专题03 圆锥曲线与方程（3知识10题型2易错）（期末复习知识清单）（解析版）

5/5专题03圆锥曲线与方程【答案】一、1.2.3.二、1.2.3.

【清单01】直线与椭圆方程直线与椭圆联立，求解步骤：第一步：代入消元，联立化简：第二步：计算判别式；可直接利用结论：（范围、最值问题）第三步：根与系数关系表达式；，第四步：利用，计算第五步：利用，计算第六步：利用，，计算弦中点第七步：利用,计算弦长和的面积进而计算原点到直线的距离第八步:利用,，计算第九步：利用,计算1、弦长问题（最常用公式，使用频率最高）2、中点弦问题设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得；；将两式相减，可得；；最后整理得：同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得；；将两式相减，可得；整理得：3、圆锥曲线中的三角形的面积（1）、三角形面积问题直线方程：（2）、焦点三角形的面积直线过焦点的面积为注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数【清单02】直线与双曲线方程直线与双曲线联立，求解步骤：第一步：代入消元，联立化简：第二步：计算判别式可直接利用结论：（范围、最值问题）第三步：根与系数关系表达式，第四步：利用，计算第五步：利用，计算第六步：利用，，计算弦中点第七步：利用,计算弦长和的面积进而计算原点到直线的距离，【清单03】直线与抛物线方程直线与抛物线联立，求解步骤：第一步：代入消元，联立化简：第二步：根与系数关系表达式，第三步：一些小结论点在抛物线的准线上，过点作抛物线的两条切线，切点分别为结论1：的斜率为结论2：若的中点为，则结论3：结论4：过焦点结论5：

【题型一】圆锥曲线的定义及轨迹方程【例1】．（25-26高二上·河北沧州·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹是（

）A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆【答案】A【难度】0.65【知识点】判断圆与圆的位置关系、椭圆定义及辨析、轨迹问题——椭圆【分析】由圆与圆的位置关系确定，，，再利用椭圆的定义可求.【详解】如图，设动圆的圆心为P，半径为r，如图，因圆与圆外切，则，圆，即，因与圆内切，则，又，因，所以点P在以，为焦点的椭圆上.故选：A.【变式1-1】．（25-26高二上·四川成都·期中）如图，已知圆，点，P为圆A上的动点，线段的垂直平分线与线段相交于点M

(1)过点B的直线m被圆A截得的弦长为，求直线m的方程；(2)求动点M的轨迹方程；(3)设（2）中曲线为C，直线l：与曲线C交于E，F两点，求的面积．【答案】(1)(2)(3)【难度】0.4【知识点】求点到直线的距离、已知圆的弦长求方程或参数、轨迹问题——椭圆、椭圆中三角形（四边形）的面积【分析】（1）先根据圆的方程得出圆心和半径，利用已知弦长得出圆心到直线的距离，分直线斜率存在和不存在两种情况讨论求出直线方程；（2）根据已知条件，利用椭圆的定义求出动点的方程；（3）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理结合两点间距离公式求出，利用点到直线距离公式求出距离，进而利用三角形面积公式求解．【详解】（1）圆的圆心为，半径，已知弦长为，设圆心到直线的距离为，则，而直线过点，当直线斜率不存在时，直线为，圆心到直线距离，弦长，符合题意；当直线斜率存在时，设斜率为，则方程为，即，圆心到直线距离，化简得，无解，直线的方程为．（2）由垂直平分线的性质可知，，，，，，由椭圆的定义可知，动点M是以为长轴，以为焦距的椭圆，即，动点M的方程为：．（3）如图，作出符合题意的图形，

