e=D.因为F1A−则F1A=a+1若AF1⊥A又c=2，b2=a2−则椭圆方程为x2故选：BCD32．已知F是椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点，A为椭圆C1的下顶点，双曲线C2：x2m2−y2n2=1（m>0【答案】2【来源】河南省洛阳市强基联盟2023届新高三摸底大联考数学（理科）试题【分析】根据直线AF与C2的一条渐近线平行，得到bc=【详解】解：设C1的半焦距为c（c>0），则Fc,0，又所以kAF=bc，又直线所以bc=n所以a2所以a2所以e1又1e当且仅当e2=2e1，即即1e1+故答案为：233．(24-25高二上·辽宁实验中学等五校·期末)如图，P是椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线CA．PF1=a+m，PF2C．tanθ2=nb D．若【答案】ACD【来源】辽宁省实验中学等五校2024-2025学年高二上学期期末联考数学试卷【分析】A.利用椭圆和双曲线的定义，即可求解；BD.应用余弦定理整理可设设1e1=2【详解】A.由题意可知，PF1+得PFBD.△PF1F2中，若根据余弦定理，4c整理为4c2=设1e1=2则1e1=2cosα>1,因为1e又因为1e当α+π3=π2，即α=C.在椭圆中，2P=4a整理为PF在双曲线中，2P整理为PF所以2n21−而0<θ2<故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确应用椭圆和双曲线的定义，并在两个曲线中正确表示离心率，以及焦点三角形中应用余弦定理.题型十二双曲线中的面积定值（共3小题）34．已知双曲线C：x2−y22=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1=2PF2，过点A．cos∠MON=13C．PM=PN 【答案】BCD【来源】第三部分检测小卷第七周检测小卷23【分析】根据∠MON为双曲线渐近线的夹角求出对应的值即可判断A选项；根据三角形的面积公式可判断B选项；根据题意写出切线方程，求出M，N两点的横坐标，证明点P为线段MN的中点可判断C选项，根据三角形的面积公式可判断D选项【详解】易得C的渐近线方程为y=±2x，设渐近线y=2x与x轴的夹角为θ，则tanθ=因为PF1=2PF2，根据双曲线定义可得PF1−PF2=2a=2设点Px0,y0，则点P处的切线方程为x又因为y02=2x0可知双曲线与直线有一个交点，所以，双曲线C:x2−y2联立y=2xx0x−联立y=−2xx0x−所以xM+xN=22易得cosθ=33，则OM=3⋅xM=62x0故选：BCD35．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l1、l2的方程分别为y=x、y=−x，过点P作l1、l2的垂线，垂足分别为A、B，四边形OAPB的面积为1，点P的轨迹为曲线A．圆O:x2+B．曲线y=x+1x与C．C上存在三点E、F、G，使得△EFG为等边三角形D．C在点P处的切线与l1、l2分别交于M、N两点，则【答案】BCD【来源】山东省青岛市2025届高三年级第一次适应性检测数学试卷【分析】设点Px,y，根据四边形OAPB的面积为1求出点P的轨迹方程，将曲线C的方程与圆O的方程联立，判断公共解的个数，可判断A选项；将曲线C的方程以曲线y=x+1x的方程联立，判断公共解的个数，可判断B选项；取点E0,2，取直线EF的方程为y=3x+2，取直线EG的方程为y=−3【详解】易知l1⊥l2，又因为PA⊥OA，设点Px,y，则PA=x−y矩形OAPB的面积为S=PA⋅PB故曲线C的方程为x2对于A选项，联立x2−y2=2所以，曲线C与圆O有4个公共点，其坐标分别为2,0、−2,0、0,对于B选项，联立y=x+1xx所以，曲线y=x+1x与对于C选项，不妨取点E0,2，取直线EF的方程为取直线EG的方程为y=−3联立y=3x+2y2联立y=−3x+2y2由平面内两点间的距离公式可得EF=同理可得EG=FG=2对于D选项，设Px0,先证明出双曲线x2−y2=2联立x0x−y0y=2所以，双曲线x2−y2=2易知，直线l1、l2的方程可视为设点Mx1,y1、N由韦达定理可得x1所以，S△OMN因为点P关于直线y=x的对称点为Qy0,所以，曲线C关于直线y=x对称，由对称性可知，当点P在曲线y2−x2=2故选：BCD.