2025-2026学年广东广州实验外语学校高一（上）期中数学试题含答案

高中2025学年第一学期期中联考试卷高一数学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；共150分，考试时间120分钟；2、答卷发放后，考生务必将自己的姓名、考号、学校、班别、试室号、座位号等按要求填涂在答卷对应位置上，并认真核对．答卷的填写部分用黑色字迹的钢笔或签字笔；3、考试结束时，将答卷交回监考老师，试卷和草稿纸自己保管．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知命题：，，则命题的否定为（）A.， B.，C.， D.，3.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A，B.，C.，D.，4.若在上是单调函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是（）A B. C. D.6.已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（

）A B.C. D.7.关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（）A.B.不等式的解集为C.D.不等式的解集为8.已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分．9.对任意实数，下列命题中正确的是（）A.“”是“”的必要条件 B.“是无理数”是“是无理数”的充要条件C.“”是“”的充要条件 D.“”是“”的充分条件10.已知，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.当时，的最小值为0B.若存在最小值，则的取值范围为C.若是减函数，则的取值范围为D.若存在零点，则的取值范围为第Ⅱ卷（客观题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12已知集合，则________．13.已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为________.14.定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.计算：（1）（2）.16.已知集合是函数的定义域，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．17.已知函数的图象经过点（1）求函数的解析式，并求的值；（2）用定义证明函数在区间上单调递减．18.在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润.19.已知函数的图象过点，且满足.（1）求函数的解析式；（2）设函数在上最小值为，求；（3）若满足，则称为函数的不动点.函数有两个不相等的不动点，且，①求实数的取值范围；②求的最小值.