联立直线与曲线方程，得，设，由韦达定理得，，点到直线的距离为，．【变式1-2】．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知定点，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的中垂线与直线相交于点，则点的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．以上都不是【答案】C【难度】0.65【知识点】双曲线定义的理解【分析】结合垂直平分线以及中位线的性质，分析计算出的值，则结果可知.【详解】因为为中点，为中点，所以，因为在线段的中垂线上，所以，因此，即点的轨迹是以为焦点的双曲线，故选：C.【题型二】直线与椭圆的位置关系【例2】．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，上的点到其焦点的最大距离为．(1)求的方程；(2)设为椭圆上两点，且，求的最大值．【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的弦长、求椭圆中的最值问题【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.（2）根据斜率存在与不存在讨论，直线方程和椭圆方程联立，化为关于的一元二次方程，由，可得，结合根与系数的关系可得的关系，再利用弦长公式结合基本不等式可求出最大值.【详解】（1）由题意可得，又，解得，，所以，所以椭圆的方程为.（2）设直线，由，得，所以，设，．所以，．因为，所以，所以，所以当时，，此时.当时，，当且仅当，即时取等号．所以的最大值．当直线的斜率不存在时，设直线方程为，代入椭圆方程可得解得，由,可得,即，由，所以，即，解得，故.因为.综上，的最大值为.【变式2-1】．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率，且短轴长为4.(1)求椭圆的方程；(2)斜率为的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值.【答案】(1)；(2)4.【难度】0.65【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义求出即可得椭圆方程.（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及点到直线距离公式列出三角形面积，再利用基本不等式求出最大值.【详解】（1）由椭圆：的短轴长为4，得，由椭圆的离心率，得，则，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，，由消去并整理得，，解得，则，，原点到直线的距离，因此的面积，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为4.

【题型三】直线与双曲线的位置关系【例3】．（25-26高二上·重庆·期中）已知双曲线的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为．(1)求双曲线的方程；(2)过点的动直线交双曲线于两点，设线段的中点为，求点M的轨迹方程．【答案】(1)(2)，其中或．【难度】0.4【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求双曲线的标准方程、求平面轨迹方程【分析】（1）根据双曲线实轴长、渐近线方程，结合点到直线的距离公式进行求解即可；（2）法一：设出直线方程与双曲线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可；法二：利用点差法进行求解即可.【详解】（1）双曲线的实轴长为，由已知，，则．因为双曲线的一条渐近线为．点到双曲线的渐近线的距离为，所以，所以，所以，所以双曲线的方程为；（2）（法一）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，设、、，联立直线与双曲线的方程，得，消去，得，由且，得且．由韦达定理，得，所以，由消去，得．由且，得或，所以，点的轨迹方程为，其中或．（法二）设，中点，则：，因为在双曲线，故，两式相减（点差法）：，因式分解得：，两边除以（直线斜率显然存在），代入：，又直线过和，故斜率，因此：，整理得轨迹方程（将换为）：，所以点的轨迹方程为，其中或．【变式3-1】．（2025高三上·安徽合肥·专题练习）已知双曲线：的离心率为，实轴长为4.(1)求双曲线的方程；(2)若直线：与的右支交于A，B两点，O为坐标原点，若直线与y轴交于点P，且，求的面积【答案】(1)；(2).【难度】0.65【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据离心率求双曲线的标准方程【分析】(1)利用实轴长和离心率求双曲线的基本量，进而得方程；(2)联立直线与双曲线，结合韦达定理和距离公式求参数，进而求得的坐标，从而求得三角形面积.【详解】（1）由实轴长为，得.离心率，故.由，得.因此双曲线的方程为.（2）直线与轴交于，联立与双曲线方程得，设、，双曲线渐近线方程为，由直线与右支相交于两点，得.，由韦达定理，.，同理，故：，解得（）.将代入联立方程，得，解得、，对应、.即，因此的面积为：.【题型四】直线与抛物线的位置关系【例4】．（25-26高二上·宁夏银川·月考）已知直线l与椭圆交于两点，的中点坐标为．(1)求l的方程；(2)若l与抛物线交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）．【答案】(1)；(2).【难度】0.65【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、由弦中点求弦方程或斜率、直线与抛物线交点相关问题【分析】（1）利用点差法及点斜式计算即可；（2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合三角形面积公式计算即可.【详解】（1）设，的中点为D，则，所以，又的中点坐标为，所以，则，所以l的方程为，即；（2）设l交横轴于E点，由上可知，，设，联立，可得，则，所以.【变式4-1】．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知为抛物线的焦点，为上的一点，且，过点的直线与交于两点．(1)求抛物线的方程；(2)求的最大值．【答案】(1)(2)【难度】0.4【知识点】数量积的坐标表示、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题【分析】（1）结合题中条件和抛物线的定义计算参数，进而得到抛物线方程；（2）设过点的直线的方程为，，联立方程组，消元，化简，结合韦达定理得到，再根据向量数量积的坐标公式结合二次函数性质解得最大值.【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，已知为上的一点，代入抛物线方程得，因为抛物线的定义，，将代入得，解得，因此抛物线的方程为（2）由上分析可知，则，即,设过点的直线的方程为，，联立消元得，由韦达定理得，，，将代入：这是关于的二次函数，开口向下，对称轴将代入得最大值【题型五】中点弦问题【例5】．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为.(1)求双曲线的方程；(2)若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程.【答案】(1)(2)【难度】0.65【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程【分析】（1）由题意可得，进而求解即可；（2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可.【详解】（1）由题意知，，解得，故双曲线的方程为.（2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点，则点必在轴上，这与矛盾；②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，设，因为点为线段的中点，所以，因为在双曲线上，所以，则，所以，则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意.【变式5-1】．（25-26高二上·河北·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】由弦中点求弦方程或斜率【分析】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程．【详解】椭圆，由，得点在椭圆内，设，则，两式相减得，而，因此，即直线的斜率为，所以直线的方程为，即．故选：A【变式5-2】．（25-26高二上·江西·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【难度】0.65【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、根据a、b、c求双曲线的标准方程、斜率公式的应用【分析】根据焦距为4，求得m的值，利用点差法，结合中点坐标，求得直线的斜率.【详解】由题可知，解得.所以双曲线.若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性知，线段的中点均在轴上，不合题意，所以直线的斜率存在.设，则，整理得.因为线段的中点为，所以.所以.直线的斜率为2.故选：D.【题型六】圆锥曲线中的三角形问题【例6】．（25-26高二上·四川成都·期中）圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（

