江苏省淮安市高中校协作体2025-2026学年高二上学期期中联考试题 数学解析

2025-2026学年高二上学期11月期中联考

数学试题

一、单选题

1．直线2xy10的斜率为（）

1

A．1B．2C．D．2

2

2．已知A1,3，B3,5，则线段AB的中点坐标为（）

A．（1，4）B．（2，1）C．（2，8）D．（4，2）

3．抛物线y22x的焦点坐标为（）

1

A．0,B．0,1

2

1

C．,0D．1,0

2

x2y2

4．双曲线1的实轴长为（）

169

A．4B．6C．8D．10

2222

5．已知圆C1:xy4和圆C2:xy8x6y160，则C1与C2的位置关系是（）

A．外切B．内切C．相交D．外离

x2y2

6．如果椭圆1上一点P到焦点F1的距离等于2，则点P到另一个焦点F2的距离为（）

169

A．6B．4C．3D．2

7．过圆x22xy240上一点M(0,2)作圆的切线l,则l的方程为（）

A．x3y60B．2xy20C．x2y40D．x2y40

x2y2

8．已知过椭圆1ab0的左焦点F(1,0)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，

a2b2

点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的离心率为（）

2315

A．B．C．D．

2325

二、多选题

9．下列说法正确的是（）

y

A．直线x1在x轴，y轴上的截距分别为3，2；

32

10

B．两条平行直线x3y40与2x6y50的距离为

10

C．直线y1k(x2)恒过定点2,1

D．过点A(2,3)，且与直线2xy50垂直的直线方程为x2y80

10．下列说法正确的是（）

A．已知圆的方程为x2y22y0，则此圆的圆心坐标为0,1

2222

B．两圆C1:xy1与C2:x3y4的公切线有3条

22

C．圆x2y21关于点2,1对称的圆方程为x2y11

D．若圆x2y24上恰有三个点到直线yxb的距离为1，则b2

31

11．平面直角坐标系中椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，点1,、3,均在椭圆C上，则（）

22

A．点2,1在椭圆C上

3

B．椭圆C的离心率为

2

C．直线l:kxyk0与椭圆C相交

1

D．若椭圆C上弦AB的中点坐标为1,，则直线AB的斜率为1

2

三、填空题

x2y2

12．双曲线1的渐近线方程为.

34

13．已知直线l:3xy60和圆心为C的圆x2y22y40,则直线l被圆C截得的弦长为．

1222

14．已知A1,1，B(0,1)，C0,2三点，点P在抛物线y2x上运动，则PAPBPC的最小值

3

为．

四、解答题

15．分别求满足下列条件的直线方程.

(1)过原点，且经过直线2x2y10与直线x4y10的交点；

(2)斜率为2，且到点1,2的距离为25.

16．分别求满足下列条件的圆的方程

(1)过点P1,3，圆心为C2,2；

(2)圆心在第一象限，半径为13，且与直线2x3y0相切于点3,2．

17．分别求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．

53

(1)两个焦点坐标分别是(2,0),(2,0)，并且经过点,的椭圆方程；

22

(2)焦点在直线x3y150上的抛物线方程.

x2y2

18．已知椭圆C:1ab0，F1、F2分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，PF1的最大值为3，

a2b2

π

当P为椭圆上顶点时，直线PF的倾斜角为．

13

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点F2作直线l交于椭圆A、B两点

π

（i）若直线l的倾斜角为，求线段AB的长；

4

（ii）求F1AB的面积最大值.

19．已知A(5,1)，B(1,1)，C(2,3)三点

(1)求ABC外接圆方程；

(2)若过点P(3,2)的直线l与中心在原点，过B，C两点的双曲线D相交于M，N两点，A能否是线段MN的

中点？请说明理由？

(3)S，T是双曲线D上的两个动点，且直线BS，BT的斜率互为相反数，证明直线ST的斜率为定值．

题号12345678910

答案BACCAACDACDABD

题号11

答案BC

1．B

直线方程一般式转化为斜截式.

【详解】2xy10化简得y2x1，所以斜率为2.

故选：B.

2．A

用中点坐标公式即可求解.

13

a

2

【详解】设线段AB的中点坐标为Ma,b，则，

35

b

2

a1

即，则线段AB的中点坐标为M1,4.

b4

故选：A.

3．C

由标准方程可确定焦点位置和焦点横坐标，从而得到结果.

p11

【详解】由抛物线方程知其焦点在x轴上且，其焦点坐标为,0.

222

故选：C.

4．C

由双曲线的标准方程可以直接得出答案.

x2y2

【详解】双曲线1中，a4,b3，

169

则实轴长2a8.

故选：C

5．A

由圆的方程可确定两圆的圆心和半径，由两圆圆心距与两圆半径的关系可判断出位置关系.

