数学符号意义及其获得能力培养的研究

数学符号意义及其获得能力培养的研究摘要中学数学课标修订后,对学生符号意识培养做出了更加具体的要求.新版课标对此在学习内容中提出：符号意识主要是指能够理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行一般性的计算和推理.建立符号意识＂有助于帮助学生理解符号使用是数学表达和进行数学思考的重要形式＂。本文阐述了数学符号意义及其获得能力的基本概念，包括数学符号的内涵，数学符号的意义结构及数学符号意义获得能力的基本特征。之后探讨了数学符号意义获得能力的培养存在的问题及其影响因素，现今中小学生数学符号意义获得能力上还有所欠缺，如对数学自然符号的感知中缺乏数学感，无法获得数学信息，对数学专业符号的感知中缺乏结构感，无法获得隐性意义，在数学记号识别和理解存在困难，之所以中小学生数学符号意义获得能力的问题也有其影响因素，本文在分析影响原因之后切合实际提出了数学命题教学中数学符号意义获得能力培养的教学案例，希望能够学生自己的认知结构。关键词：数学；数学符号意义；获得能力

前言2011年版的九年义务教育《数学课程标准》指出：“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。”“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维：要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。”[1]“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”“教师教学应该以学生的认知发展水平和己有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。”这些先进的教学理念在实践中却遇到了诸多困难。首先，教师不知道如何实践这些先进教学理念。《数学课程标准》中虽然举例说明了教师应该如何将基本教学理念转化为教学行为，提出了一些基本要求和原则，却没有提供具体的教学模式和教学方法，教师们仍然感到“无法可依”。[2]其次，教师不敢实践这些先进教学理念。因为现代教学理念和方法与当前的教学评价标准和制度存在冲突，而教师之间的竞争卡分激烈，为了自己的荣誉和利益，教师不敢冒险尝试新的教学方法。最后，师生不具备实践现代教学理念的能力和水平。广大师生己经习惯了传统教学法，除了几个自学能力比较强的学生外，大部分学生理解教师讲授的内容都存在一定的困难，又如何与教师进行实质性的互动呢！师生双方都不知道应该怎样互动。如果学生不能基于自己的理解提出问题，那么学生在互动中必然处于被动地位，也就无法进行富于个性的学习活动。对数学符号语言的不重视，并不表示数学符号语言在数学学习和教学中不重要。恰恰相反，数学符号语言作为数学学习和教学必不可少的载体，作为数学形式化和符号化必需的表征方式，其重要性是不言而喻的。数学符号语言具有特殊性，相应的，它的学习和教学也就必然有其特殊的一面。因而，对于数学学习和教学的理论和实践研究而言，涉足数学符号语言的研究是不可缺少的，然而，就现有的研究情况来看，在理论上和实践上的研究都是较为薄弱的，甚至是空白，所以本研究具有一定的开创性。一、数学符号意义及其获得能力概述（一）数学符号数学符号有狭义数学符号、中义数学符号和广义数学符号之分。狭义数学符号是指“有一定数学含义的专用标记”主要指“中国数学物理名词委员会”审定的《数学物理符号表》中的数学符号，比如“*”、“＋”、“一”、“÷”等。现代常用的数学符号仅有200多个，在中小学数学教材中常用的的数学符号只有几十个。中义数学符号是指“用以表示数学概念、数学关系等的符号和记号”，或者“在数学文献中用以表示数学概念、数学关系等的符号和记号”，主要指得是用来表达数学对象的数学符号及其组合，它不仅包括狭义的数学符号，而且还包括它们的一些特定的符号组合，比如表示函数的符号“f（x）”就是由J,（）,x三个狭义的数学符号组成的。[3]广义数学符号是指能够剌激感官，在头脑中产生数学意义的客观存在，是数学文献、数学交流及数学教学中用来表达、传递、启示数学意义、数学信息的所有载体或剌激物，它不仅包括文字符号、中义数学符号、图表符号等人类专门创造的抽象符号，还包括实物、模型、实物图片等用来传达数学意义的自然实物符号。