2026届安徽省“皖南八校”高三第二次大联考数学试卷+答案

2026届“皖南八校”高三第二次大联考

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟，

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

3.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，向量与

复数，数列，立体几何。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知复数z₁=a—i,zz=1+2i(i为虚数单位，a∈R),且是屯虚数，a的值为

ABC.2D.-2

2.已知集合A=(x|log₂z<1},B={x||z|<2},则A∩(CRB)=

A.{x|0<x<2}B.{x|0≤x≤2}

C.{x|-2<x<2}D.

3.已知函数f(x)=ln(x²—2x+2),下列函数中为偶函数的是

A.f(x)+1B.f(x)—1

C.f(x+1)D.f(x-1)

4.在等比数列{an}中24=4,则

ABCD

5.已知f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=x+sinx+1,则曲线y=f(x)在处的切线方

程是

A.x+y—π—2=0B.x+y—2=0

C.x—y+2=0D.x-y=0

6.已知函数f(x)=sin2x+acos2x的一个零点是,为了得到y=2cos2x的图象，需要将函数

y=f(x)的图象

A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度]

C.向右平移个单位长度D.向右平个单位长度

【“皖八”高三二联·数学第1页(共4页)W】

7.如图，正方形ABCD的边长为2,E为边BC的中点，F为边CD上一点，当AE·AF取得最大

值时，tan∠EAF=

A.1BC.D

8.设函数f(x)=(x—a)(x—b)(x—c),其中0<a<b<c,若对任意x∈R,f(x—1)·f(4—x)≤

0恒成立，则

A.a+c=2,B.a+c=3,

C.a+c=2,b=1D.a+c=3,b=1

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知正实数a,b满足等式log÷a=log÷b,则下列结论可能成立的是

A.1<b<aB.a<b<1

C.1<a<bD.b<a<1

10.在正四棱锥P—ABCD中，已知E,F分别为PB,PD的中点，点Q为AP上一动点，满足

PQ=λPA(a∈[0,1]),则下列说法正确的有

A.BD⊥平面PACB.当时，平面QEF//平面ABCD

C.不存在λ,使得AC⊥平面QEFD.当时，Q,E,F,C四点共面

11.已知锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足2sinC-sinA=√2sinB,2cosC+

cosA=√6cosB,且△ABC的面积为3+√3,则

A.B.sinC—cosC=sinA

C.b²=a²+4D.△ABC的周长为3√2+2√3+√6

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a=(3,—1),b=(2,1),则a在b方向上的投影向量的模为·

13.如图，在几何体ABC一A₁B₁C₁中，侧棱AA₁,BB₁,CC₁均垂直于底面ABC,已

知AB=BC=AC=BB₁=1,AA₁=3,CC₁=2,则该几何体的体积是

·Bif

14.已知等差数列{an}的公差为,若集合A={x|x=cosan,n∈N"}={x₁,x₂},则

X₁X2=

【“皖八”高三二联·数学第2页(共4页)W】

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤；

15.(13分)

已知函数f(x)=2sinxcosx+2√3cos²x—√3.

(1)求函数f(x)的对称轴方程；

(2)若,xo∈(一π,0),求的值.

16.(15分)

记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ab=bcosA+√3asinB,且a=2.

(1)求A;

(2)若点D在线段BC上，且满,求△ABC的面积.

17.(15分)

如图，四边形ABCD与ABEF为直角梯形，且平面ABCD⊥平面ABEF,其

中AB//CD//EF,CD=EF=1,AB=AD=AF=2,∠BAD=∠BAF=90°.

(1)求证：BC⊥AF;

(2)求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值；

(3)若空间中存在一点Q,满足DQ=λDF+μDB(λ,μ∈R),且直线AQ⊥平面BCE,求AQ

的长.

【“皖八”高三二联·数学第3页(共4页)W】

18:(17分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn;S₂=4S₁,对任意正整数n,均有a₂n=2an+i.

(1)求an和Sn;

(2)若数列{bn}满足b₁=1,且bna²=an-1bₙ-1·an+1(n≥2,n∈N),求数列{bn)的通项

公式；

(3)记数列的前n项和为Tn,证明：T,>In(n+1).

19.(17分)

巳知函数f(x)=e"“cosx-mx+1,g(x)=f(x)+mx(m∈R),其中函数f(x)的导函数为

f(x).

(1)当m=1时，求函数f(x)在[0,π]上的单调性；

(2)证明：当m>0时，g(x)在上存在极大值点xo,且tanxo=m;

(3)证明：Vm>0,,使得恒成立.

【“皖八”高三二联·数学第4页(共4页)W】

2026届“皖南八校”高三第二次大联考·数学

参考答案、解析及评分细则

1.C,因为为纯虚数，所以a-2=0且2a+1≠0,所以a=2.

