河北省沧州市四校2025-2026学年高二上学期期中考试 数学含解析

河北省沧州市四校联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试

数学试题

一、单选题

1．已知A3,2,5，B1,2,3，则线段AB的中点坐标为（）

A．2,4,8B．4,0,2C．2,0,1D．1,2,4

22

2．如果点Mx,y的坐标满足方程x2y4x2y48，则M的轨迹是（）

A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．射线

x2y2

3．已知椭圆C：1，若过点P1,1的直线与椭圆C交于A，B两点，P为线段AB的中点，则直线AB

43

的斜率为（）

3435

A．B．C．-D．

4353

4．两平行平面，分别经过坐标原点O和点A2,1,1，且两平面的一个法向量n1,0,1，则

两平面间的距离是

32

A．B．C．3D．32

22

5．直线(a22a)xy10(a为常数）的倾斜角的取值范围是（）

33

A．[0，)(，]B．[0，)(，]

42424

33

C．[0，)(，)D．[0，)[，)

2424

6．陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代

x2y2

金银细作中的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C：1a0,b0的右支与y轴及

a2b2

直线y4，y2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，如图，若该金杯主体部分的上

103239

口外直径为，下底座外直径为，则此双曲线C的渐近线方程为（）

33

31

A．y3xB．yxC．y2xD．yx

33

ππ

7．如图，在平行六面体ABCDABCD中，ABADAA1,BAD，BAADAA，则直线

111113114

BD1与直线AA1所成角为（）

ππππ

A．B．C．D．

6432

8．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中记载：计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆

时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆

x2y2

C:1ab0的面积为2π，两个焦点分别为F1,F2，点A是椭圆C上的动点，点B是点A关于原

a2b2

点的对称点，若四边形AF1BF2的周长为8，则四边形AF1BF2面积的最大值为（）

A．23B．3C．4D．2

二、多选题

22222

9．已知圆C1:xy1，C2:(x3)(y3)r(r0)，则下列说法正确的是（）

A．当r1时，圆C1与圆C2相离

B．当r2时，y1是圆C1与圆C2的一条公切线

C．当r3时，圆C1与圆C2相交

1

D．当r4时，圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程是yx

2

10．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC,CC1,BB1的中点，则下列说法正确的是

（）

A．直线D1D与直线AF垂直

B．直线A1G与平面AEF平行

9

C．平面AEF截正方体所得的截面面积为

8

D．点C与点G到平面AEF的距离相等

x2y2

11．已知点P是双曲线E：1的右支上一点，F1，F2为双曲线E的左、右焦点，F1PF2的面积为

169

20，则下列说法正确的有（）

2080

A．点P的横坐标为B．FPF的周长为

3123

C．F1PF2的内切圆半径为1D．F1PF2的内切圆圆心的横坐标为4

三、填空题

12．若直线xay20与直线a2xy10垂直，则a.

13．已知圆C的方程为x2y22，点P是直线x2y50上的一个动点，过点P作圆C的两条切线PA，

PB，A，B为切点，则四边形PACB的面积的最小值为，直线AB过定点.

x2y2x2y2

14．已知双曲线C：1a0,b0与椭圆1有公共的左、右焦点F1，F2，以线段F1F2为

a2b2248

直径的圆与双曲线C及其渐近线在第一象限内分别交于点M，N，且线段NF1的中点在另一条渐近线上，

△

则OMF2（O为坐标原点）的面积为.

四、解答题

15．已知圆心为C的圆经过点A1,1和B2,2，且圆心C在直线l:xy10上．

(1)求圆C的方程；

(2)若线段PQ的端点P的坐标是5,0，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．

16．已知抛物线C:x24y，过点P1,0作直线l.

(1)若直线l与抛物线C只有一个公共点，求直线l的方程；

(2)若直线l过点0,1，且交抛物线C于A、B两点，求线段AB的长.

17．如图，在三棱锥SABC中，SA底面ABC，ACABSA2，ACAB，D,E分别是AC,BC的

中点，F在SE上，且SF2FE.

(1)求证：AFBC；

(2)在线段DE上是否存在点G，使二面角GAFE的大小为30？若存在，求出DG的长；若不存在，请

说明理由.