它们在形式和意义的对应关系上复杂、多样，比如对于“三个苹果”、“三”、“3’＼“three、“皇”、“四”等不同的符号，人们往往会获得相同的数学意义。通常语境下的数学符号是指狭义数学符号，是相对于“符号”而言的，强调的是符号的数学特征和数学含义。[4]数学文献中的数学符号一般是指中义数学符号，是相对于文字符号、图表符号而言的。所有数学文献中的符号，除去其中的文字符号和图表符号后都可以划分为数学概念符号或数学命题符号，因而都属于中义符号，都是能够为他人理解的符号。现实数学交往中的符号一般是指广义符号，交往双方可以临时约定各种符号。[5]本研究中的数学符号是指广义数学符号，以强调数学符号的交往性，而把狭义数学符号称为数学专业符号，以突出数学符号的专业性。这样，数学教学中用来表示数学研究对象的概念、性质、运算、关系的所有符号都纳入到数学符号范畴中，为进一步研究数学符号意义建构过程提供了方便。（二）数学符号的意义结构1、数学符号的基本意义数学符号的基本意义是指数学符号所表征的数学概念和数学关系。要获得数学符号的基本意义需要具备一定的符号结构分析能力，而不只是符号识记能力。数学元素符号的基本意义是指能够组成数学概念符号的文字符号或数学专业符号，它们自身具有一定的数学意义，但不能单独表征数学概念。掌握数学元素符号的基本意义有助于理解和记忆数学概念符号的意义。[6]数学概念符号是指表征数学对象的符号，一般是一个数学符号或几个数学符号的组合。数学概念符号的基本意义包括三个方面：（1）明确数学概念符号中的属概念符号或上位概念符号：（2）明确数学概念的内涵，即描述属概念特殊性质的符号：（3）明确数学概念的外延，即与数学概念符号对应的典型数学形象、数学形式或客观事物。数学命题符号是指表征数学关系的符号，它一般由数学概念符号和数学关系符号组成。数学命题符号的基本意义包括三个方面：（1）数学命题中涉及的数学概念：（2）数学概念需要满足的特定条件：（3）数学命题所表达的数学概念之间的数学关系。数学问题符号是指表征数学问题的符号序列，是由数学概念符号、数学关系符号和辅助说明符号组成的数学命题结构。[7]数学问题符号的基本意义包括三个：（1）正确识别数学问题中的数学概念及其属性：（2）正确识别数学问题中的数学命题及其关系：（3）正确识别数学问题的基本结构，确定己知与求证的关系，明确求证的目标。通过分析数学问题符号的上述三个方面的意义可以判断学生对数学问题题意的理解情况，提高问题解决教学的针对性。2、数学符号的转换意义数学符号的转换意义是指在思维的参与下，通过对数学符号进行同形或同义转换后所获得的，不同于数学符号的基本意义的意义。在数学学习中，转换是非常普遍的，它既是一种思想方法，也是一项重要的学习内容。数学符号的转换意义是相对于数学符号的基本意义而言的。[8]如果不进行有意的意义建构活动，学生一般不会主动探讨数学符号的转换意义。个数学对象从不同的角度去观察会产生不同的符号表达形式，不同形式的数学符号往往形成不同的数学理论，形成不同的数学模型和数学方法，将数学符号从一种“记号”转换为另一种“记号”，可以沟通不同数学知识之间的联系，加深对数学知识的理解，形成系统性认识。获得数学符号的转换意义是解决复杂数学问题的必要条件。解决数学问题的过程实际上就是数学符号的相互转换和化归的过程。数学符号之间的转换是正确理解题意，有效进行数学思维，顺利解决问题的基础。[9]一般说来，学生能够灵活运用数学符号之间的转换，可以帮助其发现解题的思路，确定解题的方向，避免解题陷入盲目的境地。在数学学习中，数学符号主要包括数学自然符号、数学模型符号、数学语音符号、数学文字符号、数学专业符号、数学图表符号、数学行为符号共七类符号，这七类数学符号之间形成了四十九种转换关系，其中包括七类数学符号系统内的转换及四十二种不同类型数学符号系统间的转换。3、数学符号的语符意义在数学教学中，学生学习的主要对象是数学符号文本，它是由各种数学符号按照数学语法规则组合、联结而成的，因而理清数学符号文本的记号结构，将数学文本符号从形式上切分为可认知的数学单位符号是获得数学符号意义的前提。（1）段落、节次与篇章根据语言的线性特征，数学文本符号总体上是数学符号的线性结构。