2026届安徽省铜陵市铜都双语学校数学高二上期末质量跟踪监视试题含解析

2026届安徽省铜陵市铜都双语学校数学高二上期末质量跟踪监视试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．数列满足，，，则数列的前8项和为（）A.25 B.26C.27 D.282．在等差数列中，，则（）A.9 B.6C.3 D.13．若在1和16中间插入3个数，使这5个数成等比数列，则公比为（）A. B.2C. D.44．已知，为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，若，则P点的横坐标为（）A. B.C.4 D.95．已知椭圆的焦点分别为，，椭圆上一点P与焦点的距离等于6，则的面积为（）A.24 B.36C.48 D.606．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.7．直线的一个法向量为（）A. B.C. D.8．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有人分钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前人所得之和与后人所得之和相等，问各得多少钱?”，则第人得钱数为（）A.钱 B.钱C.钱 D.钱9．有7名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，取前3名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道7名同学成绩的（）A.平均数 B.众数C.中位数 D.方差10．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（）A. B.C. D.11．如图，在长方体中，，，则直线和夹角余弦值为（）A. B.C. D.12．已知是等差数列的前项和，，，则的最小值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．写出一个同时满足下列条件①②③的圆C的标准方程：__________①圆C的圆心在第一象限；②圆C与x轴相切；③圆C与圆外切14．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M，N两点（点M位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为___________.15．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.16．已知A，B为x，y正半轴上的动点，且，O为坐标原点，现以为边长在第一象限做正方形，则的最大值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图长方体中，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值.18．（12分）已知函数的图象在点处的切线与直线平行（是自然对数的底数）.（1）求的值；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：平面MND⊥平面PCD；（2）求点P到平面MND的距离20．（12分）设数列的前项和为，，且，，（1）若（i）求；（ii）求证数列成等差数列（2）若数列为递增数列，且，试求满足条件的所有正整数的值21．（12分）已知首项为1的等比数列，满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和22．（10分）已知，直线过且与交于两点，过点作直线的平行线交于点（1）求证：为定值，并求点的轨迹的方程；（2）设动直线与相切于点，且与直线交于点，在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据通项公式及求出，从而求出前8项和.【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，则数列的前8项和为.故选：C2、A【解析】直接由等差中项得到结果.详解】由得.故选：A.3、A【解析】根据等比数列的通项得：，从而可求出.【详解】解：成等比数列，∴根据等比数列的通项得：，，故选：A.4、B【解析】设，，根据向量的数量积得到，与椭圆方程联立，即可得到答案；【详解】设，，，与椭圆联立，解得：，故选：B5、A【解析】由题意可得出与、、的值，在根据椭圆定义得的值，即可得到是直角三角形，即可求出的面积.【详解】由题意知，.根据椭圆定义可知，是直角三角形，.故选：A.6、B【解析】由椭圆定义可得各边长，利用三角形相似，可得点坐标，再根据点在椭圆上，可得离心率.【详解】如图所示：因为为等腰三角形，且，又，所以，所以，过点作轴，垂足为，则，由，，得，因为点在椭圆上，所以，所以，即离心率，故选：B.7、B【解析】直线化为，求出直线的方向向量，因为法向量与方向向量垂直，逐项验证可得答案.【详解】直线的方向向量为，化为，直线的方向向量为，因为法向量与方向向量垂直，设法向量为，所以，由于，A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误；故选：B.8、A【解析】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为，根据已知条件可得出关于、的值，即可求得的值.【详解】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列，设数列、、、、公差为，则，解得，故.故选：A.9、C【解析】根据中位数的性质，结合题设按成绩排序7选3，即可知还需明确的成绩数据信息.【详解】由题设，7名同学参加百米竞赛，要取前3名参加决赛，则成绩从高到低排列，确定7名同学成绩的中位数，即第3名的成绩便可判断自己是否能进入决赛.