18．如图，已知某隧道的截面是一圆拱形，隧道内的路面宽为45m，隧道的高为4m.车辆只能在道路中心

线一侧行驶，一辆宽为2.5m，高为3.5m的货车能否驶入这个隧道？请说明理由.（参考数据：143.74）

x2y21

19．已知椭圆C：1ab0的离心率为，F1，F2分别为C的左、右焦点，A1，A2分别为C的

a2b22

左、右顶点，椭圆C的右顶点到右焦点的距离为1，O为坐标原点.椭圆C上一点P在第一象限，点P与点Q

关于原点对称，连接QF1，并延长与椭圆C交于点M.

(1)求椭圆C的标准方程；

k1

(2)若直线A1M，A1P的斜率分别为k1，k2，求证：为定值.

k2

题号12345678910

答案CDABDABAABDBC

题号11

答案ABD

1．C

根据题意，利用中点公式，准确计算，即可求解.

【详解】由点A3,2,5，B1,2,3，

312(2)53

则线段AB的中点坐标为(,,)，即(2,0,1).

222

故选：C.

2．D

根据所给方程的几何意义分析点M的轨迹.

【详解】设F10,4,F2(0,4)，则F1F28.

由题可知，MF2MF18F1F2，

所以点Mx,y的轨迹是射线.

故选：D.

3．A

设A,B点坐标，代入椭圆方程中，作差化简可得答案.

【详解】设A(x1,y1)和B(x2,y2)为直线与椭圆的交点，且P1,1为AB中点，

x2y2

111

x1x221243

因此，点，B满足椭圆方程，

A22

y1y2212xy

221

43

x2x2y2y2(xx)(xx)(yy)(yy)

两式相减得：12120，即121212120，

4343

(xx)2(yy)212

则12120，即xxyy0，

43212312

yy3

12

整理得4(y1y2)3(x1x2)，因此直线AB的斜率为k.

x1x24

故选：A

4．B

【详解】两平行平面，分别经过坐标原点O和点A2,1,1，OA2,1,1，且两平面的一个法向

nOA2012

量n1,0,1,两平面间的距离，故选B.

n22

5．D

由题意利用直线斜率和倾斜角的定义，二次函数的最小值，求得tan1，可得倾斜角的范围.

【详解】直线(a22a)xy10(a为常数）的斜率为a22a(a1)211，

故直线的倾斜角满足tan1．又[0，)，

3

[0，)，或[，)，

24

故选：D．

6．A

求出点M,N的坐标，将其代入双曲线方程中，求出方程即可.

5339x2y2

【详解】由题意可得，M,4，N,2，且、N都在双曲线上，

M221

33ab

2516

1

3a2b2a3b

所以，解得，则双曲线的渐近线方程为yx3x.

134b3a

1

3a2b2

故选：A.

7．B

利用基底表示出BD1，结合向量夹角公式求得正确答案.

【详解】连接AD1，

以AB,AD,AA1为空间一组基底，

则BD1AD1ABADAA1AB，

22

BD1ADAA1AB

222

ADAA1AB2ADAA1ADABAA1AB

212

11121111112，

222

所以BD12，

2

BD1AA1ADAA1ABAA1ADAA1AA1ABAA1

22

1112111，

22

设直线BD1与直线AA1所成角为，

BDAA12

则cos11,

BD1AA122

ππ

由于异面直线夹角的取值范围是0,，所以.

24

故选：B

8．A

根据面积以及焦点三角形的周长可得a2,b1,c3，即可根据面积公式即可求解.

【详解】由于B是点A关于原点的对称点，F1,F2也关于原点对称，故四边形AF1BF2为平行四边形，

由题意知πab2π，得ab2，又2a2a8，得a2，又a2b2c2，

解得a2,b1,c3，

11

三角形AFF的面积为FFy2cy3y，

12212A2AA

当yA取最大1时，三角形AF1F2的面积最大，△AF1F2的最大值为3，

所以四边形面积的最大值为

AF1BF22323.

故选：A

9．ABD

通过计算两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差比较来判断位置关系；对于公切线，需要判断两圆

圆心到直线的距离是否等于半径；对于公共弦，可通过两圆方程相减得到.

【详解】圆C1的圆心坐标为(0,0)，半径R1；圆C2的圆心坐标为(3,3)，半径为.

则两圆的圆心距22

dC1C230309932.

对于A，当r1时，Rr112.dRr，知圆C1与圆C2相离，A正确；

对于B，当r2时，Rr123，由dRr可得两圆相离.