在这种线性结构序列中，根据支本主题的不同，数学文本可分别称为段落、节次、篇章等。段落文本是指围绕一个具体的主题而展开的，描述数学对象、数学情境或数学现象的某个侧面属性的符号序列，是最小的数学文本。[10]节次文本是围绕一个较大的主题展开的，描述相对完整的数学情境、数学现象或数学对象的性质或关系的符号序列，它在符号长度或内容上适合于一节课学习的量，它在形式上可划分为若干段落文本。篇章文本是围绕一个大的主题展开的，全面论述或描述数学情境、数学现象或数学对象的性质或关系的符号序列，能够形成一个相对完整的知识体系，它在形式上可划分为若干节次文本。要描述的信息量越大，包含的篇章数量越多。在一般的数学教材中，教材的内容分为若干章，每章分为若干节，每节分为若干段，每段都围绕一个明确的主题展开。在同一册教材中，每章的研究对象或主题一般是不同的，每节研究主题的一个方面或一个层次，每段描述数学对象的一个属性或问题。（2）语句“语句“是表达数学信息或数学判断的最短的符号序列，一般是由数学图像符号、数学文字符号、数学专业符号、数学图表符号组成的线性序列。[11]语句是组成段落的基本单元，不同的语句围绕一个共同的主题联结在一起形成一个段落。一般文献中，段落是文本创作者根据所描述的主题划分的，段落与段落之间的界限分明，“一望便知”，而在数学文献中，为了使数学表达简洁明了，直观呈现前后、上下的逻辑关系，许多数学语句需要单独成“行”，导致数学段落之间的界限不是很明显，需要学习者根据语句的相关性确定数学段落。数学语句有多种类型，不同类型的数学语句有不同的结构。按照语句中数学符号的类型不同，数学语句可分为三类：数学文字语句、数学公式和数学混合语句。（三）数学符号意义获得能力的基本特征1、数学符号意义获得能力的内涵所谓数学符号意义获得能力，是指从数学符号中获取各种数学信息的能力。具体地说，数学符号意义获得能力是指学习者根据所掌握的数学符号系统与组合规则，通过分析数学符号的形式和意义，经历识别、联想、分析、推理、综合、表征等思维过程，从数学符号中获取各种数学意义的能力。[12]数学符号意义获得能力的核心不是能知道“数学符号表示什么”，而是能知道“数学符号意味着什么”，能够为数学符号赋予“新生命”，能使“死板、枯燥”的数学符号变得“生动、有趣’。数学符号获得能力除了具有符号意义获得能力的一般特征外，还具有以下学科特征：（1）数学符号感知能力的敏锐性由于不同数学分支的数学符号具有相对独立性，是自成体系的，使得整个数学符号系统划分为不同的数学符号子系统。除了小部分数学符号只属于某个数学分支外，大部分数学符号都是多学科共用的。这种现象导致了三类特殊符号：同形同义符号、同形异义符号、异形同义符号。连同符号中大量存在的形似符号、近义符号等使得数学符号的形式和意义及它们之间的联结关系异常复杂，需要学习者具有更敏锐的感知能力。比如，运算符号＋，一，×，÷是所有学科共用的，但它们却有多种不同的意义：符号“R”在集合论中表示实数集，而在代数学和分析学中也表示实数集，其意义是相同的，但在离散数学中却又用来表示关系：符号“Im”在复数论中表示复数的虚部，而在集合论和代数学中则表示映射的像：符号“k”在代数学中一般表示系数或常数，在应用数学中表示高斯常数，在微分几何中表示曲率，而在特殊函数中则表示贝克函数。（2）数学符号结构分析能力的细致性数学符号除了一般符号所具有的线性结构外，还存在大量的“嵌套”结构和组合结构，因而比其他符号的结构更加复杂，所蕴含的意义更加多样，需要更加细致和更大的耐心。在数学学习中，许多学生由于“粗心大意”，对一些特殊的结构和条件“视而不见”，影响了对数学问题的解决。（3）数学符号意义获得能力的广泛性理论上，对于每个数学符号，我们都应尝试分析并获得它的七种意义：基本意义、转换意义、隐性意义、史学意义、美学意义、操作意义和个性化意义，从而使数学符号所表征的知识与原有认识结构中的知识建立广泛的联系。[12]现实上，大部分数学教师和学生往往满足于获得数学符号的一种或两种意义，只要解决所面对的问题，就再探讨数学符号的其他意义，致使学生感到数学枯燥、难学。因此，培养学生的广泛的数学符号意义获得能力，让学生树立从六个维度建构数学符号意义的意识和习惯非常重要。2、数学符号意义获得能力的综合表现形式-符号感及其培养一般来说，符号感是看到符号后产生的一种复杂的和多方面的感觉，这种感觉是由于符号作用于我们的眼睛，通过视觉系统把剌激信号传递到大脑中所引起的心理的和行为上的反应。