【详解】由圆C1方程知：圆心C10,0，半径r12；

2222

由C2:xy8x6y160，得x4y39，

所以圆心C24,3，半径r23；

圆心距22，所以圆与圆C外切

C1C2345,C1C2r1r2C12.

故选：A

6．A

根据椭圆的定义可以解.

【详解】由椭圆的定义得：PF1PF22a8，所以PF2826.

故选：A

7．C

先求圆心C，CM和切线垂直，求出切线斜率，然后求直线方程.

201

【详解】由题意得：圆心C(1,0)，所以kCM2，且kk1，解得k.

0(1)CMll2

1

所以直线l的方程为：y2(x0)，化简得：x2y40.

2

故选：C

8．D

取椭圆的右焦点为点F，连接AF，过点B作BDx轴于点D，利用三角形中位线定理和相似形求出点D

的坐标，代入椭圆方程求出a的值，即可求得离心率.

【详解】如图，取椭圆的右焦点为点F，连接AF，则|OF||OF|1，

因为点C，F是线段AB的三等分点，则C为AF的中点，而O为FF的中点，

可得CO//AF，

x2y2b2

因COFF，故AFFF，将x1代入1，可得y，

a2b2Aa

b2

根据椭圆对称性，不妨取点A(1,)，过点B作BDx轴于点D，易得BDFAFF，

a

|BD||DF|1b2b2b2

可得，因|AF|，则|BD|，即得B(2,)，

|AF||FF|2a2a2a

x2y24b2

代入1可得1，又b2a21，代入解得a5，

a2b2a24a2

15

故该椭圆的离心率为e.

55

故选：D.

9．ACD

A选项，由直线截距式进行判断；B选项，将直线变形，利用两平行线间距离公式直接求解；C选项，由直

线点斜式进行判断；D选项，设出直线方程，利用待定系数法进行求解.

y

【详解】A选项，由直线截距式可知x1在x轴，y轴上的截距分别为3，2，A正确；

32

B选项，直线x3y40，即2x6y80，

85310

2x6y80与2x6y50的距离为，B错误；

43620

C选项，由直线点斜式可知y1k(x2)恒过定点2,1，C正确；

D选项，设直线方程为x2yC0，将A(2,3)代入可得26C0，

解得C8，故直线方程为x2y80，D正确.

故选：ACD

10．ABD

将圆的方程化为标准方程，可判断A选项；判断两圆的位置关系，可判断B选项；求出对称圆的方程，可

判断C选项；根据直线与圆的位置关系求出b的值，可判断D选项.

2

【详解】对于A选项，圆x2y22y0的标准方程为x2y11，其圆心为0,1，A对；

对于B选项，圆C1的圆心为C10,0，半径为r11，圆C2的圆心为C23,0，半径为r22，

因为C1C23r1r2，则圆C1与圆C2外切，故两圆有3条公切线，B对；

对于C选项，原点关于点2,1的对称点为4,2，

22

故圆x2y21关于点2,1对称的圆方程为x4y21，C错；

对于D选项，圆x2y24的圆心为原点O，半径为r2，

b

原点到直线xyb0的距离为d，

2

若圆x2y24上恰有三个点到直线yxb的距离为1，则rd1，

b

即dr11，解得b2，D对.

2

故选：ABD.

11．BC

求出椭圆C的方程，利用点与椭圆的位置关系可判断A选项；利用椭圆的离心率公式可判断B选项；利用

直线与椭圆的位置关系可判断C选项；利用点差法可判断D选项.

3

mn11

224m

【详解】设椭圆C的方程为mxny1，由题意可得，解得4，

1

3mn1n1

4

x2

故椭圆C的方程为y21，

4

22

对于A选项，因为121，故点2,1不在椭圆C上，A错；

4

对于B选项，a2，b1，则ca2b222123，

c3

所以椭圆C的离心率为e，B对；

a2

对于C选项，直线l的方程可化为ykx1，该直线过定点1,0，

12

因为021，则点1,0在椭圆C内，故直线l与椭圆C相交，C对；

4

对于D选项，若AB的斜率不存在，则线段AB的中点在x轴上，不合乎题意，

x1x22

所以直线AB的斜率存在，设点Ax1,y1、Bx2,y2，由题意可得，

y1y21

2

x12

y11

4x2x2

因为，两个等式作差得12y2y20，

x2412

2y21

42

1y2y2yyyy11

121212

所以22kAB，故kAB，D错.

4x1x2x1x2x1x222

故选：BC.

23

12．yx

3

求出a、b的值，即可得出双曲线的渐近线方程.

x2y2

【详解】在双曲线1中，a3，b2，

34

x2y2b223

所以双曲线1的渐近线方程为yxxx.

34a33

23

故答案为：yx.

3

13．10

先求圆心到直线的距离d,再计算2r2d2即可求出弦长.

2

【详解】圆x2y22y40化为标准方程为:x2y15,

圆心C0,1,r5,

301610

d,

32122

2

弦长为22210

2rd2(5)10.