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．36．(23-24高二上·江西上饶·期末)已知双曲线C:x2−y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上的一点，且直线PA．双曲线C的渐近线方程为y=±3x C．离心率e=3 D．【答案】BCD【来源】江西省上饶市2023-2024学年高二上学期期末教学质量测试数学试题【分析】设点Px0,y0，利用斜率公式求出b的值，可得出双曲线C的渐近线方程，可判断A选项；写出切线方程，求出点M、N【详解】对于A选项，设点Px0,y0易知点A1−1,0、A2因为b>0，解得b=2，所以，双曲线C的渐近线方程为y=±对于B选项，接下来证明双曲线C:x2−y2联立x0x−y又因为y02=2x0所以，双曲线C:x2−y2联立y=2xx0x−联立y=−2xx0x−

所以，xM所以，点P为线段MN的中点，即PM=对于C选项，离心率e=c对于D选项，OM=点P到直线2x−y=0的距离为d=所以，S△OMN故选：BCD.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.题型十三圆锥曲线的切点弦方程（共3小题）37．(24-25高二上·新疆乌鲁木齐第六十八中学·期中)过椭圆C:x24+y23=1上的点Ax1,【答案】−【来源】新疆乌鲁木齐市第六十八中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷【分析】利用椭圆的切点弦方程得直线AB的方程为x+ty【详解】先证椭圆上一点的切线方程：对于x2a2+y2b证明：当该切线存在斜率时，不妨设其方程为y=kx+t，与椭圆方程联立可得：a2则Δ=2a代入切线方程得n=b于是k=−tma2整理得：mxa由椭圆方程x24+y23=1设两切线交点P4,t，易得切线PA的方程为x切线PB的方程为x2由于点P在切线PA、PB上，则x1+ty1联立方程x24+y23=1由韦达定理得y1即y1⋅y故答案为：−938．(23-24高二·3.2.2双曲线的简单几何性质（精练）-·)过点P(3,4)作双曲线C：x2−y2=1【答案】3x−4y−1=0【来源】3.2.2双曲线的简单几何性质（精练）-2023-2024学年高二数学《一隅三反》系列（人教A版2019选择性必修第一册）【分析】设Ax1,y1,Bx2,y2，求得直线PA的方程为y【详解】设Ax1,y1则PA:y−y1=k消去y可得：x2整理可得：1−k因为PA与双曲线相切，所以Δ=4∴4y1−k即x1∵x∴x代入可得：y12k所以k=x∴PA:y−y1=同理，切线PB的方程为y2∵P3,4在切线PA,PB上，所以有4∴A,B满足直线方程4y=3x−1，而两点唯一确定一条直线，∴直线AB的方程为3x−4y−1=0.故答案为：3x−4y−1=0.39．(24-25高三上·河北部分学校·期末)过直线y=x−3上一点M引抛物线x2=4y的两条切线MA,MB,A,B为切点，抛物线焦点为F，则F到AB距离的最大值为【答案】2【来源】河北省部分学校2024-2025学年高三上学期期末联考数学试题【分析】由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线MA和MB方程，然后将Mx0,【详解】设Mx0,y0，Ax1MA方程：y−y1=同理MB方程：x2x−2y−2y2=0，将M故Ax1,y1而y0=此为直线AB方程，恒过点H2,3，焦点F0,1，FH=22即为故答案为：22题型十四椭圆的离心率与焦点三角形底角的关系（共3小题）40．(25-26高二上·