感觉是最简单的心理过程，是形成各种复杂心理过程的基础，但它也是人们长期学习、实践的结果，是过去经验的积累的结果。[13]因此，我们与其将符号感定义为意识、习惯、态度或一系列的行为表现，不如将符号感就视作是一种特殊的，具有综合性的感觉。由于符号并不是具有自身价值和属性的客观事物，而只是意义的表征形式或感官的剌激物，它的主要价值在于替代其他客观事物为感官提供剌激，产生相应的心理反应或认识判断。符号与事物的这种本质区别决定了人们对符号的感觉不同于一般事物的感觉。数学符号感的获得有两种方式：自然言语实践与自觉言语实践。自然言语实践是指通过多读、多背、多说、多写等大量的言语实践，使言语本身的规则在主体大脑中形成一种言语体系，从而形成语感。自觉言语实践是指依据一定的学习理论，有意识地学习具有典型意义的言语材料、言语知识以及特定语境的社会文化知识，总结语言使用的规律，有意识地，自觉地形成某种言语习惯，并使得言语知识内化为主体的心理行为结构模式，从而形成语感。相比较而言，前者属于一种无计划、无意识、自然的、低效的语感获得方式，后者是一种有计划、有目的、自觉的、高效的获得语感获得方式。在数学教学中，数学教师可以从以下几个方面入手，培养和提高学生的数学符号感。二、数学符号意义获得能力的培养存在的问题及其影响因素（一）中小学生数学符号意义获得能力的问题1、对数学自然符号的感知中缺乏数学感，无法获得数学信息数学研究的是事物的数量关系和空间形式，它们隐藏在客观事物的内部结构中或外部的相互作用中，需要学生具备一定的数学感。学生虽然通过数学学习掌握了一些数学概念和数学命题，但却不能将这些数学知识与纷繁复杂的客观世界有机地联系在一起。因此，虽然日常生活中无处没有数学关系，但学生却感知不到数学关系，更不善于用所学的数学知识来处理日常生活中的实际问题。[14]由于缺乏数学感，学生眼中看到的只是具体的客观事物，不是抽象的数学知识，使得数学知识丧失了生活经验基础。这种实际经验的缺乏不仅直接影响了学生对其他数学符号的理解，更直接影响了对数学符号进一步的信息加工。因此，在中小学数学教育中，重视数学符号的经验化，结合具体的数学概念和数学命题学习，引导学生联想相关的生活经验，提炼数学经验，具有非常重要的教育意义和教学价值。2、对数学专业符号的感知中缺乏结构感，无法获得隐性意义数学是研究各种关系结构的科学，因而表征数学知识的数学符号一般也是以结构的形式存在于数学文本中。当前，很多数学教育工作者仍然将数学符号等同于数学专业符号，即国际上统一规定的少量的简单的数学字母。实事上，孤立地认识和记忆这些数学符号并无实际价值，因为几乎所有的数学知识都是由这些组合而成的数学符号结构。脱离数学符号的结构性谈话数学符号将一无所获，就象离开汉字的整体结构只谈论笔画一样。特别是数学中大量存在的“嵌套”结构，使得数学符号所表达的数学意义更加复杂。例如，36+64=100只是一道简单的加法运算题，而改变它们的结构后，62+82=102就具有了新的内涵，进而一般化为x2+y2=z2或Xn+yn=Zn后，就具有了新的数学意义。这些不同的数学符号通过数学结构联系在一起，结构的变化就意味着数学意义的变化，从而形成不同的数学知识。3、数学记号识别和理解存在困难不同的数学符号具有不同的存在形式，各种存在形式之间存在着本质或数量上的差异。有的符号差异是显著的，便于识别：有的差异却是细微的，不易识别，很容易彼此混淆。所以，当差异不明显的符号组合在一起时，学生往往难以识别；当两个形式上相似的符号属于同一知识领域或处于同一语境时，应用频次低的符号往往被错误地识别为应用频次高的符号。例如，命题的否定与否命题是完全不同的概念。前者是针对简单命题p而言的，p与「p是两个截然相反的判断：后者是针对复合命题或假言命题“若p则q”而言的，指的是命题“若「p则「q”。但在学习中，许多学生往往将命题的否定识别为否命题。再如，全称量词“V”对“V”不具分配性，而对“<”具有分配性：存在性量词“3”对“八”不具分配性，而对“〉”则具有分配性。如果学生记不住，就无法进行相关的数学转换：如果学生记忆不清，就很容易导致转换错误。因此，数学教学中，教师应引导学生进行有目的的符号特征分析，对相关符号，特别是形似或形近符号之间的差异给予重点关注，提高学生的数学符号识别能力。