因圆心C1C10,0到y1的距离为1R；圆心C23,3到y1的距离为312r，

故y1是圆C1与圆C2的一条公切线，B正确；

对于C，当r3时，Rr4，因为d324Rr，两圆相离，C错误；

22

对于D，当r4时，将两圆方程相减得：x3y3x2y215，

11

整理得yx，即圆C与圆C2的公共弦所在直线方程是yx，D正确.

212

故选：ABD.

10．BC

A选项根据正方体的性质判断；B选项根据面面平行的判定定理和性质定理判断；C选项根据基本事实得到

平面AEF截正方体的截面为AEFD1，然后求面积；D选项根据点C和点G与平面AEF的位置判断.

【详解】

A选项：ABCDA1B1C1D1为正方体，所以DD1∥CC1，直线AF与直线CC1不垂直，所以直线AF与直线DD1

不垂直，故A错；

B选项：取B1C1中点H，连接A1H，GH，因为H，E，G分别为B1C1，BC，BB1中点，

∥

所以GHEF，A1HAE，又GH,A1H平面AEF，AE,EF平面AEF，所以GH,A1H∥平面AEF，

因为GHA1HH，GH,A1H平面A1GH，所以平面A1GH∥平面AEF，

因为A1G平面A1GH，所以A1G∥平面AEF，故B正确；

∥

C选项：连接AD1，D1F，因为E,F为BC,CC1的中点，所以EFAD1，所以平面AEF截正方体的截面为

232

2

，，

AEFD1249

S

AEFD128

故C正确；

D选项：连接CG交EF于点M，延长FE交B1B的延长线于点Q，

MC1

因为E,F为BC,CC的中点，所以BQFC，GQ2FC，又FMC∽QMG，所以，

1GM2

即M为CG的三等分点，M不是CG的中点，所以点C和点G到平面AEF的距离不相等，故D错.

故选：BC．

11．ABD

根据三角形F1PF2的面积，及焦距的长求得点P的纵坐标，代入双曲线的方程，求得点P的横坐标，判断A；

由点P的纵坐标及两点间距离公式，求得PF2，利用双曲线的定义求得PF2，进而求得F1PF2的周长判断

B；由等面积法求得F1PF2的内切圆半径，判断C；结合圆的切线的性质和双曲线的定义，求得F1PF2的内

切圆圆心的横坐标，判断D.

【详解】因为16925，所以F15,0,F25,0，所以F1F210.

设Px0,y0,x04，

1

对于A，因为FPF的面积为20，即FFy20，所以y4.

1221200

x2y22020

代入双曲线E：1，得x0，所以x0.故A正确；

16933

21337

对于B，由A知PFx5y2，所以PFPF24.

2003123

133780

所以FPF的周长为10.故B正确；

12333

1803

对于C，设FPF的内切圆半径为，则r20，解得r.故C错误；

12232

对于D，设F1PF2的内切圆I在F1F2,PF1,PF2上的切点分别为M,N,Q.

则PF1PF2NF1QF2F1MMF28

设Ix1,y1，则x155x18，解得x14.所以D正确.

故选：ABD.

12．1或0

根据两条直线垂直的充要条件可得.

【详解】因为直线xay20与直线a2xy10垂直，

所以1a2a10，即a2a0，解得a1或a0.

故答案为：1或0.

24

13．6(,)

55

将四边形的面积的最小值问题转化为原点到直线的距离最小值可得；再通过构造四边形的外接圆，两圆的

方程相减得公共直线的方程，进而判断过定点可得.

【详解】如图：

222

因为SPAOB2SPAOOAPA2OPOA2OP2，

所以只有OP最小时，四边形的面积有最小值，由点到直线的距离可得，

0205

52

OPmind5，所以此时S2(5)26.

1225PAOB

再设P(x0,y0)，则x02y050，因四边形PAOB在以OP为直径的圆上，

xy1

得圆的方程：(x0)2(y0)2(x2y2)2，即x2xxy2yy0，

2220000

22

与xy2相减，得直线AB的方程为，x0xy0y2，再由x02y050，

所以直线AB的方程为，(2y05)xy0y2，即5x2y0(2xy)0，

5x202424

令，得x,y，所以直线过定点(,).

2xy05555

24

故答案为：6；(,).

55

14．6

由椭圆的方程写出焦点F1，F2的坐标，得到以线段F1F2为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线联立求得点N

的坐标，进而得到线段NF1的中点的坐标，代入另一条渐近线求得a,b的值，得到双曲线C的方程，与圆的

△1

方程联立求得点M的坐标，根据OMF2（O为坐标原点）的面积等于OFy求得其面积.

