2024高考数学刷题首秧第八章概率与统计考点测试52古典概型文含解析

考点测试52古典概型

高考概览

高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度

考纲研读

1.理解古典概型及其概率计算公式

2.会计算一些随机事务所包含的基本领件数及事务发生的概率

第L步

，狂刷小题•基础练，

一、基础小题

1.某银行储蓄卡上的密码是一个6位数号码，每位上的数字可以在。〜9这10个数字

中选取.某人未记住密码的最终一位数字，假如随意按密码的最终一位数字，则正好按对密

码的概率是（）

A•不B•正0.正D-W

答案D

解析只考虑最终一位数字即可，从0到9这10个数字中随机选一个的概率为5.

2.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻找食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一

条路径，则它能获得食物的概率为（）

A-2B-3

八35

（—I）一

88

答案B

21

解析该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为

3.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40脑用随机模拟的方法估

计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0到9之间的整数值的随机数，假如我

们用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，顺次产生的随机数如下：

907966191925271932812458569683

631257393027556488730113137989

则这三天中恰有两天下雨的概率约为()

A"BaC刍D旦

20202020

答案B

解析由题意知这2c组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191,271,932,812,

7

631,393,137,共7组随机数，，所求概率为诟.

4.给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的依次是随意的，则第一个给甲打电话的概率

是()

11,12

63C，2D,3

答案B

解析给三人打电话的不同依次有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故

所求概率为「沁21

b3

5.小敏打开计算机时，遗忘了开机密码的前两位，只记得第一位是M/,N中的一个

字母，其次位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够胜利开机的概率是

()

8cl八1r1

AB—CI)

1581530

答案C

解析・・・0={(M1),(机2),(M3),(M4),也5),(A1),(7,2),(A3),

(1,4),(Z,5),(A；1),(A；2),(M3),(A；4),(M5)},工事务总数有15种.。正

确的开机密码只有1种，，片白.故选C.

10

6.某班打算到郊外野营，为此向商店订了帐篷，假如下雨与不下雨是等可能的，能否

准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是

()

A.肯定不会淋雨B.淋雨机会为W

C.淋雨机会为£D.淋雨机会为:

答案1)

解析用儿分别表示下雨和不下雨，用a,。表示帐篷运到和运不到，则全部可能情

形为（4a）,（A抗,（反a）,（8,b）,则当（人协发生时就会被雨淋到，，淋雨的概率为

P=\.故选D.

7.某汽车站每天上午均有3辆开往力景点的分上、中、下等级的客车.某天王先生打

算在该汽车站乘车去力景点，但他不知道客车的车况，也不知道发车依次.为了尽可能乘上

上等车，他实行如下策略：先放过第-辆，假如其次辆比第一辆好则上其次辆，否则上第三

辆，那么他乘上上等车的概率为（）

1112

A.~B.~C.-D.-

0040

答案C

解析共有6种发车依次：①上、中、T；②上、下、虫；③中、上、下；④中、下、

±;⑤下、生、±;⑥下、上、中（其中画线的表示王先生所乘的车），所以他乘上上等车的

31

概率林=予故选C.

04

8.一个正方体，它的表面涂满了红色，切割为27个同样大小的小正方体，从中任取一

个，它恰有一个面涂有红色的概率是______.

2

答案5

解析探讨涂红后的正方体的六个面，发觉每个面中仅最中间那块只有一个面涂有红色,

故所求概率为《=引

二、高考小题

9.（2024•全国卷U）从2名男同学和3名女同学中任选2人参与社区服务，则选中的

2人都是女同学的概率为（）

A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3

答案D

解析设2名男同学为4,4.3名女同学为台，昆，B、,从以上5名同学中任选2人总

共有44,46,力尼，4%46,46,4员,氏氏,B瓜氏£共10种可能，选中的2人都

是女同学的状况共有笈氏，笈氏，氏氏共三种可能，则选口的2人都是女同学的概率为々而

=0.3.故选D.

10.（2024•天津高考）有5支彩笔（除颜色外无差别：），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从

这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色调笔的概率为（）

答案c

解析从5支彩笔中任取2支不同颜色调笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、

黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色调笔的取法有

42

红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率片行=口故选C.

ioo

11.(2024•全国卷11)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后

再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的概率为()

11八32

ABI)-

1()5105

答案D

解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的基本领件总数为5X5=

102

25,第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的事务数为10,・••所求概率々空==.故选

zb□

D.