故选C.

2.DA={x|log₂x<1}={x|0<x<2},B={x||x|<2}={x|-2<x<2},则CRB={x|x≤-2或x≥2},

A∩(CB)=Ø.故选D.

3.C因为x²—2x+2=(x-1)²+1≥1,故f(x)的定义域为R,f(x)+1=ln(x²-2x+2)+1,不是偶函数，故

A错误；f(x)-1=1n(x²—2x+2)-1,不是偶函数，故B错误；f(x+1)=In((x+1)²-2(x+1)+2)=

In(x²+1),为偶函数，故C正确；f(x-1)=In((x-1)²—2(x—1)+2)=In(x²—4x+5),不是偶函数，故

D错误.故选C.

4.A因为,a₄=4,所,所以q=2,an=2”⁻²,所

.故选A.

5.D因为f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=x+sinx+1,则当x>0时，f(x)=—f(一x)=x+sinx—1,

f'(x)=1+cosx.从而1,又,则曲线在处的切线方程是

.即x-y=0.故选D.

6.A依题意，得,得a=-√3,所以f(x)=sin2x-√3cos2x=

,需要将函数y=f(x)的图象向左平移

个单位长度.故选A.

7.C以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标

系如图所示，则A(0,0),E(2,1).设|DF|=x,则F(x,2),0≤x≤2,故AF=(x,2),

AE=(2,1).所以AE·AF=(2,1)·(x,2)=2x+2,当x=2时，AE·AF取得最大

故选C.

8.B令g(x)=-f(4—x)=—(4-x-a)(4-x—b)(4-x—c)=(x+a-4)(x+b—4)(x+c-4),因为

f(x)=(x—a)(x—b)(x—c)的零点为a,b,c,可知y=f(x-1)的零点为a+1,b+1,c+1,y=g(x)的零点

为4—a,4—b,4—c,又因为0<a<b<c,则1<a+1<b+1<c+1,4>4—a>4-b>4—c,若f(x—1)·f(4

一x)≤0,即f(x—1)·[-g(x)]≤0,则f(x—1)·g(x)≥0,可知y=f(x—1)的零点与y=g(x)的零点

相同，则可得2b=a+c=3,.故选B.

【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第1页(共6页)W】

9.CD由题意，设log÷a=log÷b=m,则,当m>0时，0<b<a<1,当m=0时，a=b=1,

当m<0时，1<a<b.故选CD.

10.ABD对A,如图，连接AC,BD交于点O,连接PO,因为在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，

所以AC⊥BD,又因为PB=PD,O为BD中点，所以PO⊥BD,又因为AC∩PO=0,AC,POC平面PAC,

所以BD⊥平面PAC,A正确；对B,连接QE,QF,EF,因为,所以QE//AB,QF//AD,又QE,QFC平

面QEF,AB,ADC平面ABCD,QE∩QF=Q,AB∩AD=A,所以平面QEF//平面

ABCD,B正确；对于C,因为PA=PC,O为AC中点，所以PO⊥AC,因为四边形

ABCD为正方形，所以AC⊥BD,又因为BD∩PO=0,BD,POC平面PBD,所以AC

⊥平面PBD,则AC⊥平面PEF,所以当λ=0,即点Q与P重合时，AC⊥平面QEF,

C错误；对D,设EF与PO的交点为H,当时，,QC=PC-PQ=PC

,则QC=4QH,所以Q,H,C共线，所以

Q,E,F,C四点共面，D正确.故选ABD.

11.BCD由得两式相加得4+4cos(C+

A)+1=2+4cos²B,得4cos²B+4cosB-3=0,得(2cosB-1)(2cosB+3)=0,得,或cosB=

(舍去),因为,所以,故A错误；则得

,得得

sinA=cosA,即tanA=1,因为,所以,得,则sinC—cosC=

,故B项正确；由锐角△ABC的面积为3+

√3,得·,得ac=4(√3+1),设△ABC的外接圆半径为R,则2RsinA·2RsinC=

4(√3+1),而,则4R²·

4(√3+1),得R=2,得,b=2Rsin,c=2RsinC=2×2×

,得b²—a²=(2√3)²-(2√2)²=4,故C项正确；△ABC的周长为a+b+c=2√2+2√3+

√6+√2=3√2+2√3+√6,故D正确.故选BCD.