22M

22

xy22

【详解】由椭圆1知F14,0,F24,0，所以ab16.

248

x2y2b

双曲线C：1a0,b0的渐近线方程为yx.

a2b2a

22

以线段F1F2为直径的圆的方程为xy16.

x2y216

2222

由b，得abx16a，所以x2a2，所以Na,b.

yx

a

a4b

记线段NF1的中点为P，则P,.

22

bbba4

点P在yx上，所以，解得a2，所以b23.

a2a2

x2y2

所以双曲线C的方程为：1.

412

x2y216

x27

由22，得，所以

xy2M7,3.

1y9

412

△11

所以OMF2（O为坐标原点）的面积为OFy436.

22M2

故答案为：6.

15．(1)(x3)2(y2)225

25

(2)(x1)2(y1)2

4

（1）先求得线段AB的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线AB的方程求得圆心C的坐标，

进而求得半径，从而求得圆C的标准方程.

（2）设出点M,Q的坐标，用M的坐标表示点Q的坐标，将点Q的坐标代入圆C的方程，化简求得点M的

轨迹方程.

31

【详解】（1）设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D,．

22

1

因为k3，所以k，

ABm3

所以直线m的方程为x3y30．

x3y30,x3

由，得，

xy10y2

所以圆心C3,2，

半径rCA(31)2(21)25，

所以圆C的方程为(x3)2(y2)225．

（2）设点Mx,y,Qx0,y0．

x05

x,

2x02x5,

因为点P的坐标为5,0，所以即

y0y2y.

y0,0

2

2222

又点Qx0,y0在圆C:(x3)(y2)25上运动，所以x03y0225，

25

即线段PQ的中点M的轨迹方程为(x1)2(y1)2．

4

16．(1)x1或y0或yx1

(2)8

（1）对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，在直线l的斜率不存在时，直接验证即可；在直线l的斜率存

在时，设直线l的方程为ykx1，将该直线方程与抛物线方程联立，由0求出k的值，综合可得出直

线l的方程；

（2）设Ax1,y1、Bx2,y2，将直线l的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长

公式可求得AB的值.

【详解】（1）若直线l的斜率不存在，则l的方程为x1，与抛物线C只有一个公共点，符合题意；

若直线l的斜率存在，设l的方程为ykx1，

ykx1

联立消去y得2，

2x4kx4k0

x4y

因为直线l与抛物线C只有一个公共点，

所以Δ16k216k0，解得k0或k1，

此时直线l的方程为y0或yx1.

综上，直线l的方程为x1或y0或yx1.

（2）因为直线l过点P1,0，又过点0,1，所以直线l的方程为yx1，

yx12

设Ax1,y1、Bx2,y2，联立2消去x得y6y10，则y1y26，

x4y

因为点0,1为抛物线C的焦点，故ABy1y228，

即线段AB的长为8.

17．(1)证明见解析

1

(2)存在，

2

222

（1）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由SF2FE，求得F(,,)，得到AF,BC的坐标，结合

333

AFBC0，即可证得AFBC；

（2）假设存在满足条件的点G，设DGt，求得平面AFG和平面AEF的法向量分别为n(t,1,t1)和

BC(2,2,0)，结合向量的夹角公式，列出方程，求得t的值，即可得到答案.

【详解】（1）证明：因为SA平面ABC，AB,AC平面ABC，

所以SAAB,SAAC，

因为ACAB，所以AC,AB,AS两两垂直，

所以以A为坐标原点，以AC,AB,AS所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

如图所示，则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),S(0,0,2),D(1,0,0),E(1,1,0)，

222222

因为SF2FE，可得F(,,)，所以AF(,,),BC(2,2,0)，

333333

222

则AFBC2(2)00，所以AFBC，所以AFBC.

333

（2）解：假设存在满足条件的点G，设DGt，则G(1,t,0)，

222

所以AF(,,),AG(1,t,0)，

333

222

nAFxyz0

设平面AFG的法向量为n(x,y,z)，则333，

nAGxty0

取xt，可得y1,zt1，所以n(t,1,t1)，

因为E为BC的中点，且ABAC，所以AEBC，

由（1）得AFBC，且AEAFA，AE,AF平面AEF，所以BC平面AEF，

所以平面AEF的一个法向量为BC(2,2,0)，

又因为平面AEF与AF