东北精准教学联盟2025年12学高三联考考后强化卷数学（含答案）

2025年12月高三联考强化卷

数学

本试卷满分150分,考试时间120分钟.

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知i为虚数单位,若z+2z=6+i,则z=()

A.2+iB.2-i

C.1+2iD.1-2i

2.在生物界中,部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上的速度v(单

位:米/秒)与跳跃高度H(单位:米)满足v,则该类昆虫的最大跳跃高度为()

A.0.25米B.0.5米C.0.75米D.1米

3.设p:x≥a,q:x2+3x-10>0,且p是q成立的充分不必要条件,则a的取值范围是()

A.(0,2)B.(2,+∞)

C.[2,+∞)D.(2,5]

4.已知圆O1与圆O2的半径分别为3和1,如图,圆O2在圆O1内部沿着圆O1的边缘滚动,AB是圆O2的任意

→→

直径,则O1A·O1B=()

A.1B.3C.5D.8

5.若正四棱台上、下底面的面积分别为1,16,高为2,则此四棱台的体积与表面积的数值之比为()

14177

A.B.C.D.

4531590

6.已知等比数列{an}满足++=14,a2=,记Sn为其前n项和,则S3=()

AB.C.D.7

7.已知点A(-1,1),B(3,3),线段AB为☉M的一条直径.设过点C(2,-1)且与☉M相切的两条直线的斜率分

别为k1,k2,则k1+k2=()

ABC.D

数学第1页(共4页)

8.已知正实数a,b满足aea-2=e2025和b(lnb-2)=e2029,则ab的值为()

A.e2029B.e2028

C.e2027D.e2026

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得

6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<π)的部分图象如图所示,将函数f(x)图象上所有点的

1

横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,则以下说法正确的有()

2

A

B.f(x)图象关于直线x对称

D.g(x)在[2025π,2026π]上单调递增

10.已知a=(,4),=(m,,c=(3,3),则下列说法正确的是()

A若1,则a-c)b

B.若a∥b,则m

C.a在c上的投影向量为c

D.|b-c|的最小值为7

11.已知函数f(x)=x2+4x-(4x+1)lnx,则下列结论中正确的是()

A.f(x)有四个单调区间

B.f(x)存在最小值

C.f(x)有三个极值点,从小到大依次为a,b,c,则a,b,c成等差数列

D.f(x)有三个极值点,从小到大依次为a,b,c,则a,b,c成等比数列

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

已知sin则cos

12.(α+=,(α+=.

13.一个底面边长为2,高为3的正四棱柱容器(容器的厚度忽略不计,容器是封闭的)内有两个半径相等的铁

球,则铁球半径的最大值为.

14.已知函数f(x)=x3x+φ),若∃φ∈R使得对∀x∈[-3,3],都有f(x)≤a,则a的最小值

为.

数学第2页(共4页)

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinC=3ccosA.

(1)求A;

(2)点D在边BC上,AD平分∠BAC,若a=4,AD,求△ABC的周长.

16.(15分)已知数列{an}的首项为1,其前n项和为Sn,且满足3nan+1-6Sn=n(n+1)(n+2).

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)证明

17.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,BC⊥AC,AB∥DC.

(1)证明:平面PBC⊥平面PAC.

(2)若BC=2,CD=3,PA=AB=4,AD=3,P,A,B,C在同一个球面上,球心为O.

(i)求DO与平面PBC所成角的正弦值;

→→

(ii)设PH=λPD,N为PC的中点且H,A,O,N四点共面,求实数λ的值.

数学第3页(共4页)

18.(17分)如图,在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,E为线段CD上一点,且AD=AE,BE=BC.

(1)若∠BCD=75°,求DE.

(2)记∠ADB=α,∠BDC=β,∠BCD=γ,

(i)证明:1-4cos2γ=4cosαcos(α+β);

(ii)求2α+β的值.

19.(17分)已知函数f=ln,其中a≠0.

(1)当a=1时,若直线y=-x+b是曲线y=f(x)的一条切线,求b的值;

(2)讨论f(x)的单调性;

(3)若集合{x|f(x)<1,x∈Z}中有且仅有一个元素,求a的取值范围.

