重庆市南坪中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

重庆市南坪中学高级高一上月月考数学试题一、单选题（8个小题，每小题5分，共分）1.设全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】应用集合的并、补运算求解可得.【详解】由题设，且，则.故选：B2.设，命题“，使有实根”的否定是（）A.，使无实根B.，使有实根C.，使无实根．D.，使有实根【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得答案.【详解】因为命题“，使有实根”的否定是：，使无实根．故选：C.3.已知函数，则函数图象的可能是（）第1页/共16页AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在时，的符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于函数，有，解得，所以，函数的定义域为，因为，即函数为奇函数，排除BD选项，当时，，则，排除C选项.故选：A.4.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据对数函数、指数函数的单调性分别与比较即可得解.【详解】因为，，，所以，第2页/共16页5.设函数为定义在上的奇函数，当时，（（）A.4B.4C.10D.10【答案】A【解析】【分析】利用奇函数的性质可得，进而求值即可.【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且时，所以，解得，故时，，所以.故选：A6.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】依次判定函数的奇偶性与单调性得到答案.【详解】对于选项A，是R上的偶函数，故选项A错误；对于选项B，在上是减函数，故选项B错误；对于选项C，，∴函数是R上的奇函数，又在上是增函数，∴在上是增函数，故选项C正确；对于选项D，在上是减函数，在是增函数，∴函数在上是减函数，故选项D错误.第3页/共16页故选：C7.已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据分段函数、一次函数与对数函数的单调性，建立不等式组，求解即可.【详解】因为函数在上为减函数，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.8.已知定义域为的函数满足对任意，都有，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将变为，构造函数，即可判断的单调性，结合函数单调性，即可得答案.【详解】由题意知对于任意，，，不妨设，则，由得，即，第4页/共16页结合得，即，设，则该函数在上单调递增，且，因为函数的定义域为，故由有意义可得，所以不等式可变形为，即，所以，解得，即不等式的解集为，故选：B二、多选题（3个小题，每小题6分，共分，全选对的满分，漏选可以得一部分分，错选没有分）9.下列命题中是真命题的有（）A.0B.与表示同一函数C.设函数，则D.“”是“”的充分不必要条件【答案】CD【解析】AB函数求值判断C；根据充分不必要条件的定义判断D.【详解】对于A，符号用于集合之间的关系，而是元素，是集合，符号使用错误，故A错误；对于B，的定义域为，的定义域为，它们的定义域不同，不是同一函数；故B错误；第5页/共16页对于C，，故，故C正确；对于D，当时，成立，故充分性成立；反之，当时，可得或，故必要性不成立；故“”是“”的充分不必要条件，故D正确.故选：CD.10.有以下判断，其中是正确判断的有（）A.函数的图像必过定点B.函数与函数图象关于轴对称C.函数的单调递增区间是D.函数，若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据可判断A；利用指数函数图像的对称性可判断B，根据复合函数的单调性可判断C；通过对数的运算结合函数值可判断D.【详解】对于A，当时，，所以函数的图像恒过定点，故A正确；对于B，函数与函数的图像关于轴对称，故B正确；对于C，函数，设，则，由，得或，因为在单调递增，在单调递减，在单调递增，第6页/共16页对于D，因为函数，，所以，所以，故D正确.故选：ABD.已知，则下列结论正确的是（）A.ab的最大值为B.的最小值为6C.的最小值为D.的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，结合指数幂的运算性质，逐项判定，即可求解.