）A．面积的最大值为6 B．的最小值为C．M的轨迹方程为 D．的最小值为8【答案】C【难度】0.65【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、轨迹问题——圆、基本不等式求和的最小值【分析】根据椭圆的定义和性质、等腰三角形的性质，结合圆的定义、对勾函数的单调性逐一判断即可.【详解】A：根据题意可知直线如果存在斜率，斜率一定不为零，由椭圆，设直线的方程为，于是有，，设，，，令，，对钩函数在上单调递增，所以当时，对钩函数单调递增，于是由，所以，即，所以当，面积有最大值为3，因此本选项不正确；B：因为，所以，即，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为，所以本选项不正确；C：因为过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，所以，因为，所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为，所以本选项正确；D：由上可知：，所以，因为A，B两点是椭圆上非长轴上顶点，所以由椭圆的性质可知：，所以没有最小值，故本选项不正确，故选：C

【变式6-1】．（25-26高二上·山东青岛·期中）吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆.半椭圆（且为常数）和半圆组成的曲线如图2所示，曲线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【难度】0.4【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程、过圆上一点的圆的切线方程【分析】点代入半圆上的点，求出的值，写出的坐标，当的面积最大时，点为与直线平行的直线且此直线与半圆相切于第四象限的切点，求出，设与直线平行的直线且与半圆相切的直线方程为，求出圆心为到的距离为，与半圆相切，得到，得到关于的一个方程，当点的坐标为时，的面积最大，得到在上，将点代入，得到关于的另一个方程，这两个的方程联立方程组求解即可.【详解】是半圆上的点，，，，，半椭圆（，交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点，，当的面积最大时，点为与直线平行的直线且此直线与半圆相切于第四象限的切点，，设与直线平行的直线且与半圆相切的直线方程为，半圆的圆心为，半径为，圆心为到的距离为，与半圆相切，，，，，当点的坐标为时，的面积最大，在上，，，联立，解得，半椭圆方程为，.故选：D.【变式6-2】．（2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为为上关于原点对称的两点，且，的面积为，若为锐角，则（

