2026天舟高考陕晋宁青地区高三12月联合质量检测数学（含答案）

数学

本试卷4页。总分150分。考试时间120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={-2,0,2},N={x|x≤1},则M∩N=()

A.{-1,0,1}B.{-2,0}

C.{-1,1}D.{0,1,2}

2.设复数z满足(1—i)z=2i,则|z|=(

AB.1C.√2D.2

3.已知a∈R,则.”是“a<1”的(

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.在△ABC中，点D满足BD=3DC,则AD=(

A.B.

C.D.

5.若直线ax+y-1=0与圆x²+y²—2x—8y+16=0相切，则a=(

AB.CD.

6.若,则sinacosα=(

A.B.CD.

7.记数列{an}的前n项和为Sn,若a₁=1,an+1-3S,=1,则a₅=()

A.64B.81C.256D.1024

8.已知函数f(x)的定义域是R,f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称，若f(3)=0,且对任意x₁,xz∈

(一∞,0),x₁≠xz,都,则不等的解集为()

A.

C.

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的

得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.下列函数中，在区间(0,+∞)上是增函数的是()

A.y=sinxB.y=2*

C.y=lxlD.y=x-³

10.下列不等式一定成立的是()

A.B.

D.

11.已知椭圆(a>1)的离心率.若点P在C上，F₁,F₂分别是C的左、右焦点，则下列结论

正确的是()

A.|PF₁I+|PF₂|=4

C.椭圆C内接矩形周长的最大值为4√5

D.满足△F₁PF₂是直角三角形的点P有4个

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数

13.已知函数f(x)=2sinx+cos2x,则f(x)的最大值是·

14.在四面体ABCD中，AD⊥DC,AB⊥BC,AB=CD=4,AD=BC=6,若异面直线BD与AC所成的角为

60°,则BD=

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤。

15.(13分)

的部分图象如图所示.

(1)求f(x)的解析式；

(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，在△ABC中，内角A,B,C所对的边

分别是a,b,c.若g(A)=1,a=√3,求△ABC面积的最大值.

第2页，共4页

16.(15分)

已知函数f(x)=x³—12x.

(1)若斜率为15的直线l与曲线y=f(x)相切，求l的方程；

(2)记曲线y=f(x)在点(t,f(t))(t>2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最

小值.

17.(15分)

已知等比数列{an}中，a₂=6,a₃=18.在an与an+1之间插人n个数，使得这n+2个数依次构成一个公差

为d。的等差数列.

(1)求数列{a},{dn}的通项公式；

(2)是否存在三个不同的正整数m,k,p,且m+p=2k,使得数列{dn}中的三项dm,dk,dp成等比数列?

若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由.

第3页，共4页

18.(17分)

把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱0O′中底面长轴AB=A′B′=4,短轴

长为2√3,F₁,F₂分别为下底面椭圆的左、右焦点，F₂为上底面椭圆的右焦点，AA'=4,MN为下底面上过点

F₂的一条动弦(与AB不重合),点Q在下底面椭圆上(与点A,B不重合),Q′是Q在上底面的投影.

(1)证明：O'′F₁//平面B'MN;

(2)求四面体Q'MNF,的体积的取值范围；

(3)设平面F₁F₂Q与平面F₁O′Q’的夹角为θ,求QF·QF₂tan²θ的最小值.

19.(17分)

对于定义域为R的函数y=g(x),若存在常数T>0,使得y=cos(g(x))是以T为周期的周期函数，则称

y=g(x)为“余弦周期函数”,且称T为其“余弦周期”.使得y=sin(g(x))是以T为周期的周期函数，则称y=

g(x)为“正弦周期函数”,且称T为其“正弦周期”.

(1)判断函数是否为“余弦周期函数”,并说明理由；

(2)已知y=g(x)是以T为“正弦周期”的“正弦周期函数”,若g(0)=π,g(T)=5π,求g(2T)的值；

(3)已知y=h(x)是以T为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”,且Vx∈R,h(x)>0恒成立，若存在a>0

和A>0,使得对任意x∈R,都有h(x+a)=Ah(x),证明：y=h(x)是周期函数.