数学符号是种特殊的符号系统。在形式上，数学符号中存在大量的“一符多义”和“多符一义”现象，需要学习者根据对整个语境的理解进行恰当地选择：在意义上，数学符号意义具有“二重性”，即同时具有两种迥然不同的意义：操作意义和结构意义。例如“”既具有操作意义一一运算结果的“引导符”，又具有结构意义二表示相等关系符：符号“＋”既具有操作意义一加法操作命令，又具有结构意义一“代数和”或“正号”，同时数学符号还蕴含着大量的隐性意义，需要学习者去分析、发现和领悟。数学符号的这些特征直接导致了数学符号的理解困难，无法获得数学符号的真正意义。（二）中小学生数学符号意义获得能力培养的影响因素1、数学教师的数学符号观在数学教学中，教师和学生直接面对的是数学教材中的数学文本符号，而不是孤立的数学单元符号，孤立的数学单元符号无法表征和传递数学信息。而根据现代现代学理论，学生与数学文本之间不是单向的理解关系，而是双向的“对话”关系。数学文本符号、文本作者与读者之间具有互动关系，学生阅读数学文本的过程应视作是读者与作者的“心灵”对话，而不是形式上的符号记忆。没有“心灵”的参与就无法培养学生的数学符号意义获得能力，也就无法完成“心灵”塑造的教育任务。（1）数学文本符号和学生之间具有相互选择性通常情况下，人们只看到了学生对数学文本的自由选择性，而忽视了数学文本对读者的内在选择性。实事上，数学文本和学生之间具有相互选择性。一方面，文本对读者具有选择性。任何文本的创作都会有明确的目标读者或昕众，创作文本的目的是想要告诉他们什么。通俗文本与专业文本显然服务于不同的读者。小学生不可能选择阅读高等数学的内容。另一方面，读者对文本具有选择性。读者或听众根据自己的喜欢选择文本，以自己的接受方式与文本发生关系。两种选择的一致程度既代表着文本创作的成功与否，也代表着学生数学符号意义获得能力的水平。（2）作者和读者通过文本符号实现了“隔空”的“心灵”对话要培养学生的符号意义获得能力必须改变数学符号在学生心目中的形式。教师要帮助学生感受符号中蕴含的作者的思想和“灵魂”。不应把数学符号视作冷冰冰的、僵化的物质存在形式，应用“心”去体会数学符号的“生命”。为此，教师应重新认识数学符号的对话功能，重新界定作者、文本与读者之间的关系。在数学教学中，教师不应让学生被动地服从于数学符号，导致学生自我与数学符号的对立，而应让学生建立两种“自我”观，一个“自我”代表自己，另一个“自我”代表作者，使两个自我之间展开对话。两个“自我”在对话中扮演不同的角色，一方负责意义发现，尽可能联想到符号中蕴含的不同意义，另一方负责意义内化，在新知识与原有经验之间找到“契合点”，实现原有认知结构的重构。2、数学教师的教学资源观数学教学资源是为数学教学的有效开展提供的各种可资利用的条件、资料和信息。在当前教学模式下，除了学校的硬件设施，数学教学资源主要有两类：一是来自教师的教学资源：二是来自数学教材和数学教辅资料的教学资源。相应地，学生主要有两项任务：一是在课堂上听教师讲授：二是在课后完成教辅资料中的数学习题。在教学活动中，这种数学教学模式蕴含着一个重大矛盾：教师在课堂上主要用语音符号向学生讲授数学知识，而学生在课后主要通过书面符号自主解答数学习题。数学符号的这种差异性，在低年级阶段还不明显，随着数学专业符号的增加，高年级的学生会感觉数学学习越来越难。因此，我们需要反思我们现有的教学资源观，为数学教学的有效开展提供更充分的条件。在教学活动中，数学教材是最主要的教学资源，师生的交流互动都是围绕建构数学符号意义展开的，其他的教学资源都是教材资源的补充。为了提高数学的效率和质量，教师主要开发两种教学资源：一是教材资源的开发，主要是数学问题的变式、拓展，能够由简单到复杂地将相关数学知识整合在一个数学问题中，引导学生进行深层次的数学符号意义建构，培养学生的高级数学符号意义获得能力：二是学生“错误”的开发，主要是对学生的错误进行变式和拓展，能够让学生对错误的原因有全面的感知和分析，形成有关数学知识的完善的认知结构，有效防止错误的再次发生。所有的错误都是认知结构不完善造成的，因此，减少错误的最有效方法就是完善认知结构。3、数学教师的教学方法观当前数学教学的最大问题是：片面强调数学知识教学，忽视数学语言符号教学。