贵州省遵义市2026届高二数学第一学期期末调研模拟试题含解析

贵州省遵义市2026届高二数学第一学期期末调研模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．椭圆上的点P到直线x+2y-9=0的最短距离为（）A. B.C. D.2．一部影片在4个单位轮流放映，每个单位放映一场，不同的放映次序有（）A.种 B.4种C.种 D.种3．已知等比数列中，，，则首项（）A. B.C. D.04．函数，的值域为（）A. B.C. D.5．已知双曲线C1的一条渐近线方程为y=kx，离心率为e1，双曲线C2的一条渐近线方程为y=x，离心率为e2，且双曲线C1、C2在第一象限交于点(1，1)，则=（）A.|k| B.C.1 D.26．如图，在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积是（）A. B.C. D.7．复数的共轭复数的虚部为（）A. B.C. D.8．若方程表示双曲线，则（）A. B.C. D.9．我国古代铜钱蕴含了“外圆内方”“天地合一”的思想．现有一铜钱如图，其中圆的半径为r，正方形的边长为，若在圆内随即取点，取自阴影部分的概率是p，则圆周率的值为（）A. B.C. D.10．某公司有320名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，320，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取20人进行“学习强国”的问卷调查，若54号被抽到，则下面被抽到的是（）A.72号 B.150号C.256号 D.300号11．下列数列中成等差数列的是（）A. B.C. D.12．函数y＝ln（1﹣x）的图象大致为（）A. B.C D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．正四棱柱的高为底面边长的倍，则其体对角线与底面所成角的大小为_________.14．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为___________.15．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是______________16．抛物线的准线方程是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知双曲线（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围18．（12分）已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交直线于点，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知曲线上一点，动圆，且点在圆外，过点作圆的两条切线分别交曲线于点，.（i）求证：直线的斜率为定值；（ii）若直线与交于点，且时，求直线的方程.19．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，且，，点E为棱PC的动点.（1）当点E是棱PC的中点时，求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（2）若E为棱PC上任一点，满足，求二面角P-AB-E的余弦值.20．（12分）已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴且焦点在轴上，抛物线：，若抛物线的焦点在椭圆上，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）已知斜率存在且不为零的直线满足：与椭圆相交于不同两点、，与直线相交于点.若椭圆上一动点满足：，，且存在点，使得恒为定值，求的值.21．（12分）圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：（1）周长最小的圆的方程；（2）圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程22．（10分）如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，，，，N为PD的中点.（1）求证：平面PBC；（2）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】与已知直线平行，与椭圆相切的直线有二条，一条距离最短，一条距离最长，利用相切，求出直线的常数项，再计算平行线间的距离即可.【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为，则所以所以椭圆上点P到直线的最短距离为故选：A2、C【解析】根据题意得到一部影片在4个单位轮流放映，相当于四个单位进行全排列，即可得到答案.【详解】一部影片在4个单位轮流放映，相当于四个单位进行全排列，所以不同的放映次序有种，故选：C3、B【解析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式，列出方程组，即可求得，进而可求得答案.【详解】设等比数列公比为q，则，解得，所以.故选：B4、A【解析】利用基本不等式可得，进而可得，即求.【详解】∵，∴，当且仅当，即时取等号，∴，，∴.故选：A.5、C【解析】根据渐近线方程设出双曲线方程，再由过点，可知双曲线方程，从而可求离心率.【详解】由题，设双曲线的方程为，又因为其过，且可知，不妨设，代入，得，所以双曲线的方程为，所以，同理可得双曲线的方程为，所以可得，所以，当时，结论依然成立.故选：C6、A【解析】根据题意，将该几何体放置于正方体中截得，进而转化为求边长为2的正方体的外接球，再求解即可.【详解】解：因为在三棱锥中，，所以将三棱锥补形成正方体如图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为，外接球的半径为，所以外接球的表面积为，故选：.7、B【解析】先根据复数除法与加法运算求解得，再求共轭复数及其虚部.【详解】解：，所以其共轭复数为，其虚部为故选：B8、C【解析】根据曲线方程表示双曲线方程有，即可求参数范围.【详解】由题设，，可得.故选：C.9、B【解析】根据圆和正方形的面积公式结合几何概型概率公式求解即可.【详解】由可得故选：B10、B【解析】根据系统抽样分成20个小组，每组16人中抽一人，故抽到的序号相差16的整数倍，即可求解.