第4页，共4页

天舟高考答案与解析

2026届高三联合质量检测·数学

一、选择题

或

1.B【解析】因为M={-2,0,2},N={x|x≤1},所

以M∩N={-2,0}.

或3x—1=3或3x—

2.C【解析】由已知得|(1—i)z|=|2i|,从而|1—

i||z|=|2i|,即√2|z|=2,所以|z|=√2.

1=-3或

3.A【解析】因为a∈R,所以"等价于“0<a<

或或,所以解集为

1”,所以’的充分不必要条件.

4.B【解析】由题知

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9.BC【解析】对于A,易知y=sinx在(0,+∞)上既

有增区间又有减区间，故A错误；对于B,易知指数

5.D【解析】圆的标准方程为(x—1)²+(y-4)²=1,

函数y=2在(0,十∞)上单调递增，故B正确；对于

圆心为(1,4),半径为1,根据题意得圆心(1,4)到直

C,当x>0时，y=|x|=x,则y=|x|在(0,十∞)上

是增函数，故正确；对于幂函数在

线ax+y-1=0的距离CD,y=x⁻³

(0,十∞)上是减函数，故D错误.

得

10.ACD【解析】对于A,由题√则

6.A【解析】因为x,sin2α=

当且仅当x=1时，等号成立，故

A正确；对于B,当sinx=-1,即

,所以

k∈Z时，有故不等式不一

7.C【解析】当n≥2时，a=3S,-1+1,所以

an+1—a=3an,即an+1=4an,当n=1时，a₂=定成立，故B错误；对于C,由x²≥0,则x²+

3S₁+1=4=4a₁,所以数列{an}是首项为1,公比q

为4的等比数列，则a₅=a1q⁴=256.

8.C【解析】因为f(x-1)的对称中心为(1,0),所以1=3,当且仅当(x²+1)²=4,即x=±1时，等号成

f(x)的对称中心为(0,0),所以y=f(x)为奇函数，

立，故C正确；对于

因为所以y=f(x)在(一∞,

,故正确.

0),(0,+∞)上为减函数.因为f(3)=0,所以liD

或11.AC【解析】因为

所以a=2,c=√3.对于A,由椭圆的定义可得|PF₁I+

或|PF₂|=2a=4,故A正确；对于B,|PF₁|-|PF₂|=

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2,结合|PF₁I+|PF₂|=4,可知P|F₁|=3,|PF₂|=

,故EF=AC-AE-CF=

1,从而由余弦定理可得cos∠F₁PF₂=

.在平面ABC中，过B作

且连接故四边形

故B错误；对于C,由上可得椭圆方程为BG//EF,BG=EF,FG,DG,

BEFG是平行四边形，则,且

1,令,则内接矩形

∠DBG=60°.因为四边形BEFG是平行四边形，且

周长l=4(2cosa+sina)=4√5sin(a+φ),其BELAC,所以四边形BEFG为矩形，所以BG⊥

中,故当,内接矩FG.又BG//EF,EF⊥DF,故BG⊥DF,又DF∩

FG=F,所以BG⊥平面DFG,故BG⊥DG,又

形周长的最大值为4√5,故C正确；当P为短轴顶点

∠DBG=60°,所以

,所以,所以当

∠F₁PF₂=90°时，满足条件的点P有4个，当

∠PF₁F₂=90°或∠PF₂F₁=90°时，满足条件的点

P各有2个，所以满足△F₁PF²是直角三角形的点

P有8个，如图，D错误.法二：BD·AC=(BC+CD)·(AB+BC)=

BČ²+CD·AC=BČ²+CD·(AD+DC)=

BC²—CD²=6²—4²=20,且AC=√AB²+BC²=

2√13.又异面直线BD与AC所成的角为60°,所以

,所以

三、填空题

,所以,即BD=

12.-1【解析】

(—1)²025=-1.