【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第2页(共6页)W】

12.√5因为a=(3,-1),b=(2,1),a在b方向上的投影向量的模为

13.如图所示，构造一个底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为4的正三棱柱ABC—DEF,

其中，B₁E=4-1=3=AA₁,A₁D=4-3=1=BB₁,C₁F=4-2=2=CC₁,因此VABC-A₁B₁C₁=VA₁B₁C₁-DEF,即

,根据三棱柱体积公式×1×1×sin60°×4=√3,故该几何体的体积

是

14.,则,其周期为

,而n∈N*,即cosan最多3个不同取值，由题可知集合A={x|x=cosan,n∈N*}有且仅有两个元

素，A={x1,x2},则在cosan,cosan+1,cosan+2中，cosan=cosan+1≠cosan+2或cosan≠cosan+1=

cosan+2,或cosan=cosan+2≠cosan+1,又cosan=cosan+3,即cosan+3=cosan+2≠cosan+1,一定会有相邻

的两项相等，设这两项分别为cosθ,,于是有,即有,k∈Z,

解得,k∈Z,不相等的两项为,故

,…………3分

令,k∈Z,……………………4分

解得,k∈Z,

故函数f(x)的对称轴为直线,k∈Z.…………6分

(2)因为,即

且xo∈(一π,0),则

可得,则,……10分

则

所以.………………………13分

【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第3页(共6页)W】

16.解：(1)根据题意2b=bcosA+√3asinB,

则由正弦定理得，2sinB=cosAsinB+√3sinAsinB,2分

因为sinB≠0,所以2=cosA+√3sinA,3分

所以…………………………5分

由A∈(0,π),所以…………………7分

,则|AE|=|AF|=1.

又AD=AE+AF,则四边形AEDF为菱形，AD为∠BAC的角平分线.…………………8分

AD=√3,10分

,即bc=b+c,………………12分

由余弦定理可得：

即(b+c)²—3bc=(bc)²-3bc=4,解得bc=4,14分

所以.………………15分

17.解：(1)因为∠BAF=90°,所以AB⊥AF,

因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCDN平面ABEF=AB,AFC平面ABEF,

所以AF⊥平面ABCD2分

因为BCC平面ABCD,所以BC⊥AF.3分

(2)由(1)知AF⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以AF⊥AD,

因为∠BAD=∠BAF=90°,所以ABLAF,ABLAD,

以点A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，

因为AB//CD,AB//EF,CD=EF=1,AB=AD=AF=2,

所以A(0,0,0),D(2,0,0),F(0,0,2),C(2,1,0),E(0,1,2),B(0,2,0),

CE=(-2,0,2),CB=(-2,1,0),…………………5分

设平面BCE的一个法向量为m=(x,y,z),

则即令x=1,得m=(1,2,1),………………6分

同理易知平面ACF的一个法向量为n=(-1,2,0),7分

所以………………8分

所以平面ACF与平面BCE夹角的的正弦值为…………………9分

(3)设Q(a,b,c),由题可知DQ=λDF+μDB,

即(a-2,b,c)=λ(-2,0,2)+μ(-2,2,0)→a=2—2λ—2μ,b=2μ,c=2λ,11分

即Q(2-2λ-2μ,2μ,2λ),所以AQ=(2—2λ-2μ,2μ,2λ)12分

因为AQ⊥平面BCE,所以AQ是平面BCE的一个法向量，所以AQ//m,

,………………14分

…………15分

【“皖八”高三二联·数学试卷参考答案第4页(共6页)W】

18.解：(1)因为数列{an}为等差数列，不妨设an=xn+y(x,y∈R),

由a2n=2an+1可得2xn+y=2(xn+y)+1=2xn+2y+1,故y=2y+1,解得y=-1,

所以an=xn-1,·1分

S₂=4S₁,即a₂+a1=4a1,即a2=3a1,

所以2x-1=3(x-1),解得x=2,2分

故an=2n-1………4分

(2)方法一：由(1)得：an=2n-1,

∴当n≥2且n∈N时，

…………………6分

………………9分

当n=1时，b₁=1满足

综上所述(n∈N*).……………10分

方法二：由(1)得：an=2n-1,

∵b₁=1,an>0,bna²=bn-1an-1an+1(n≥2,n∈N*),

……………………6分

令,则数列{cn}为常数列，……………………7分

……………………9分

……………………10分

(3)由(1)知，,下面证明,…………11分

设f(x)=x—In(x+1),x>0,

,当x>0时，f'(x)>0,f(x)单调递增，

所以f(x)>f(0)=0,13分

所以,即,……………………15分

所以

所以T。>In(n+1).…………………………17分

19.解：(1)当m=1时，f(x)=e²cosx-x+1,f'(x)=eˣ(cosx-sinx)-1,

令h(x)=f'(x),则h'(x)=[(cosx-sinx)+(-sinx—cosx)]e=(-2sinx)e,·2分

当x∈[0,π]时，h'(x)≤0,

所以h(x)=f'(x)在[0,π]上单调递减.………