数学教师却没有认识到数学语言的“门槛”作用，普遍忽视数学语言教学，不能结合对数学语言、数学符号组织知识教学，主要表现在四个方面：（1）教学目标中的缺位。根据三维教学目标的要求，在数学教学目标中一般都有知识点、能力、情感与价值观的明确要求，但很少有关于数学语言符号的相关目标要求。（2）教学过程中的缺位。教学过程中，教师的关注点是数学概念与数学命题（定理、规则）的理解与应用，而对数学语言不是只字不提就是一带而过。（3）学习要求中的缺位。数学教师对于学习所提出的要求中很少或几乎没有涉及数学语言、符号方面的具体要求，全部是背诵、记忆数学概念和定理，掌握习题类型和方法方面的要求。（4）教学设计中的缺位。教学设计中教师重点思考得是如何设计流畅的教学程序，把教学大纲、考试大纲中规定的那些目标落实下去。在这种教学设计中，教师关心的是教的逻辑，而不是学的逻辑。教师只是完成了自己的教学任务，对学生的学习效果缺少必要的检测手段。这使得教师意识不到学生在学习数学中存在的语言障碍和符号障碍，失去了从数学语言、符号入手引领学生进入数学“门槛”的机会。在教师看来，研究学生如何学习是心理学家思考的问题，与完成自己的教学任务关系不大。教师只要把知识向学生讲了，解释清楚了，剩下的就是学生练习的问题。三、数学命题教学中数学符号意义获得能力培养的教学案例本章节就数学命题教学进行符号意义获得能力培养的案例研究。数学公式、定理的形成过程大致有两种情况：一是经过观察、分析，用不完全归纳法、类比等提出猜想，而后寻求逻辑证明：二是从理论推导得出结论。因此，在数学命题教学中教师要引导学生分析公式、定理的发现过程，并将发现过程和证明过程与所使用的符号建立联系，从而帮助学生强化对数学命题的记忆和应用，培养学生的符号意义获得能力。（一）数学命题教学中符号结构分析的特点1、数学命题的特点（1）数学命题有不同的符号表征。数学教材中的数学命题一般有数学文字符号与数学专业符号两种符号表征。前者主要用于说明，便于学生理解；后者主要用于记亿，便于学生运用。此外，一些数学命题还可以用数学图表符号表征，将数学关系直观呈现出来，既便于学生的理解，又便于学生发现新的数学关系。（2）数学命题有不同的转换命题。数学命题一般有四种彼此相关的转换形式：原命题、逆命题、否命题、逆否命题。学生很容易混淆四种命题之间的差异。例如，许多学生分不清“三垂线定理”与“三垂线逆定理”的差异。（3）数学命题有不同的真值。数学命题有真命题与假命题之分，但假命题并不是完全错误的命题，它们很多是似真命题，通过对条件或结论进行细微的修改，除去“致错因子”后就成为真命题。这种对假命题的改造不仅加深了学生对数学命题的认识，而且培养严谨的数学学习态度。（4）数学命题有固定的结构。每个命题都是由题设（条件）和结论两部分构成的，常常可以写成“如果，那么”或“若，则”的结构形式。其中，前半部分是题设，后半部分是结论。为了表述的简洁，在不引起混淆的情况下，数学教材中的许多数学命题进行了省略，出现了一些简化结构。例如，“对顶角相等”。在学习这种简化的数学命题时，教师应让学生转化为一般结构形式，以便于学生理解和记忆。例如，“若两个角互为对顶角，则这两个角相等”。2、数学命题教学中符号结构分析的内容及目标数学命题教学主要包括三个阶段：命题证明、命题分析、命题应用。在每个阶段具有不同的符号结构分析内容和目标。（1）命题证明阶段。命题证明不仅仅说明数学命题的正确性，而是要挖掘多方面的教学价值。首先，数学命题反映的是数学概念之间的关系，需要从数学命题中分离出相关的数学概念及其符号表征：其次，数学命题本身是一个基本数学问题，需要建立数学命题的基本问题模型：最后，剖析数学命题证明过程中的数学思想方法，确定证明的难点、关键点，要与归纳出的数学问题模型建立联系。（2）命题分析阶段。通过对数学命题的证明，学生对数学命题有了充分的理解。接下来要“趁热打铁”，对数学命题进行全面的分析，包括确定数学命题的条件与结论，分析数学命题的不同符号表征及结构特征，分析数学命题的不同表述形式及转换命题，确定它们的真值情况等。（3）命题的应用阶段。数学命题的应用主要是解决各种数学题。与数学命题相关的数学问题主要包括判断题一一判断命题的真伪、计算题一一利用数学公式计算、证明题一一利用数学定理进行逻辑证明、综合题一一综合利用多个数学命题解答复杂的数学问题。因此，数学问题实事上是一个有待确定真伪或者有待完善的、情境化的数学命题。