黑龙江省哈尔滨尚志中学2026届高二数学第一学期期末检测试题含解析

黑龙江省哈尔滨尚志中学2026届高二数学第一学期期末检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.2．复数的共轭复数的虚部为（）A. B.C. D.3．在正方体中，分别是线段的中点，则点到直线的距离是（）A. B.C. D.4．已知等差数列的前n项和为，且，，则为（）A. B.C. D.5．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（）A.1 B.2C. D.36．江西省重点中学协作体于2020年进行了一次校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）A.得分在之间的共有40人B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5C.这100名参赛者得分的中位数为65D.可求得7．如图在中，，，在内作射线与边交于点，则使得的概率是（）A. B.C. D.8．已知中，内角，，的对边分别为，，，，.若为直角三角形，则的面积为（）A. B.C.或 D.或9．已知双曲线，则双曲线M的渐近线方程是（）A. B.C. D.10．中，三边长之比为，则为（）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不存在这样的三角形11．已知数列{}满足，则（）A. B.C. D.12．过抛物线（）的焦点作斜率大于的直线交抛物线于，两点（在的上方），且与准线交于点，若，则A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在不等边△ABC(三边均不相等)中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有，则角C的大小为________14．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为.15．设正方形的边长是，在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是_____16．已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中为左焦点，P是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，则的最小值为_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）城南公园种植了4棵棕榈树，各棵棕榈树成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活棕榈树的株数，数学期望.（1）求p的值并写出的分布列；（2）若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率.18．（12分）已知椭圆：，的左右焦点，是双曲线的左右顶点，的离心率为，的离心率为，点在上，过点E和，分别作直线交椭圆于，和，点，如图.（1）求，的方程；（2）求证：直线和的斜率之积为定值；（3）求证：为定值.19．（12分）已知二次函数，.（1）若，求函数的最小值；（2）若，解关于x的不等式.20．（12分）已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数有两个不相等的零点，证明：21．（12分）中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（1）求角A；（2）若，角A的角平分线交于D，，求a22．（10分）已知空间内不重合的四点A，B，C，D的坐标分别为，，，，且（1）求k，t的值；（2）求点B到直线CD的距离

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】作出辅助线，找到异面直线与所成角，进而利用余弦定理及勾股定理求出各边长，最后利用余弦定理求出余弦值.【详解】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线与所成角为，由勾股定理得：，，∴故选：C2、B【解析】先根据复数除法与加法运算求解得，再求共轭复数及其虚部.【详解】解：，所以其共轭复数为，其虚部为故选：B3、A【解析】以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，然后，列出计算公式进行求解即可【详解】如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.因为，所以，所以，则点到直线的距离故选：A4、C【解析】直接由等差数列求和公式结合，求出，再由求和公式求出即可.【详解】由题意知：，解得，则.故选：C.5、D【解析】根据题目所给条件可得阿基米德三角形的面积，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即时，，即，故选：D6、C【解析】根据给定的频率分布直方图，结合直方图的性质，逐项计算，即可求解.