2

故答案为:10.

8311

14．/7

1212

依题意，设点P(3t2,t)，根据两点间距离公式将所求式化成关于t2的二次函数，利用其配方法即可求得最小

值.

222

【详解】由题意，设点P(3t2,t)，则PAPBPC(3t21)2(t1)29t4(t1)29t4(t2)2

183

27t43t2727(t2)2，

1812

211222283

故当t时，即当点P的坐标为(,)时，PAPBPC取得最小值.

186612

83

故答案为：.

12

1

15．(1)yx

2

(2)2xy100或2xy100

（1）求出直线交点的坐标，设所求直线方程为ykx，将交点坐标代入所求直线方程，求出k的值，即可

得出所求直线的方程；

（2）设所求直线的方程为y2xb，利用点到直线的距离公式求出b的值，即可得出所求直线的方程.

x1

2x2y101

【详解】（1）联立得1，故直线2x2y10与直线x4y10的交点为1,，

x4y10y2

2

根据题意，设所求直线的方程为ykx，

111

将点1,的坐标代入直线方程得k，故所求直线方程为yx.

222

（2）设所求直线的方程为y2xb，即2xyb0，

22bb

由题意可得25，解得b10，

55

故所求直线的方程为y2x10，即2xy100或2xy100.

22

16．(1)x2y226

22

(2)x1y513

（1）求出圆的半径，结合圆心坐标可得出圆C的方程；

（2）设圆心坐标为Ma,b，其中a0，b0，根据已知条件得出关于a、b的方程组，解出这两个未知

数的值，即可得出所求圆的方程.

22

【详解】（1）由题意可知，圆C的半径为PC123226，

22

故圆C的标准方程为x2y226.

（2）设圆心坐标为Ma,b，其中a0，b0，记点N3,2，

b23

由题意可知直线MN与直线2x3y0垂直，则k，

MNa32

22a1

又因为MNa3b213，解得，即圆心为M1,5，

b5

22

故所求圆的方程为x1y513.

x2y2

17．(1)1

106

(2)y260x和x220y

（1）根据题意可得c2，再由椭圆的定义列式求出a的值，进而求得b的值，即得椭圆方程；

（2）先求出直线x3y150与两坐标轴的交点，由题意知标准抛物线的焦点在坐标轴上，可分为两种情

况，分别求解抛物线的方程即可.

x2y2

【详解】（1）由于椭圆的焦点在x轴上，可设其标准方程为1(ab0)．由题意，c2，

a2b2

5353

根据椭圆的定义，2a(2)2()2(2)2()2210，解得a10，

2222

所以b2a2c21046．

x2y2

故所求椭圆的标准方程为1．

106

（2）因为直线x3y150与两坐标轴的交点分别为(15,0)和0,5，即抛物线的焦点坐标可以是

F1(15,0)和F20,5，

2

当抛物线的焦点为F1(15,0)，其方程形如y2p1x(p10)，

p

则由115可得p30，此时抛物线的方程为y260x；

21

2

当抛物线的焦点为F20,5时，其方程形如x2p2y(p20)，

p

则由25可得p10，此时抛物线的方程为x220y.

22

综上，可得抛物线的方程为y260x和x220y.

x2y2

18．(1)1

43

24

(2)（i）；（ii）3.

7

（1）根据题设条件得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C的标准方程；

（2）（i）将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式与韦达定理可求得AB的值；

（ii）设直线AB的方程为xmy1，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积

公式、韦达定理以及对勾函数的单调性可求得F1AB的面积最大值.

b2

【详解】（1）设点Px,y，其中axa，则y2b2x2，

a2

22

2bc

PFxcy2x22cxc2b2x2x22cxa2

1a2a2

c

xaac,ac，

a

故PF1的最大值为ac3，

①b0b

当点P为上顶点0,b时，k3，

PF10cc

②

又因为a2b2c2，由得a2，b3，c1，

③①②③

x2y2

所以椭圆C的标准方程为1.

43

（2）设Ax1,y1、Bx2,y2，易知点F11,0、F21,0，

（i）由题意可知直线l的方程为yx1，

yx1

2

联立22得7x8x80，644783290，

3x4y12

88

由韦达定理可得x1x2，xx，

7127

2

所以228824

AB11x1x24x1x224.

777

（ii）易知直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为xmy1，

myx122222

联立22得3m4y6my90，36m363m4144m10，

3x4y12

6m9

由韦达定理可得yy，yy，

123m24123m24

22

所以26m912m1，

y1y2y1y24y1y24

3m243m243m24

1112m2112m2112m2112

SF1F2y1y22222

所以三角形的面积为21

223m43m43m113m1

m21

1

令tm211，则函数y3t在1,上为增函数，

t

12

故当t1时，即当m0时，S取最大值，且S3.