一道课本例题的演变与联想

PAGE一道课本例题的演变与联想数学课本中有不少例题，习题具有典型性、示范性、迁移性和再生性等特点，若以这些题为原型加以演变和联想，不仅可以得到一些“源于教材，高于教材”的好题，而且有助于培养学生的探究创新能力，将是实现减负增效的得力措施.下面推荐人教版几何第二册例题，谈谈课本例题的演变和联想.1原题回放例1如图1，是一块锐角三角形余料.边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？图1解设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上,顶点P、N分别在AB、AC上.的高AD与边PN相交于点K，设正方形的边长为x毫米.图1∵PN∥BC,∴∽.∴(相似三角形对应高之比等于相似比)∴，解得x=48（毫米）2原题演变演变1内接正方形变为固定内接矩形图2例2如图2，已知△ABC中，BC=120，BC上的高AD=80，四边形PQMN为△ABC的内接矩形，且PQ59，求S矩形PQMN。图2解设PQ=5x,QM=9x.则AK=80—5x,PN=QM=9x.∵PN∥BC,∴∽.∴，∴解得x=4.∴S矩形PQMN=PQ×QM=20×36=720（平方单位）.点评利用相似三角形的对应高之比等于相似比是解决例1和例2的关键.演变2内接正方形变为动态内接矩形例3如图2，已知△ABC中，BC=120，BC上的高AD=80，四边形PQMN为△ABC的内接矩形，求矩形PQMN的最大面积.解设.同上可知：，即∴当x=40时，矩形PQMN有最大面积2400（平方单位）.点评本题将相似三角形的性质和二次函数有机结合，形的最值问题转化成数的最值问题，体现了数学建模的思想.演变3内接正方形变为动态正方形例4（2008年湖北省孝感市）锐角中，，，两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为.图3图4图3图4图5（1）中边上高；（2）当时，恰好落在边上（如图3）；（3）当在外部时（如图4），求关于的函数关系式（注明的取值范围），并求出为何值时最大，最大值是多少？解（1）；（2）；（3）设分别交于，则四边形为矩形．如图5.设，交于，则，．，∴．∴，即，∴．∴，配方得：．∴当时，有最大值，最大值是6.点评虽然正方形在运动，但其问题的本质仍然是相似三角形的性质与二次函数的有机结合，运动中也有“静止不变”的一面.演变4动态正方形变为动态平行四边形例5（2005年湖北省宜昌市）已知△ABC的高AE=5，BC=，∠ABC＝45°，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K．（1）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；图6图7（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF图6图7解(1)如图6，∵点G与点E关于点F对称，∴GF=FE.∵HI∥BC，∴∠GIF=∠EJF，又∵∠GFI=∠EFJ，∴△GFI≌△EFJ，∴GI=JE.同理可得HG=EK，∴HI=JK,∴四边形HIKJ是平行四边形.（2）当F是AE的中点时，A、G重合，所以AF=2.5.∵AE过平行四边形HIJK的中心F,∴HG=EK,GI=JE.∴.∵CE＞BE,∴GI＞HG,∴CK＞BJ.∴当点F在AE上运动时,点K、J随之在BC上运动,当点F的位置使得B、J重合时，这时点K仍为CE上的某一点（不与C、E重合），而且点H、I也分别在AB、AC上.设EF＝x，∵∠AHG＝∠ABC＝45°，AE＝5，∴BE＝5＝GI，AG＝HG＝5—2x,CE＝—5.如图7.∵△AGI∽△AEC，∴AG∶AE＝GI∶CE，∴(5—2x)∶5＝5∶(—5)∴x＝1，∴AF＝5—x＝4，∴＜AF≤4.点评运动的正方形变成运动的平行四边形，线段AF的变化在无法用函数来描述的情况下，采取探究变化的极端情况来分析，正好两个极端位置所对应的线段长度是明显的最值.演变5动态平行四边形变为动态等腰直角三角形例6△ABC的高AD=3，BC=4，直线EF∥BC,交线段AB于E，交线段AC于F，交AD于G，以EF为斜边作等腰直角三角形PEF（点P与点A在直线EF的异侧），设EF为x，△PEF与四边形BEFC重合部分的面积为y.（1）求线段AG（用x表示）；（2）求y与x的函数关系式，并求x的取值范围.图8图8图9解（1）∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴,∴,∴AG=.（2）(i)如图8，当点P在四边形BCEF的内部或BC边上时，过点P作PH⊥EF于H.∵△PEF为等腰直角三角形，∴PH=，∴y=×EF×PH=.∵PH≤DG，∴≤，即0＜x≤.(ii)如图9，当点P在四边形BCFE的外部时，过点P作PH⊥EF于H，交MN于K，同理可得PH=.∵EF∥BC，∴,∴四边形HGDK为矩形，∴HK=DG=3—.∴PK=—（3—）=.∵EF∥BC，∴△PMN∽△PEF,∴,∴△PMN为等腰直角三角形.∴===.∴.∵PH＞DG,∴＞3—,即x＞,∴.演变6动态等腰直角三角形变为动态一般三角形（折叠变换+平移）例7（2009年广东省清远市）如图10，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为．图10图10MNCBEFAA1图11（1）请你用含的代数式表示．（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？解（1），，.（2），的边上的高为.(i)当点落在四边形内或边上时，=（0）(ii)当落在四边形外时，如图11，设的边上的高为，则，.,∴..∴综上：（1）当时，，取，；（2）当时，，取，.，∴当时，最大，.图12点评虽然运动变化的形式发生改变，但问题的本质仍然是围绕相似三角形的性质和二次函数来展开，充分体现数形结合的思想，以形论数，以数析形.图123原题联想联想1探究内接平行四边形面积的最大值例8如图12，平行四边形PQRS的一边SR在△ABC的边BC上，另两个顶点P、Q分别在AB、AC上.探究平行四边形PQRS的面积的最大值.解过A作AD⊥BC，垂足为D，交PQ于点E.设.由PQ∥BC,得△APQ∽△ABC.∴,即.又由面积可得.根据韦达定理，可把、看成关于x的一元二次方程的两个根，则有判别式△≥0，得,即平行四边形的面积不大于原三角形面积的一半.联想2探究等比数列的求和例9如图13，在中，直角边，，作的内接正方形（记作正方形），然后沿C→A方向作的内接正方形（记为正方形），作的内接正方形（记为正方形）,依次无穷地截下去……分步研究4个问题如下：（1）用a、b表示正方形、、的边长、、；（2）猜想第n个正方形的边长；（3）估计当n趋近于无穷大时的结果；（4）尝试研究无穷多个正方形的边长的总和S.解的求法:E1D1∥AC.的求法:考虑“截取”方式相同，我们只需将“看作”，也就是把、分别“看作”起始状态中的a、b，即用同样的方式列出的方程：图13，图13将代入即得：，同样整理、、得：、、.由此猜测：.显然，＜1，当n越来越大时，将迅速变得小起来,当n足够大时，的值将趋近于0,这时=0.最后，我们来看看这n个正方形边长的总和S.=+++…+.这是一个无穷等比数列的求和问题.当n无穷大时，将变得越来越