12.(2024•江苏高考)将一颗质地匀称的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,

6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.

答案I

解析先后抛掷2次骰子，全部可能出现的状况共36个，其中点数之和不小于10的有

(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个,从而点数之和小于10的有

30个，故所求概率々染=".

3bb

三、模拟小题

13.(2024•广东茂名第一次综合测试)在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，则

数字2是这三个不同数字的平均数的概率是()

AiBCD

4324

答案A

解析在1,2,3,6中随机取出三个数，全部的可能结果为(1,2,3),(1,2,6),

(1,3,6),(2,3,6),共4种,其中数字2是这三个不同数字的平均数的结果有(1,2,

3),共1种.由古典概型概率公式可得所求概率为人;.故选A.

14.(2024•山东济南二模)某商场实行有奖促销活动，抽奖规则如下：箱子中有编号为

1,2,3,4,5的五个形态、大小完全相同的小球，从中任取两球，若摸出的两球号超的乘

积为奇数则中奖；否则不中奖，则中奖的概率为()

答案c

解析由题得试验的全部基本领件有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,

4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个，摸出的两球号码的乘积为奇数的基本领

件有(1,3),(1,5),(3,5),共3个，由古典概型的概率公式得Q故选C.

15.(2024•石家庄重点中学摸底考试)一个二位数，个位、十位、百位上的数字依次为

x,y,z,当且仅当箝x,y>z时，称这样的数为“凸数”(如243),现从集合｛1,2,3,4)

中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为()

A-33C6D-

答案B

解析从集合｛1,2,3,4｝中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123,

124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,

342,412,413,421,423,431,432,其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,

O1

243,341,342,共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为何=『故选B.

16.(2024•山西孝义一模)从装有大小材质完全相同的3个红球和3个黑球的不透亮口

袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是()

A.7B.：C.D.4

3z□3

答案C

解析记3个红球分别为a,b,c,3个黑球分别为x,y,z,则随机取出两个小球共

有15种可能：ab,ac,ax,ay,az,be,bx,by,bz,ex,cyycz,xy,xz,yz,其中两

个小球同色共有6种可能，ab,ac,be,xy,xz,jz依据古典概型概率公式可得所求概率

堤=|,故选C.

17.(2024•江西南昌二模)在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示

阴爻，有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有丁=8种组合方法，这便是《系辞传》所

说：“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的

状况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的状况，有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不

同的状况即为八卦，在一次卜卦中，恰好出现两个阳爻一个阴爻的概率是()

答案C

解析由题意知，全部可能出现的状况有：（阳，阳，阴），（阳，阴，阳），（阴，阳，

阳），（阴，阴，阳），（阴，阳，阴），（阳，阴，阴），（阳，阳，阳），（阴，阴，阴），共8

种，恰好出现两个阳爻、一个阴爻的状况有3种，利用古典概型的概率计算公式，可得所求

概率好.故选C.

18.（2024•广东深圳一调）两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分

得3本书的概率为（）

1111

A.-B.TC.-D.-

24<5O

答案B

解析记三本不同的书为a,b,c,两人分书的基本结果用J,y）表示，有（0,abd）,

（a,be）,（瓦ac）,（c,a。），（abtc）,（ac,b）,（be,a）,（abe,0）,共8种状况,其中

一人没有分到书，另一人分得3本书有两种状况，所以一人没有分到书，另一人分得3本书

9I

的概率为鼻=7故选B.

o4

第2步

，精做大题•能力练,

一、高考大题

1.（2024•天津高考）己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,

160.现采纳分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参与献爱心活动.

（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

（2）设抽出的7名同学分别用力，B,C,D,E,F,G表示，现从中随机抽取2名同学担

当敬老院的卫生工作.

①试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；

②设必为事务”抽取的2名同学来自同一年级“，求事务也发生的概率.

解（1）由己知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2,由于采纳分

层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别拍取3

人，2人，2人.

