广西柳州市柳江中学2026届数学高二上期末质量检测试题含解析

广西柳州市柳江中学2026届数学高二上期末质量检测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知圆柱的底面半径是1，高是2，那么该圆柱的侧面积是（）A.2 B.C. D.2．某海关缉私艇在执行巡逻任务时，发现其所在位置正西方向20nmile处有一走私船只，正以30nmile/h的速度向北偏东30°的方向逃窜，若缉私艇突然发生机械故障，20min后才以的速度开始追赶，则在走私船只不改变航向和速度的情况下，缉私艇追上走私船只的最短时间为（）A.1h B.C. D.3．若球的半径为，一个截面圆的面积是，则球心到截面圆心的距离是（）A. B.C. D.4．在等差数列中，若，则（）A.6 B.9C.11 D.245．等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．如图，在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积是（）A. B.C. D.7．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）A.必要条件 B.充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要8．在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为（）A.1 B.C.－1 D.-29．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是A.B.平面平面C.的最大值为D.的最小值为10．球O为三棱锥的外接球，和都是边长为的正三角形，平面PBC平面ABC，则球的表面积为（）A. B.C. D.11．中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则.例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至.已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺12．直线的倾斜角，则其斜率的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设椭圆标准方程为，则该椭圆的离心率为______14．已知双曲线的渐近线方程为，，分别为C的左，右焦点，若动点P在C的右支上，则的最小值是______15．已知直线与直线平行，则实数m的值为______16．已知，，，若，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C与椭圆有相同的焦点，且离心率为.（1）椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的两个焦点，P是椭圆上的点，且，求的面积.18．（12分）已知：（常数）；：代数式有意义（1）若，求使“”为真命题的实数的取值范围；（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围19．（12分）如图，点是曲线上的动点(点在轴左侧)，以点为顶点作等腰梯形，使点在此曲线上，点在轴上.设，等腰梯的面积为.（1）写出函数的解析式，并求出函数的定义域；（2）当为何值时，等腰梯形的面积最大？求出最大面积.20．（12分）已知直线l的斜率为-2，且与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积等于1．圆C的圆心在第四象限，直线l经过圆心，圆C被x轴截得的弦长为4．若直线x－2y－1＝0与圆C相切，求圆C的方程21．（12分）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求B；（2）若，且是锐角三角形，求c的值22．（10分）在平面直角坐标系中，点，直线轴，垂足为H，，圆N过点O，与l的公共点的轨迹为（1）求的方程；（2）过M的直线与交于A，B两点，若，求

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由圆柱的侧面积公式直接可得.【详解】故选：D2、A【解析】设小时后，相遇地点为，在三角形中根据题目条件得出，再在三角形中，由勾股定理即可求出.【详解】以缉私艇为原点，建立如下图所示的直角坐标系.图中走私船所在位置为，设缉私艇追上走私船的最短时间为，相遇地点为.则，走私船以的速度向北偏东30°的方向逃窜，60°.因为20min后缉私艇才以的速度开始追赶走私船，所以20min走私船行走了，到达.在三角形中，由余弦定理知：，则，所以.在三角形中，，，有：，化简得：，则.缉私艇追上走私船只的最短时间为1h.故选：A.点睛】3、C【解析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离【详解】由截面圆的面积为可知，截面圆的半径为，则球心到截面圆心的距离为故选：C【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面4、B【解析】根据等差数列的通项公式的基本量运算求解【详解】设的公差为d，因为，所以，又，所以故选：B5、B【解析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案【详解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件故选：B【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程6、A【解析】根据题意，将该几何体放置于正方体中截得，进而转化为求边长为2的正方体的外接球，再求解即可.【详解】解：因为在三棱锥中，，所以将三棱锥补形成正方体如图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为，外接球的半径为，所以外接球的表面积为，故选：.7、B【解析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件故选：B8、C【解析】以为建立平面直角坐标系，设，把向量的数量积用坐标表示后可得最小值【详解】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，，，，，∴，∴当时，取得最小值故选：C【点睛】本题考查向量的数量积，解题方法是建立平面直角坐标系，把向量的数量积转化为坐标表示9、C【解析】∵，，∴面，面，∴，A正确；∵平面即为平面，平面即为平面，且平面，∴平面平面，∴平面平面，∴B正确；当时，为钝角，∴C错；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，在中，，利用余弦定理解三角形得，即，∴D正确，故选C考点：立体几何中的动态问题【思路点睛】立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：