【详解】∵用系统抽样的方法从320名员工中抽取一个容量为20的样本∴，即每隔16人抽取一人∵54号被抽到∴下面被抽到的是54+16×6=150号，而其他选项中的数字不满足与54相差16的整数倍，故答案为：B故选：B11、C【解析】利用等差数列定义，逐一验证各个选项即可判断作答.【详解】对于A，，A不是等差数列；对于B，，B不是等差数列；对于C，，C是等差数列；对于D，，D不是等差数列.故选：C12、C【解析】根据函数的定义域和特殊点，判断出正确选项.【详解】由，解得，也即函数的定义域为，由此排除A,B选项.当时，，由此排除D选项.所以正确的为C选项.故选：C【点睛】本小题主要考查函数图像识别，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】如图所示，其体对角线与底面所成角为，解三角形即得解.【详解】解：如图所示，设，所以.由题得平面,则其体对角线与底面所成角为,因为,所以.故答案为：14、【解析】先求点关于直线的对称点，连接,则直线即为所求.【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，又点，所以，直线的方程为：，由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程:.故答案为：.15、【解析】设左焦点为，连接，．则四边形是平行四边形，可得．设，由点M到直线l的距离不小于，即有，解得．再利用离心率计算公式即可得出范围【详解】设左焦点为，连接，．则四边形是平行四边形，故，所以，所以，设，则，故，从而，，，所以，即椭圆的离心率的取值范围是【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16、【解析】将抛物线方程化为标准形式，从而得到准线方程.【详解】抛物线方程可化为：抛物线准线方程为：故答案为【点睛】本题考查抛物线准线的求解，易错点是未将抛物线方程化为标准方程.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为；（2）.【解析】（1）根据双曲线方程确定，即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）先求（用表示），再根据解不等式得结果.【详解】（1）当时，双曲线方程化为，所以，，，所以焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为.（2）因为，所以，解得，所以实数的取值范围是【点睛】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.18、（1）（2）（i）答案见解析（ii）或【解析】（1）通过几何关系可知，且,由此可知点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，通过双曲线的定义即可求解；（2）（i）设点，，直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理及求出，即得到直线的斜率为定值；（ii）由（i）可知，由已知可得，联立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直线方程.【小问1详解】由题意可知,∵,且,∴根据双曲线的定义可知，点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，即，，，则点的轨迹方程为；【小问2详解】（i）设点，，直线的方程为，联立得，其中，且，，，∵曲线上一点，∴，由已知条件得直线和直线关于对称，则，即，整理得，，，，即，则或，当，直线方程为，此直线过定点，应舍去，故直线的斜率为定值.（ii）由（i）可知，由已知得，即，当时，，，即，，，解得或，但是当时，，故应舍去，当时，直线方程为，当时，，即，，，解得（舍去）或，当时，直线方程为,故直线的方程为或.19、（1）（2）【解析】（1）由题意可得两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，（2）设，表示出点的坐标，然后根据求出的值，从而可得点的坐标，然后利用空间向量求二面角【小问1详解】因为底面ABCD，平面，所以因为，所以两两垂直，所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，，点E为棱PC的动点，所以，所以,，设平面的法向量为，则，令，则设直线BE与平面PBD所成角为，则，所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为，【小问2详解】，因为E为棱PC上任一点，所以设，所以，因为，所以，解得，所以，设平面的法向量为，则，令，则，取平面的一个法向量为，设二面角P-AB-E的平面角为，由图可知为锐角，则，所以二面角P-AB-E余弦值为20、（1）（2）【解析】（1）先求得椭圆的，代入公式即可求得椭圆的方程；（2）以设而不求的方法得到两根和，再由条件，得到四边形为平行四边形，并以向量方式进行等价转化，再与恒为定值进行联系，即可求得的值.【小问1详解】由条件可设椭圆：，因为抛物线：的焦点为，所以，解得因为椭圆离心率为，所以，则，故椭圆的方程为【小问2详解】设直线：，，，把直线的方程代入椭圆的方程，可得，所以，因为，，所以四边形为平行四边形，得，即，得由在椭圆上可得，，即因为，又所以，所以将代入得，所以，即.【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。21、（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.【解析】（1）根据当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小进行求解即可；（2）根据垂径定理，通过解方程组求出圆心坐标，进而可以求出圆的方程.【详解】解：（1）当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝.故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10；（2）由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为，AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.由解得即圆心坐标是C(3，2)又r＝|AC|