数学第4页(共4页)

2025年12月高三联考强化卷

数学

1.B【深度解析】设复数z=a+bi(a,b∈R),则z+2z=a+bi+2(a-11111q111

·=14,∴2q

=14,a2=,2

∴aaq=aaa2q

a=2,a34a22222

故选

bi)=3a-bi=6+i,所以则z=2-i.B.q

b=-1

{,

2

4H=7(提示:等式两边同时除以2),即2q2-5q+2=0,解得q=2或

2.A【深度解析】函数关系式v2=的左右两边都出现了v,q

(1-Hv2

4H

因为要求H的最值,所以要用v表示H由v2=可知v2-

)1-Hv2

1

Hv4=4H且v>01-Hv2≠0故H

,,,4,

7.D【深度解析】由题可得,A(-1,1),B(3,3),且线段AB为☉M的

-1+31+31

4直径,所以圆心M,,即M(1,2),圆的半径r=|AB|=

2(22)2

当且仅当v=2,即v=2时,等号成立,所以该类昆虫的最大跳跃

v

1

高度为0.25米.故选A.(-1-3)2+(1-3)2=5,画图可知两条切线的斜率均存在,设

2

3.B【深度解析】由x2+3x-10>0,解得x<-5或x>2.设A=[a,

切线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-1-2k=0,由相切可得

+∞),B=(-∞,-5)∪(2,+∞),则由p是q成立的充分不必要条

|-k-1-2|

=r=5,化简得2k2-3k-2=0,由根与系数的关系可得

件,得AB(关键:根据充分不必要条件的定义将不等式解集和区2

1+k

间的关系⫋转化为两集合间的关系),所以a>2,所以a的取值范围3

k1+k2=.故选D.

是(2,+∞).故选B.2

4.B【深度解析】已知圆O1和圆O2的半径分别为r1=3,r2=1,由

→→→→

题意得|O1O2|=r1-r2=3-1=2,则O1A·O1B=(O1O2+O2A)·

→→→→→→→→

22

(O1O2+O2B)=(O1O2+O2A)·(O1O2-O2A)=|O1O2|-|O2A|=

3.故选B.

5.B【深度解析】由题意知,该

正四棱台的上、下底面分别是

边长为1,4的正方形且高为2,

则上、下底面正方形的对角线

8.A【深度解析】由aea-2=e2025,两边同时取自然对数,得ln(aea-2)=

长度分别为2,42,该棱台的

2025a-22025

1lne,即lna+lne=lne⇒lna+a=2027.由b(lnb-2)=

体积V=×(1+1×16+16)×2=14提示:棱台的体积公式V=

3(e2029,两边同时取自然对数,得ln[b(lnb-2)]=lne2029,即lnb+

1ln(lnb-2)=2029⇒(lnb-2)+ln(lnb-2)=2027.令f(x)=lnx+

×(S2+SS+S2)×h,其中S,S分别为棱台的上、下底面面

3112212

x,x>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以方程f(x)=2027有唯

一解,所以a=lnb-2,则ab=(lnb-2)b=e2029.故选A.

积,h为棱台的高).又该棱台的侧棱长为=

29.BC【深度解析】对于A,由题图可知2×+φ=2kπ,k∈Z易

2(

34344-15

,所以斜高为(关键:根据正四棱台

2(2)-(2)=2

错:观察图象可知,x=是函数f(x)图象的上升零点,因此2×

的结构特征可知,求表面积时需要结合棱台侧面的高来求,所以关

1+φ=kπ,k∈Z不准确,所以φ=-+2kπ,k∈Z.又|φ|<π,

键是解出斜高),所以该棱台的表面积S=1+16+4××(1+4)×)

2

5V1π

故选所以φ=-故A错误;

=42,所以=.B.,

2S33

11

6.A【深度解析】设等比数列{a}的公比为q(q≠0)=sin

n,∵++对于B由A选项的分析知f(x)(2x-则由2x-=kπ+

a1a2,,

D1

5π3

πkπ5πe),使得f′(a)=f′(c)=0(提示:已知函数的二阶导数,利用该

(k∈Z),得x=+(k∈Z),当k=0时,x=,所以f(x)图

221212

信息判断一阶导数的取值情况,主要是判断其正负,但是由于导

5π

象关于直线x=对称,故B正确;函数形式较为复杂,所以可以利用卡根法确定其零点所在的区

12

1间),故x∈(0,a)∪(1,c)时,f′(x)<0,x∈(a,1)∪(c,+∞)时,

对于C,将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标

2f′(x)>0,所以函数f(x)在(0,a),(1,c)上单调递减,在(a,1),

不变,得函数y=sin4x-π的图象易错:在伸缩变换时,易错(c,+∞)上单调递增,故f(x)有四个单调区间,且存在最小值,最

(3)(

小值为min{f(a),f(c)},故A,B正确.