如果去除数学问题中的情境成分，那么数学问题就是一个“逻辑环”。如果将其中的一部分称为“题设”，另一部分称为“结论”，则这个数学问题就成为一个数学命题。数学问题的解决过程就如同数学命题的证明过程，也就是“逻辑环”的建构过程。（二）数学命题教学中培养学生数学符号意义获得能力的教学设计案例在教学实践中，为了提高教学效率，并不是对每个数学命题都进行全面的符号结构分析，而是要根据数学符号的自身特点，学生的实际水平及教学进度要求进行科学的设计。1、以理解数学命题为目的的数学命题教学设计案例课题：“例2直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。”这是用数学文字符号表述的一个问题，也是一个数学命题。可以设计如下教学程序：（1）转换数学命题的符号表征，培养学生的数学符号转换能力首先，教师要求学生将问题符号化，即把数学文字符号翻译为数学专业符号。在翻译的过程中可能得到多种表述形式，但总体上可以分为直译与转译两种形式。直译比较容易，只需要将其中的数学概念符号化，但比较繁琐。比如可以直译为：直角三角形△ABC被斜边上的高CD分成的两个直角三角形△ADC与△BDC和原三角形△ABC相似：也可以直译为“己知求证”的模式：己知Rt△ABC被斜边上的高CD分成Rt△ADC与Rt△BDC，证明Rt△ADC与Rt△BDC和Rt△ABC相似。转译需要对题目深入了解，不仅需要确定数学命题中的数学概念，还要确定其间的数学关系，并将它们符号化，比直译要困难，但简洁美观。如果学生能够比较深入地理解题意，并且在头脑中绘出图形的直观形象，就可以用转译的方法，把头脑中的图形完全用数学符号语言表述出来：在Rt△ABC中，∠ACB=90，作CD⊥AB，垂足为D，求证△ACD～△ABC,△CBD～△ABC。其次，将数学命题转化为数学图表符号。符号化的数学命题与下面的数学图表符号相对应，可以把问题所描绘的情境直观地呈现出来。2、探求数学命题的证明过程，培养学生的问题模型意识和方法意识教师引导学生探讨命题的证明方法。根据三角形相似的判定定理，可以很容易地证明这个问题。证明：⸪CD⊥AB，⸫△ADC为直角三角形。在Rt△ADC与Rt△ABC中，因为∠A为公共角，所以△ACD～△ABC。同理可证△CBD～△ABC。如果到此为止，题目的教育价值就基本丧失了。我们所要做的是要超越数学命题或数学问题的表面意义，探讨出尽可能多的其他意义，使学生对问题、命题的理解更加丰满。（3）分析数学命题的转换命题原命题：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。否命题：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形不相似。逆命题1：如果直角三角形被斜边上的点与直角顶点的连线分成的两个三角形和原三角形相似，则该连线为斜边上的高线。逆命题2：如果三角形被一边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似，则这个三角形为直接三角形。逆否命题1：如果直角三角形被斜边上的点与直角顶点的连线分成的两个三角形和原三角形不相似，则该连线不为斜边上的高线。逆否命题2：如果三角形被一边上的高分成的两个直角三角形和原三角形不相似，则这个三角形不为直接三角形。通过对转换命题的分析和转换，能使学生加深对数学命题的理解，更加明确各要素之间的关系。（4）探讨数学命题的引申结论，培养数学符号隐性意义发现能力首先，从问题或命题中还能得到什么结论，这些结论可以作为这个特殊几何图形的性质。虽然不能直接应用证明其他命题，但是可以作为己知条件，帮助探索解题思路。探讨的过程不是瞎猜，乱碰，而是要遵循一定的思想方法。这个问题属于儿何问题，根据几何知识的特点，我们可以从以下几个视角进行探讨：1）三角形之间的关系：根据三角形相似的传递性得△ACD～△ABC～△CBD。2）角之间的关系：存在两对相等的锐角：∠A=∠BCD,∠B二∠ACD。3）边之间的关系：对应边之比相等：。从三组比例关系中又可以发现三边之间的关系式：CA2=DA·AB;CB2=DB·BA;CD2=AD·DB。