（2）①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的全部可能结果为{力，{A,6）,{A,

4,{4⑥，{力，月，{A,仍，。，仍，认,出，分，出，力，出{r,0,{C,

昂，{C,{C,G},{〃0,{〃，fl,{〃，。，{E,丹，{£。，{A,G},共21种.

②由（1）,不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是4B,C,来自乙年级的是。E,

来自丙年级的是凡G,见从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的全部可

能结果为{1用，{4C},{B,{〃，力，{EG},共5种.所以事务"发生的概率P（助

5

=亓

2.(2024•山东高考)某旅游爱好者安排从3个亚洲国家4,Az,4和3个欧洲国家8,

氏，氏中选择2个国家去旅游.

(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括4但不包括%的概率.

解(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本领件有：

{Ai,A)}»{AitAj}，：4,As],(4,B\\,{Ai,B-),(4,合},{4,Bj,{4，氏},{4,

阂，U,闱，仇，外,{4,阂，仍，心,{以阂，{外,阂，共15个.

所选两个国家都是亚洲国家的事务所包含的基本领件有：U,4},{4,U,,

共3个.

3I

则所求事务的概率为片i=壬

105

(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本领件有：

{Ai»Bi},{Ai>B)»*./li,B.*},{/fe,B\]»{4,Bs\,[A2t氏}♦{4,B\],{4,笈}>{4,

阂，共9个.

包括4但不包括台的事务所包含的基本领件有：{4,反},{4,4},共2个，

2

则所求事务的概率为片日

y

3.(2024•山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参与活动的

儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的

数.设两次记录的数分别为人匕嘉奖规则如下：

指针

①若不W3,则嘉奖玩具一个；

②若孙28,则嘉奖水杯一个；

③其余状况嘉奖饮料一瓶.

假设转盘质地匀称，四个区域划分匀称.小亮打算参与此项活动.

(1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.

解用数对(人。表示儿童参与活动先后记录的数，则基本领件空间。与点集5={(人

y)yGN,l<yC4}——对应.

因为S中元素的个数是4X4=16,

所以基本领件总数〃=16.

⑴记“孙W3”为事务4,

则事务力包含的基本领件数共5个，BP(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).

所以004)=77,即小亮获得玩具的概率为

1010

(2)记“灯28”为事务B,“3＜孙＜8”为事务C,

则事务8包含的基本领件数共6个，

即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).

所以P[B)=Y^=g.

事务。包含的基本领件数共5个，

即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).

所以八。=*.

因为噎＞大，

o10

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

二、模拟大题

4.(2024•安徽合肥其次次教学质量检测)某班级甲、乙两个小组各有10位同学，在一

次期中考试中，两个小组同学的成果如下：

甲组：94,69,73,86,74,75,86,88,97,98：

乙组：75,92,82,80,95,81,83,91,79,82.

(1)画出这两个小组同学成果的茎叶图，推断哪一个小组同学的成果差异较大，并说明

理由；

(2)从这两个小组成果在90分以上的同学中，随机选取2人在全班介绍学习阅历，求选

出的2位同学不在同一个小组的概率.

解(1)茎叶图如图：

甲组乙组

96

435759

668820132

4789251

由茎叶图中数据分布可知，甲组数据分布比较分散，乙组数据分布相对集中，所以甲组

同学的成果差异较大.

(也可通过计算方差说明,晶=101.6,sl=37.4,晶〉受)

（2）设甲组成果在90分以上的三位同学为4,4,4；乙组成果在90分以上的三位同学

为笈，距笈.从这6位同学中选出2位同学，共有15个基本领件，列举如下:

(4，A>)>(4,A),(4,Bi)t(4,B),(AitBJ；

(4,4),(4,4),(4,A),(4,㈤；

(4,Bi),(4,吩»(4,B)；

⑶Q),出,民)；

（氏，A）.

其中，从这6位同学中选出的2位同学不在同一个/.、组的基本领件有9个，所以所求概

93

率—

155-

5.（2024•江西新余一中第七次模拟）某汽车美容公司为吸引顾客，推出实惠活动：对

首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费赐予相应实惠，标

准如下表：

消费次数第1次第2次第3次第4次5次及以上

收费比例10.950.900.850.80

该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表:

消费次数第1次第2次第3次第4次5次及以上

频数60