【详解】由频率分布直方图，可得A中，得分在之间共有人，所以A正确；B中，从100名参赛者中随机选取1人，其得分在中的概率为，所以B正确；D中，由频率分布直方图的性质，可得，解得，所以D正确.C中，前2个小矩形面积之和为0.4，前3个小矩形面积之和为0.7，所以中位数在[60，70]，这100名参赛者得分的中位数为，所以C不正确；故选：C.7、C【解析】由题意可得，根据三角形中“大边对大角，小边对小角”的性质，将转化为求的概率，又因为，，从而可得的概率【详解】解：在中，，，所以，即，要使得，则，又因为，，则的概率是故选：C【点睛】本题考查几何概型及其计算方法的知识，属于基础题8、C【解析】由正弦定理化角为边后，由余弦定理求得，然后分类讨论：或求解【详解】由正弦定理，可化为：，即，所以，，所以，又为直角三角形，若，则，，，，若，则，，，故选：C9、C【解析】由双曲线的方程直接求出见解析即可.【详解】由双曲线，则其渐近线方程为：故选：C10、C【解析】利用余弦定理可求得最大角的余弦值小于零，由此可知最大角为钝角.【详解】设三边分别为，，，中的最大角为，，为钝角，为钝角三角形.故选：C.11、B【解析】先将通项公式化简然后用裂项相消法求解即可.【详解】因为，.故选：B12、A【解析】分别过作准线的垂线，垂足分别为，设，则，，故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由正弦定理可得,又,,,,,在三角形中,.考点：1正弦定理;2正弦的二倍角公式.14、6【解析】2r=2，r=1，S表=2rh+2r2=4+2=6.15、【解析】先求出正方形的面积，然后求出动点到点的距离所表示的平面区域的面积,最后根据几何概型计算公式求出概率.【详解】正方形的面积为，如下图所示：阴影部分的面积为:，在正方形内，阴影外面部分的面积为，则在该正方形区域内随机取一个点，则此点到点的距离大于的概率是.【点睛】本题考查了几何概型的计算公式，正确求出阴影部分的面积是解题的关键.16、##4.5【解析】设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，所以，从而有，最后利用均值不等式即可求解.【详解】解：设为右焦点，半焦距为，，由题意，，则，所以，即，故，当且仅当时取等，所以，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），分布列见解析；（2）.【解析】（1）根据二项分布知识即可求解；（2）将补种棕榈树的概率转化为成活的概率，结合概率加法公式即可求解.【小问1详解】由题意知，，又，所以，故未成活率为，由于所有可能的取值为0,1,2,3,4，所以，，，，，则的分布列为01234【小问2详解】记“需要补种棕榈树”为事件A，由（1）得，，所以需要补种棕榈树的概率为.18、（1）：；：（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）利用待定系数法，根据条件先求曲线的方程，再求曲线的方程；（2）首先设，表示直线和的斜率之积，即可求解定值；（3）首先表示直线与方程联立消，利用韦达定理表示弦长，以及利用直线和的斜率关系，表示弦长，并证明为定值.【小问1详解】由题设知，椭圆离心率为解得∴，∵椭圆的左右焦点，是双曲线的左右顶点，∴设双曲线：∴的离心率为解得.∴：：；【小问2详解】证明：∵点在上∴设则，∴.∴直线和的斜率之积为定值1；【小问3详解】证明：设直线和的斜率分别为，，则设，：与方程联立消得“*”则，是“*”的二根则则同理∴.19、（1）（2）当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为【解析】（1）带入，将化解为，再利用基本不等式求最值即可；（2）将不等式移项整理为，再对a分类讨论，比较两根的大小，即可求得解集.【小问1详解】当a=3时，函数可整理为，因为，所以利用基本不等式，当且仅当，即时，y取到最小值.所以，当时，函数的最小值为.【小问2详解】将不等式整理为，令，即，解得两根为与1，因为，当时，即时，此时的解集为；当时，即时，此时的解集为；当时，即时，此时的解集为.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.20、（1）单调递增区间是(4,+∞)，单调递减区间是(0,4)；（2）证明见解析.【解析】（1）求的导函数，结合定义域及导数的符号确定单调区间；（2）法一：讨论、时的零点情况，即可得，构造，利用导数研究在(0,2a)恒成立，结合单调性证明不等式；法二：设，由零点可得，进而应用分析法将结论转化为证明，综合换元法、导数证明结论即可.【小问1详解】函数的定义域为(0,+∞)，当a=2时，，则令得，x>4；令得，0<x<4；所以,单调递增区间是(4,+∞)；单调递减区间是(0,4).【小问2详解】法一：当a≤0时，>0在(0,+∞)上恒成立，故函数不可能有两个不相等的零点，当a>0时，函数在(2a,+∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减，因为函数有两个不相等的零点，则，不妨设，设，（0<x<2a），则，所以，由a>0知：在(0,2a)恒成立，所以在(0,2a)上单调递减，即>=0，所以，即，又，故，因为，所以，因为函数在(2a,+∞)上单调递增，所以，即法二：不妨设，由题意得，，得，即，要证，只需证，即证：，即，令，，则，所以在区间(1,+∞)单调递减，故<=0，即恒成立因此，所以.【点睛】关键点点睛：第二问，法一：应用极值点偏移方法构造，将问题转化为在(0,2a)恒成立，法二：根据零点可得，再由分析法将问题化为证明，构造函数，综合运用换元法、导数证明结论.21、（1）（2）【解析】（1）根据正弦定理统一三角函数化简即可求解；（2）