由直角三角形想到勾股定理，可以得到三边的平方关系：AB2=AC2+CB2;AC2=AD2+DC2:BC2=BD2+DC2：如果把上面的结论进’’行联结又会得到新的结论：’’AB2=AD2+DC2+BD2+DC2=AD2+BD2+2CD2对上面的结论进行比较，当你发现公式中点的依次循环或替代时，你不感到奇妙吗？当你把CA"=AB·AD与对照时，你不感吃惊吗？当我们把眼光移到图形上，可以发现：把一个图形分为两个部分，则这个母图与其两个子图彼此相似。我们可以给这样的图形起一个好听的名字，叫“母子图”。当△ABC是等腰直角三角形时，两个子图完全相同，说明它的两个“孩子”还是“双胞胎”呢！多么，有没有“多胞胎”呢？例如，这个图形中就是一个“四胞胎”，“三胞胎”、“五胞胎”、“六胞胎”吗？通常知识的学习是局部的、分散的，在学生头脑中呈零乱无序的状态，难以形成有规律的清晰的认知结构。因此，每学完一部分知识后，学生应将这些知识以一个新的角度串联起来，以便形成一个完整的知识结构。随着学习的不断深入，总结的层次应不断提高，既要注意知识纵向、横向各个层面的联系，义要重视其程序化的科学组织，使大脑中形成系统性的知识网络。这样解题不再是目的，而成为掌握数学知识，数学思想和数学方法的引信。教育的重心从掌握知识转移到发展学生的能力。通过意义获得能力的训练，能知道自己已有的知识水平，认清自己的优势与劣势，认清自己的学习类型，认清自己的学习任务目标，认识制约学习任务完成的因素，并能根据自己的实际情况制订学习计划，养成良好的学习习惯，选择适当的学习方法，能够激活与保持适度的学习心理状态，能够合理安排学习时间等。如果经常进行这样的训练，学习的思维会非常灵活、深刻，再遇到开放性问题时，会自动地进行分析，发现其中的特点，结合所学知识灵活地应对。2、以应用数学命题为目的的数学命题教学讨论案例数学命题的应用主要包括两个方面：一是判断数学命题什么时候用，即明确数学命题的应用情境：二是保证数学命题的正确应用，即防止数学命题的错误应用。（1）应用情境的转换命题：平面上任意两点之间的连线中直线段最短这个简单的命题可以应用到不同的问题情境中。因此，通过命题的应用情境可以有效提高学生应用数学命题的能力。问题：己知村庄A位于条小河边，到河的垂直距离是2公里，在下游8公理处的河对岸另有一个村庄B，到河的垂直距离是4公里，假设两具村庄之间的河道是直的，现在要在两村庄之间架设一条电话线，需要在河边埋一根电线杆，问电线杆应埋在何处？共需要电线至少多少米？这是一个常规性问题，大部分学生会应用所学的命题给出正确的解答。但我们不应就此放弃，而应以问题为起点，变换问题的情境，使学生在变与不变中加深对知识的理解，提高知识应用的灵活性，体验化归思想的妙处，并建立一般性的问题模型和解决方法。变式1如果要在两村庄间修一条公路，需要在河上架一座桥，桥架在何处时，公路最短？若河宽是50米，这条公路最短是多少米？（其他条件不变）变式2：如果两个村庄的人家都分布在半径为1公理的圆形区域内，则两个村庄的两户人家之间的最短距离是多少？（其他条件同变式1）变式3：如果两个村庄是位于河的同侧，其他条件不变。变式4：如果A,B是位于一个平面的同侧的两个点，如何在平面上找到一点P使它到A,B两点的距离之和最小？又如何使距离之差最大？变式5：如果两点A,B分别位于一个二面角的两个不同半平面上，如何在交线上找到一点P，使它到A,B两点的距离之和最小？又如何使距离之差最大？变式6：如果两点A,B分别位于一个水杯的内侧与外侧，如何在杯口沿上找到一点P,使它到A,B两点的距离之和最小？又如何使距离之差最大？在进行以上变式后，还可以让学生给出自己的变式，以便激发学生的学习兴趣。（2）误用数学命题的原因分析在数学教学中，学生存在大量的数学命题误用问题，其中根本的原因在于对数学命题缺乏全面的认识和完整的把握，特别是数学命题题设的检验。问题：己知3x2+2y2=9x，求x2＋y2的最值错解1将己知方程变形为，用消元法得所以，当x=时，x2+y2取得最大值。错解2:设x2+y2=k，则y2=k-x2，代入条件关系式得x2-9x+2k=O，用判别一式方法得△=81-8k≥0，解得k≤，x2+y2取得最大值。一分析错误的根源，都是误用了数学命题。在错解1中，学生依据的数学命题是：若x∈R,则x2≥0，但学生没有检验数学命题运用的条件，事实上，3x2+2y2=9x含有隐含条件：即X[0,3]