13.【解析】f(x)=2sinx+cos2x=-2sin²x+四、解答题

令则∈设

2sinx+1,t=sinx,t[-1,1],g(t)=15.解：(1)由题图知

,故当所以最小正周期为T=π,

即时所以(2分)

14.【解析】法一：由题意得△均

为直角三角形，故AC=√AD²+CD²=√36+16=即,k∈Z,得φ=2kπ,k∈Z,

2√13,如图，分别作△ABC和△ADC斜边上的高(4分)

BE,DF,则在Rt△ABC中，根据面积公式可知

又因

,故AE=CF=√AB²—BE²=

所以φ=0.

·2·

·数学·答案与解析

所以f(x)=2sin2x.(6分)

(2)由(1)知f(x)=2sin2x,

(12分)

所以(7分)

令S'(t)>0,得t>√6,

由令S'(t)<0,得2<t<√6,

所以S(t)在区间(2,√6)上单调递减，在区间

得(8分)(√6,+∞)上单调递增，

所以的最小值为(15分)

因为A是△ABC的内角，S(t)S(√6)=72.

17.解：(1)设等比数列{a}的公比为q,

所以

则

所以,得(10分)

又a₂=a1q=3a₁=6,

所以a₁=2,所以a=2×3”-1,

由余弦定理，得

所以an+1=2×3”.(3分)

bc=bc,更多试题与答案，关注微信公众号：三晋高中指南在a。与an+1之间插入n个数组成一个公差为d

的等差数列，

所以bc≤3,当且仅当b=c时，等号成立，(12分)

则an+1=an+(n+2-1)dn,

因此，△ABC的面积为×3×即2×3”=2×3”-¹+(n+1)d,

则(6分)

(2)不存在，理由如下：

即△ABC的面积的最大值为(13分)假设在数列{dn}中存在三项dm,dk,dp成等比

数列，

16.解：(1)因为f(x)=x³-12x,

则(de)²=dmdp,(7分)

所以f'(x)=3x²—12,(1分)

设切点为(xo,x³—12x。),,即

则3x?—12=15,即xỏ=9,得x。=±3.(3分)

(10分)

所以f(3)=3³-12×3=-9,f(一3)=-3³+m+1)(P+1)

因为

12×3=9,m+p=2k,

所以(k+1)²=(m+1)(p+1),(12分)

所以切点为(3,—9),(—3,9).(5分)

即k²+2k+1=mp+m+p+1,

所以L的方程为y+9=15(x—3)或y-9=15(x+3),

即k²=mp,

即15x-y—54=0或15x-y+54=0.(6分)

(2)由题意得切点为(t,t³—12t),显然t≠0,联立

因为y=f(x)在点(t,t³-12t)处的切线方程为解得m=p=k,与题设矛盾，

y—(t³—12t)=(3t²—12)(x—t),故在数列{dn}中不存在三项dm,d,dp成等比数列.

整理得y=(3t²—12)x—2t³,(7分)(15分)

令x=0,得y=-2t³,18.(1)证明：如图，连接B'F₂,

令y=0,得(8分)

所以

(10分)

·3·

2026届高三联合质量检测·全国二卷·

由题意得2a=4,2b=2√3,

则Q'(xo,yo,4)

则a=2,b=√3,c=√a²—b²=1,

OQ³=(xo,y。,0),O′F₁=(0,—1,一4).

所以F₁F₂=2c=2,O′B'=a=2,

易得平面F₁F₂Q的一个法向量是n₁=(0,0,1),

所以F₁F₂//O'B′且F₁F₂=O'B′,

设平面F₁O′Q′的法向量是n₂=(r,s,q),

则四边形O′B'′F₂F₁是平行四边形，(2分)

所以B'F₂//O'F₁.