故选：C.10、B【解析】不妨设点为第一象限的交点，结合椭圆与双曲线的定义得到，进而结合余弦定理得到，即，令然后结合三角函数即可求出结果.【详解】不妨设点为第一象限的交点，则由椭圆的定义可得，由双曲线的定义可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以当时，有最大值，最大值为，故选：B.【点睛】一、椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)二、双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)11、D【解析】如图建立空间直角坐标系，分别求出的坐标，由空间向量夹角公式即可求解.【详解】如图：以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以直线和夹角的余弦值为，故选：D.12、C【解析】根据，可得，再根据，得，从而可得出答案.【详解】解：因为，所以，又，所以，所以的最小值为.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、(答案不唯一，但圆心坐标需满足，)【解析】首先设圆的圆心和半径，根据条件得到关于的方程组，即可求解.【详解】设圆心坐标为，由①可知，半径为，由②③可知，整理可得，当时，，，所以其中一个同时满足条件①②③的圆的标准方程是.故答案为：(答案不唯一，但圆心坐标需满足，)14、##【解析】设，，，利用双曲线的定义可得，作出图形，结合图形分析，可知与直线的倾斜角相等，利用直角三角形中的边角关系，即求.【详解】设的内切圆为圆，与三边的切点分别为，如图所示，设，，，设的内切圆为圆，由双曲线的定义可得，得，由此可知，在中，轴于点，同理可得轴于点，所以轴，过圆心作的垂线，垂足为，因为，所以，∴，即∴，即故答案为：.【点睛】关键点点睛，得到是关键，说明轴，同时直线的倾斜角与大小相等，计算即得.15、【解析】利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.【详解】∵∴∴∴.故答案为：.16、32【解析】建立平面直角坐标系，设出角度和边长，表达出点坐标，进而表达出，利用三角函数换元，求出最大值.【详解】如图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，设，（），则由三角形全等可知，设，，则，则，，则，令，，则，当时，取得最大值，最大值为32故答案为：32三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）见解析（3）【解析】（1）作辅助线，由中位线定理证明，再由线面平行的判定定理证明即可；（2）连接，由勾股定理证明，，再结合线面垂直的判定定理证明即可；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角的余弦值即可.【详解】（1）连接交与点，连接四边形为正方形，点为的中点又点为的中点，平面，平面平面（2）连接由勾股定理可知，，则同理可证，平面平面（3）建立如下图所示的空间直角坐标系显然平面的法向量即为平面的法向量，不妨设为由（2）可知平面，即平面的法向量为又二面角是钝角二面角的余弦值为【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是利用中位线定理找到线线平行，再由定义证明线面平行；在第二问中，关键是利用勾股定理证明线线垂直，从而得出线面垂直；在第三问中，关键是建立坐标系，利用向量法求面面角的余弦值.18、（1）（2）【解析】（1）求出函数的导函数，根据题意结合导数的几何意义列出方程，解之即可得解；（2）在上恒成立，即在上恒成立，从而，令，利用导数求出函数的最小值，即可求得实数的取值范围【小问1详解】解：，因为函数的图象在点处的切线与直线平行，所以，解得；【小问2详解】解：在上恒成立，即在上恒成立，，，令，则，当时，；当时，，函数在上单调递减，有上单调递增，，，即实数的取值范围是19、（1）见解析；（2）【解析】（1）作出如图所示空间直角坐标系，根据题中数据可得、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法算出平面、平面的法向量分别为，，和，1，，算出，可得，从而得出平面平面；（2）由（1）中求出的平面法向量，，与向量，2，，利用点到平面的距离公式加以计算即可得到点到平面的距离【详解】（1）证明：平面，，、、两两互相垂直，如图所示，分别以、、所在直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，，2，设，，是平面的一个法向量，可得，取，得，，，，是平面的一个法向量，同理可得，1，是平面的一个法向量，，，即平面的法向量与平面的法向量互相垂直，可得平面平面；（2）解：由（1）得，，是平面的一个法向量，，2，，得，点到平面的距离20、（1）；详见解析；（2）5.【解析】（1）由题可得，由条件可依次求各项，即得；猜想，用数学归纳法证明即得；（2）设，由题可得，进而可得，结合条件即求.【小问1详解】（i）∵，且，，，∴，，，∴，，，又，，，∴，∴，解得，，解得，，解得，，解得，∴；（ii）由，，，，猜想数列是首项，公差为的等差数列，，用数学归纳法证明：当时，，成立；假设时，等式成立，即，则时，，∴，∴当时，等式也成立，∴，∴数列是首项，公差为的等差数列.【小问2详解】设，由，，即，∴，又，，，∴，，，，，，∴，，，∴，又数列为递增数列，∴，解得，由，∴，解得.【点睛】关键点点睛：第一问的关键是由条件猜想，然后数学归纳法证明，第二问求出，，即得.21、（1）（2）【解析】（1）根据已知条件求得数列的公比，由此求得.（2）利用错位相减求和法求得.【小问1详解】设等比数列的公比为，由，可得.故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以【小问2详解】