2025学年第一学期期中联考试卷高一数学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；共150分，考试时间120分钟；2、答卷发放后，考生务必将自己的姓名、考号、学校、班别、试室号、座位号等按要求填涂在答卷对应位置上，并认真核对．答卷的填写部分用黑色字迹的钢笔或签字笔；3、考试结束时，将答卷交回监考老师，试卷和草稿纸自己保管．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合交集的概念与运算，准确运算，即可求解.【详解】由集合，根据集合交集的概念与运算，可得.故选：B.2.已知命题：，，则命题的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定即可得到答案.【详解】根据全称命题的否定得到命题的否定为，.故选：C.3.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】由两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断各选项的正误.【详解】A：的定义域为，的定义域为，则A错误；B：的定义域为的定义域为，则B错误；C：和的定义域均为，且，则C正确；D：的定义域为的定义域为，则D错误.故选：C4.若在上是单调函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意可知二次函数的对称轴和开口方向，结合单调性列式求解即可.【详解】因为函数的图象开口向下，对称轴为，若在上是单调函数，则或，解得或，所以的取值范围是.故选：D.5.已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用幂函数的概念求得，再利用幂函数的定义域与单调性即可解得不等式.【详解】因为为幂函数，所以，则，故的定义域为，且在定义域上为增函数，所以由，可得，解得，故a的取值范围为.故选：B.6.已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题中条件，分别讨论，两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果.【详解】若，则等价于，因偶函数，故，又在上单调递减，则由可得；若，则等价于，由题意，在上单调递增，则由可得；综上，的解集为.故选：A.7.关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（）A.B.不等式的解集为C.D.不等式的解集为【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解集和韦达定理，可得，且，，然后代入选项，即可判断选项正误.【详解】由题知，，且，，即得，故A错；由可得，所以，解得或，故B错；对于C，，故C错；由可得，即，所以，故D正确.故选：D8.已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先解关于的一元二次方程,得到两个实根,由题意和共有3个实根,数形结合,可得的取值范围【详解】作出函数的大致图象如图所示．由可得．由图可知，方程有两个不等的实根，由题意可知，方程有且只有一个实根，故或，解得或．故选:二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分．9.对任意实数，下列命题中正确的是（）A.“”是“”的必要条件 B.“是无理数”是“是无理数”的充要条件C.“”是“”的充要条件 D.“”是“”的充分条件【答案】AB【解析】【分析】利用充分与必要条件的定义，判定各选项中的充分性与必要性是否成立，从而选出正确答案．【详解】A中，∵a＜3时，得出a＜5，∴a＜5是a＜3的必要条件；∴A是正确的；B中，是无理数，得出是无理数，充分性成立；是无理数，得出是无理数，必要性成立；∴B是正确的；C中，由，得出，充分性成立；由，不能得出，例如：c＝0时，2×0＝3×0，2≠3，∴必要性不成立；∴C是不正确的；；D中，∵a＞b不能得出，例如：得，∴充分条件不成立；D不正确.故选：AB．【点睛】关键点睛：解题的关键是判定充分性与必要性是否成立.10.已知，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BC【解析】【分析】由列举法可判断A项错误；由不等式性质可判断BC正确；由作差法可判断D项错误.【详解】对于A，若，令，，则，，，故A错误；对于B，显然，则，则，故B正确；对于C，因为，所以，所以，同理可得，即，故C正确；对于D，，因为，所以，，，故，即，故D错误．故选：BC11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.当时，的最小值为0B.若存在最小值，则的取值范围为C.若是减函数，则的取值范围为D.若存在零点，则的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】A选项画出草图即可；B选项算出左右两侧函数的最值比大小即可；C选项判断左右两侧函数的增减性即可，D选项分四种情况讨论即可解答.【详解】对于A选项：当时，的图像如下：故此时，.故A选项不对.对于B选项：当时，当时，单减，此时，当时，单调增，故，因为；所以；所以；即；当时，的最小值为：.故B选项正确.对于C选项：当时，时，单减，此时的斜率为负，故此当时，单减，故C选项正确.对于D选项：此时要对分类讨论；分类讨论一：当时，一定有零点；分类讨论二：当时，由A选项可知此时无零点；分类讨论三：当时，当时，此时左区段无零点；当时，函数右区段表达式为，此时直线单减，故才会有零点；解不等式.与取交集有：；分类讨论四：当时，由B选项的讨论过程可知：此时函数图像左区段单减，左区段单增；因为不在左区段的定义域内，故区段上无零点；要使存在零点，则零点必在右区段上；即右区段的最小值必然小于等零，即即或上式再与取交集有：综上所述：若存在零点，则的取值范围为.故D选项正确.故选：BCD第Ⅱ卷（客观题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，则________．【答案】【解析】【分析】解分式不等式可得集合A，后由补集定义可得答案.【详解】由题可知或，则．13.已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为________.【答案】4【解析】【分析】由题设将所求化为，再结合基本不等式即可求解.【详解】由题a，b为正实数，且满足，则，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为4.故答案为：414.定义，若函数，则的最大值为______；若在区间上的值域为，则的最大值为______．【答案】①.3②.【解析】【分析】根据已知得，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值.【详解】当时，解得或，所以，作出的图象如图所示：由图知：当时有最大值，所以，当时，令，注意，解得或，令，注意，解得，当时，令，注意，解得，令，注意，解得，由图知：当，时，的值域为，此时的最大值为；当，时，值域为，此时，由上知，的最大值为.故答案为：3，四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.计算：（1）（2）.【答案】（1）8（2）3【解析】【分析】（1）直接根据指数的运算性质计算即可；（2）直接根据对数的运算性质及换底公式计算即可.【小问1详解】原式；【小问2详解】原式.16.已知集合是函数的定义域，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出集合、，再根据并集运算即可；（2）分和两种情况，结合包含关系讨论求解即可.【小问1详解】由，即，所以，当时，，所以.【小问2详解】由（1）知，，，且，当时，有，即.当时，有，即.综上所述，的取值范围为.17.已知函数的图象经过点（1）求函数的解析式，并求的值；（2）用定义证明函数在区间上单调递减．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，得到，解得，得到，进而求得值；（2）由（1）化简得到，结合函数的单调性的定义与判定方法，即可得证.【小问1详解】解：因为函数的图象经过点，可得，解得，所以，可得，所以.【小问2详解】证明：由（1）知，函数，任取，且，则，因为，可得，所以，即，所以函数在区间上单调递减.18.在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润.【答案】（1）（2）当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元【解析】【分析】（1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得；（2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得.【小问1详解】当时，；当时，，故；【小问2详解】当时，是对称轴为的二次函数，则在上单调递增，故当时，万元；当时，万元，当且仅当时等号成立，故当时，万元；故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元.19.已知函数的图象过点，且满足.（1）求函数的解析式；（2）设函数在上的最小值为，求；（3）若满足，则称为函数的不动点.函数有