又因为O'F₁平面B'MN,B′F₂C平面B'MN,

所以O'F₁//平面B'MN.(4分)令q=x。,得n₂=(4y₀,—4x。,xo),(12分)

(2)解：以O为坐标原点建立如图所示的空间直角

坐标系.

所以

所以(13分)

又QF₁=(一xo,-1-yo,),QF₂=(一xo,1—y,0),

所以QF₁·QF₂=x2+(y。+1)(y。—1)=xỏ+

下底面椭圆方程(5分)

设M(x₁,y₁,0),N(x₂,y₂,0),MN:y=tx+1,

,其中0<x?≤3.(15分)

联立

令m=x∈[0,3],

得(3t²+4)x²+6tx—9=0,(6分)由函数性质知在(0,3)上单调递减，

且△=144(t²+1)>0,

所以.(7分)

(17分)

19.(1)解：

令l=√t²+1≥1,

则(8分)

因为上单调递增，

所以|x₁-x₂l∈[0,3],

由题可得

所以是“余弦周期函数”.(4分)

(2)解：因为y=g(x)是以T为“正弦周期”的“正

(10分)弦周期函数”,

(3)解：F₁(0,—1,0),F₂(0,1,0),O′(0,0,4),所以sin(g(x+T))=sin(g(x))对所有x成立.

设Q(xo,yo,0),(5分)

·4·

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即g(x+T)=g(x)+2kπ(k∈Z)或g(x+T)=所以对Vx∈R,都有h(x+T)=h(x),

π一g(x)+2kπ(k∈Z).(6分)故y=h(x)是周期函数.(15分)

若g(x+T)=g(x)+2kπ(k∈Z),若A>1,则同理可证(取n为负整数即可).

则g(T)=g(0)+2kπ(k∈Z),综上，y=h(x)是周期函数，得证.(17分)

则5π=π+2kπ,k=2.法二：假设y=h(x)不是周期函数，

则g(x+T)=g(x)+4π,则h(x+T)=h(x)与h(x+a)=h(x)均不恒

所以g(2T)=g(T+T)=g(T)+4π=5π+4π=9π.成立.

(8分)显然A≠1.(11分)

若g(x+T)=π—g(x)+2kπ(k∈Z),因为h(x+T)=h(x)不恒成立，

则g(T)=π-g(0)+2kπ(k∈Z),所以存在xo∈R,使得h(x。+T)≠h(x。),

因为A∈(0,1)U(1,+∞),

所以存在n∈Z,使得0<A”h(xo)≤1且0<

综上，g(2T)=9π.(10分)

A”h(x。+T)≤1,

(3)证明：法一：若A=1,则由可

其中若A>1,取n为负整数；若0<A<1,取n

知y=h(x)为周期函数.(11分)

为正整数.(13分)

若0<A<1,则对任意x₀∈R,存在正整数n,使得

由h(x+a)=Ah(x)可得，h(x+na)=A"h(x),

0<A"h(x。)≤1且0<A"h(x。+T)≤1.

由y=h(x)是以T为一个“余弦周期”的“余弦周

由h(x+a)=Ah(x)可得，h(x+na)=A"h(x),

期函数”,可得cos(h(x+T))=cos(h(x)),

由y=h(x)是以T为一个“余弦周期”的“余弦周

所以cos(A”h(x。+T))=cos(h(x。+na+T))=

期函数”,可得cos(h(x+T))=cos(h(x)),

cos(h(x。+na))=cos(A"h(xo)),(15分)

所以cos(A”h(x。+T))=cos(h(x。+na+

因为y=cosx在(0,1)上单调递减，

T))=cos(h(xo+na))=cos(A”h(xo)),(13分)

所以A“h(x。+T)=A”h(xo),

因为y=cosx在(0,1)上单调递减，

即h(x。+T)=h(x。),矛盾，假设不成立.(16分)

所以A”h(x。+T)=A”h(xo),