【详解】已知，对于A，，当且仅当时取等号；所以A正确；对于B，由，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为6，所以B正确；对于C的最小值为，故C正确；对于D，由，则，当时，，第7页/共16页即的最小值为，故D不正确；故选：ABC三、填空题（3个小题，每小题5分，共分）12.已知幂函数的图象过点，则______.【答案】【解析】【分析】结合幂函数定义，采用待定系数法可求得解析式，代入可得结果.【详解】为幂函数，可设，，解得：，，.故答案为：.【点睛】本题考查幂函数解析式和函数值的求解问题，关键是能够明确幂函数的定义，采用待定系数法求解函数解析式，属于基础题.13.函数的定义域为___________．【答案】.【解析】【分析】根据对数复合函数定义域及幂指数的定义计算求解.【详解】函数满足且，所以或，所以函数的定义域为.故答案为：.14.已知，若恒成立，则实数的最小值为___________．【答案】##【解析】第8页/共16页【详解】易知，所以，当且仅当时取得等号，所以时有，则，当且仅当时取得等号，又恒成立，则恒成立，即，所以实数的最小值为.故答案为：四、解答题（5个小题，共分）15.解决下列问题：（1）已知，求及的值；（2）求的值．【答案】（1）；；（2）.【解析】【小问1详解】因，则；由立方差公式：；【小问2详解】第9页/共16页16.已知函数是定义在区间上的奇函数，且．（1）求函数的解析式；（2）判断并证明在区间上的单调性；（3）若实数满足，求的取值范围．【答案】（1）；（2）增函数，证明见解析；（3）.【解析】1）利用函数的奇偶性结合，待定系数计算即可；（2）利用单调性的定义证明即可；（3）利用函数奇偶性与单调性去函数符号解一元二次不等式计算即可.【小问1详解】由题意可知，解之得，即，显然，满足为奇函数，故.【小问2详解】增函数，证明如下：设，则，第10页/共16页由可知，所以，即，所以为增函数；【小问3详解】等价于，所以，即，解之得.17.已知函数．（1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；（3）解关于的不等式．【答案】（1）（2）（3）答案见解析【解析】1）对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.（2）由题意可得对恒成立，利用基本不等式求得的最大值即可.（3）对进行分类讨论，可求得不等式的解集.【小问1详解】由不等式的解集为，可得的解集为.当时，不等式为，对恒成立，符合题意；第11页/共16页当时，由的解集为，则，解得，综上所述：实数的取值范围为；【小问2详解】由不等式对恒成立，得对恒成立，即对恒成立，又，所以对恒成立，又，当且仅当即时取等号，所以实数的取值范围为；【小问3详解】由，得，所以，当时，不等式为，解得；当时，不等式变形为，不等式对应方程的两根为和，若，则，不等式的解集为；若，则，不等式的解集为；若，则，不等式的解集为；若，不等式变形为，且，所以不等式的解集为；第12页/共16页综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.18.函数的图象关于坐标原点对称．（1）求实数的值；（2）判断函数的单调性（不用证明）并求函数的值域；（3使得函数在区间上的值域是的取值范围．【答案】（1）；（2）是上的减函数，；（3）【解析】1）先利用奇函数的性质求出，然后检验；（2）根据指数函数单调性得出函数单调性，再根据单调性得出值域即可；（3）先假设存在，利用函数单调性结论得出两个等式，再结合两个等式的特点转化为一个方程，使用换元法可得一个一元二次方程两个不等正根的问题，结合一元二次方程根与系数关系即可求解.【小问1详解】因为函数图象关于坐标原点对称，所以函数为奇函数，又恒成立，所以的定义域为，所以，所以，第13页/共16页检验：因为，故满足题意；【小问2详解】是上的减函数，理由如下：因为是上的增函数，所以单调递增，所以单调递减，所以是上的减函数，所以是上的单调减函数．因为，所以，所以，所以的值域是.【小问3详解】由（2）可得函数在上单调递减，∴，∴∴为方程的两个根，即方程有两个不等的实根．令，即方程有两个不等的正根．，∴故存在，实数的取值范围为：19.已知定义在上的函数满足，且（1）求实数的值；第14页/共16页（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）1（2）（3）【解析】1）根据列方程，求解即可；（2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可；（3成立的实数取值范围即可.【小问1详解】由题意知，，即，所以，.【小问2详解】由（1）知，，所以在上单调递增，所以不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立.设，则，，当且仅当，即时，等号成立所以，故实数取值范围是.第15页/共16页【小问3详解】因