误得到y=sinx-π,从而误认为C错误,故C正确;对于C,D,由A,B分析知f(x)存在三个极值点a,1,c,因为

(3))

对于D,因为函数g(x)4x-π的最小正周期T=2ππf=-x+4lnx=-f′(x)关键:得到f′(x)的性质即

=sin=,区(,

(3)42

′′′

间[2025π,2026π]的长度为π,即2个周期,则由正弦型函数性f=-f(x)),又f(a)=-f(c)=0,所以a=,即ac=1,

质知函数g(x)在[2025π,2026π]上不单调,故D错误.故选BC.所以a,1,c成等比数列,故C错误,D正确.故选ABD.

10.ACD【深度解析】对于A,若m=1,则a-c=(-1,1),b=(1,1),

【深度解析】cos

则(a-c)·b=-1×1+1×1=0,所以(a-c)⊥b,故A正确.12.(α+=sin[(α++=

22

sin

对于B,若a∥b,则-4m=0,解得m=±,故B错误.(α+=.

m2

a·c2×3+4×37-15

故

对于C,a在c上的投影向量为2·c=22c=c,C13.【深度解析】设两铁球半径为r,球心分别为O,O.若

|c|3+3412

正确.要使半径最大,则两个铁球需与容器的表面相切,且两个铁球也

1

对于D,因为b-c=m-3,-3,相切.

(m)

解法一:将O1,O2分别看作一个新的长方体的体对角线的两个

12

所以|b-c|=(m-3)2+-3

(m)顶点,新长方体的底面是边长为2-2r的正方形,高为3-2r,

所以(2r)2=(2-2r)2+(2-2r)2+(3-2r)2,得8r2-28r+17=0,解得

121

=m+-6m++16,

(m)(m)2-2r0,

r=,又因为新长方体需要满足{即r<1,所以r=

3-2r0

11,

令t=m+,m≠0.当m>0时,由基本不等式有,t=m+≥

mm.所以铁球半径的最大值为.

11

2m·=2,当且仅当m=1时取等号;当m<0时,t=m+=解法二:如图,作出截面DBB1D1,B1D1,BD

mm

分别为正四棱柱上、下底面互相平行的对角

11

m+≤-2-m·=-2,当且仅当m=-1时取等号,则

-(--m)-m

线,BB1为高,过O2作垂直于BD的直线,过

O1作平行于BD的直线,两直线相交于M,

|b-c|=t2-6t+16=(t-3)2+7(t≥2或t≤-2),所以当t=3

=-

时,|b-c|有最小值7,故D正确.故选ACD.连接O1O2,在Rt△O1MO2中,MO122

2

11.ABD【深度解析】对于A,B,由题可得,函数f(x)的定义域为222

22r,MO2=3-2r,由MO1+MO2=O1O2,可得(22-22r)+

(0,+∞),f′(x)=x+4-4lnx-=x-4lnx-.令g(x)=x-7±15

(3-2r)2=(2r)2,整理得8r2-28r+17=0,解得r=,又因为

4

1x2-4x+1

22-22r>0,

4lnx-(x>0),则g′(x)=2,令g′(x)=0,解得x=2-37-15

xx即r<1,所以r=.所以铁球半径的最大值

{4

3-2r>0,

或x=2+3.当x∈(0,2-3)时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当x∈

7-15

为.

(2-3,2+3)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(2+3,+∞)

4

π

时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以函数f′(x)在(0,2-3),(2+14.1【深度解析】对于函数f(x)=x3x+φ,其单调性

(-3x+sin(2)

3,+∞)上单调递增,在(2-3,2+3)上单调递减.又f<

以及最值通过求导很难直接解出,所以需要考虑将其分解为两个

π

0,f′(1)=0,f′(e3)>0,所以存在a∈,2-3,c∈(2+3,易分析的函数,分别为g(x)=x3-3x和yx+φ,分别分析

)=sin(2)

D2

其单调性及最值的取得情况,再综合看整体的单调性及最值令当n=1时,3a-6S=3a-6a=1×2×3=6.