求空间角、距离，归到三角形中求解；2．对于球的内接外切问题，作适当的截面，既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系；求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离10、B【解析】取中点为T，以及的外心为，的外心为，依据平面平面可知为正方形，然后计算外接球半径，最后根据球表面积公式计算.【详解】设中点为T，的外心为，的外心为，如图由和均为边长为的正三角形则和的外接圆半径为，又因为平面PBC平面ABC，所以平面，可知且，过分别作平面、平面的垂线相交于点即为三棱锥的外接球的球心，且四边形是边长为的正方形，所以外接球半径，则球的表面积为，故选：B11、B【解析】根据等差数列定义求得公差，再求解立夏的晷影长在数列中所对应的项即可【详解】设从冬至到夏至的十三个节气依次为等差数列的前13项，则所以公差为，则立夏的晷影长应为(尺)故选：B12、B【解析】根据倾斜角和斜率的关系，确定正确选项.【详解】直线的倾斜角为，则斜率为，在上为增函数.由于直线的倾斜角，所以其斜率的取值范围为，即.故选：B【点睛】本小题主要考查倾斜角和斜率的关系，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】求出、的值，即可求得椭圆的离心率.【详解】在椭圆中，，，则，因此，该椭圆的离心率为.故答案为：.14、【解析】首先根据双曲线的渐近线方程和焦点坐标，求出双曲线的标准方程；设，根据双曲线的定义可知，从而利用基本不等式即可求出的最小值.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，焦点坐标为，，所以，即，所以双曲线方程为.设，则，且，，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.故答案为：.15、【解析】由两直线平行的判定可得求解即可，注意验证是否出现直线重合的情况.【详解】由题设，，解得，经检验满足题设.故答案为：16、【解析】根据题意，由向量坐标表示，列出方程，求出，，即可得出结果.【详解】因为，，，若，则，解得，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查由向量坐标表示求参数，属于基础题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由题意求出即可求解；（2）由椭圆的定义和三角形面积公式求解即可【小问1详解】因为椭圆C与椭圆有相同的焦点，所以椭圆C的焦点，，，又，所以，，所以椭圆C的标准方程为.【小问2详解】由，，得，，而，所以，所以18、（1）；（2）.【解析】（1）若，分别求出，成立的等价条件，利用为真，求实数的取值范围；（2）利用是的充分不必要条件，建立不等式关系即可求实数的取值范围【详解】：等价于：即；：代数式有意义等价于：，即，（1）时，即为，若“”为真命题，则，得：故时，使“”为真命题的实数的取值范围是，，（2）记集合，，若是成立的充分不必要条件，则是的真子集，因此：，，故实数的取值范围是19、（1）；（2）当时取到最大值，【解析】（1）设点，则根据题意得，，故；（2）令，研究函数的单调性，进而得的最值，进而得的最大值.【详解】解：（1）根据题意，设点，由是曲线上的动点得：，由于椭圆与轴交点为，故，所以即：（2）结合（1），对两边平方得：，令，则，所以当时，，当时，，所以在区间单调递增，在上单调递减，所以在处取到最大值，，所以当时，取到最大值，.【点睛】本题考查利用导数研究实际问题，考查数学应用能力与计算能力，是中档题.20、【解析】先根据题意设直线方程，由条件求出直线的方程，再根据条件列出等量关系，求出圆心和半径，进而求得答案.【详解】解：设直线l的方程为y＝－2x＋b（b＞0），它与两坐标轴的正半轴的交点依次为，，因为直线l与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积等于1，所以，解得b＝2，所以直线l的方程是，即由题意，可设圆C的圆心为，半径为r，又因为圆C被x轴截得的弦长等于4，所以①，由于直线与圆相切，所以圆心C到直线的距离②，所以①②联立得：，解得：或，又圆心在第四象限，所以，则圆心，，所以圆C方程是.21、（1）或（2）【解析】（1）利用正弦定理边化角，然后可解；（2）利用余弦定理求出c，然后检验可得.【小问1详解】，即或【小问2详解】因为是锐角三角形，所以因为所以由余弦定理得：即，解得或若，则，所以，不满足题意；若，因为，