)2121

∵a1=1,∴3a2-6=6,解得a2=4,

32

g(x)=x-3x(x∈[-3,3]),则g′(x)=3x-3=3(x-1)(x+1),aaan+1a

21=1,也满足-n

此时-=1(易错:利用Sn-Sn-1=an将含

21

当x∈[-3,-1)∪(1,3]时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;当n+1n

a,Sa,aa,

x∈(-1,1)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.又g(-1)=-1+3=n+1n的关系式转化为含nn+1的关系式求n时要注意检验

3n=1的情况),…………………6分

2,g(3)=(3)-33=0,所以g(x)=x3-3x在x∈[-3,3]上

a

π∴数列an是以1

的最大值为2,所以∃φ∈R,当x∈[-3,3]时,使sinx+{}=1为首项,1为公差的等差数列,

(2n1

an

2

φ的最小值为-1,所以当x∈[-3,3]时,∃φ∈R,使得f(x)∴=1+(n-1)·1=n,即an=n.…………8分

)n

的最大值为1,故a≥1,因此a的最小值为1.(2)【证明】第一步:先将不等式放缩,再裂项

π1

15.(1)(6)(2)4+26(7)当n=1时,=1,……………9分

分分a

31

11111

第一步n≥2,=<=-…12分

【解】(1):利用正弦定理边角互化得tanA=3当时2,

annn(n-1)n-1n

由asinC=3ccosA,

第二步:利用裂项相消法求和,证明不等式

结合正弦定理得sinAsinC=3sinCcosA,…2分11111111

∴+++…+=1+2+2+…+2≤1+1-+

a1a2a3an23n(2)

又sinC>0,所以tanA=3,…………………4分

111111

-+...+-=1+1-=2-<2.………15分

第二步:求出角A(23)(n1n)nn

π

由于0<A<π,则A=.………6分

32314

317.(1)证明见解析(4分)(2)(i)(6分)(ii)(5分)

775

22

(2)第一步:由S△ABC=S△ABD+S△ADC得3bc=(b+c)

3(1)【证明】第一步:由线面垂直的性质证PA⊥BC

因为S△ABC=S△ABD+S△ADC,因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC.……1分

111第二步:利用线面垂直的判定定理证BC⊥平面PAC

所以bcsin∠BAC=c·AD·sin∠BAD+b·AD·sin∠CAD,

222又BC⊥AC,AC,PA⊂平面PAC,AC∩PA=A,………………2分

22所以BC⊥平面PAC.…………3分

即3bc=(b+c),①…………8分

3

第三步:利用面面垂直的判定定理证结论

第二步:利用余弦定理得到a2=(b+c)2-3bc

又BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.……………4分

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=b2+c2-bc=(b+c)2-

(2)【解】(i)第一步:建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标与

3bc=16②,……………………10分相关向量的坐标

第三步

:两个式子联立求出b+c的值在四边形ABCD中,因为AB∥DC,BC⊥

由①②联立得3(b+c)2-26(b+c)-48=0,

AC,BC=2,CD=3,AB=4,AD=3,所以

46

解得b+c=26或b+c=-(舍去).………12分AD⊥AB.

3

以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分

第四步:求出△ABC的周长

别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间

所以a+b+c=4+26,即△ABC的周长为4+26.…………13分直角坐标系,………5分

2

16.(1)an=n(8分)(2)证明见解析(7分)

因为BC⊥平面PAC,PC⊂平面PAC,所以BC⊥PC,所以△PBC

(1)【解】第一步:利用an与Sn的关系,得出an与an+1的关系式

与△PBA均为直角三角形,又P,A,B,C在同一球面上,球心为

∵3nan+1-6Sn=n(n+1)(n+2),①

O,所以O为PB的中点(提示:若棱锥的顶点可构成共斜边的直

∴当n≥2时,3(n-1)an-6Sn-1=(n-1)n(n+1),②

角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心),

①-②,得nan+1-(n+1)an=n(n+1),…………2分

易知B(4,0,0),C(3,3,0),P(0,0,4),D(0,3,0),O(2,0,2),

an+1an

两边同时除以n(n+1),得-=1(n≥