）A．48 B．96 C．144 D．192【答案】B【难度】0.65【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线定义的理解、余弦定理解三角形【分析】双曲线定义结合对称性，根据三角形面积公式列方程求出，然后利用余弦定理求解可得.【详解】由于，则由双曲线定义知，所以．如图，根据双曲线对称性知四边形为平行四边形，则，结合，所以，解得，又为锐角，故，则.在中，由余弦定理可知，则，所以．故选：B【题型七】求离心率的值或取值范围【例7】．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围【分析】利用椭圆的定义，结合在圆中直径所对的圆周角为直角、勾股定理、椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】设，则，于是有，由椭圆的定义可知：，，在圆中，是直径，所以，由勾股定理可得：，，代入中，得，故选：B【变式7-1】．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知双曲线的左右两个焦点分别为、，过右焦点作直线，交右支于、两点，若，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.4【知识点】二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】利用双曲线的定义求得，，利用二倍角的余弦公式结合可求出的值，然后在中，利用余弦定理可得出、的等量关系，即可解得该双曲线的离心率的值.【详解】因为，所以，

即，且，所以，解得，所以在△中，由余弦定理可得，即，即，解得.故选：C.【变式7-2】．（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线过，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是．【答案】【难度】0.4【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围【分析】根据椭圆和双曲线的定义，可求得，又根据中垂线的性质，可得，进而可求得，代入所求代数式，结合双曲线离心率的性质和不等式，即可求解.【详解】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，焦距都为，根据椭圆定义，可得①，根据双曲线定义，可得，又，所以②，联立①②，可求得，又线段的中垂线过，所以，所以，所以，即，所以，所以，又根据双曲线的性质，可得，所以，所以，即，所以的取值范围是.故答案为：【题型八】最值（或范围）问题【例8】．（2025高二·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为AB，DE的中点．

(1)证明：直线MN过定点；(2)设G为直线AE与直线BD的交点，求面积的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)8【难度】0.4【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题【分析】（1）分析可得两直线斜率都存在且不为0，设出各点坐标，根据斜率公式，可得，同时满足，，且同时满足，根据两直线垂直，斜率关系，可得，代入直线MN的方程，化简整理，即可得证.（2）由（1）知，可得直线AB方程，根据直线AB过点，可得，同理可得，求出直线AE和直线BD的方程，联立得：，即为G点横坐标，由于，化简计算，可得MN轨迹方程，过点G作轴，交直线MN于点Q，可得面积的表达式，结合基本不等式，可得，根据抛物线的性质，证明，综合即可得答案.【详解】（1）证明：由，故，由直线AB与直线CD垂直，故两直线斜率都存在且不为0，设、、、、、，则，且同时满足，同理，且同时满足，所以，则，所以，又直线MN方程为，所以，所以直线MN过定点.（2）由（1）知，直线AB的方程为，即，又直线AB过点，所以，同理，，又直线DE过点，所以，直线AE的方程为①，直线BD的方程为②，将直线AE的方程转化为，即，和直线BD的方程，联立得：．所以点G的横坐标为，即直线AE与BD的交点在定直线上．由于，故，且，同理，所以MN轨迹方程为，过点G作轴，交直线MN于点Q，

则，故，当且仅当时等号成立，此时，，，下证，即证，，由抛物线的对称性，不妨设，则，当时，有，则点G在x轴上方，点Q亦在x轴上方，有，由直线MN过定点，此时，同理，当时，有点G在x轴下方，点Q亦在x轴下方，有，故此时，当且仅当时，，故恒成立，故，【变式8-1】．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知抛物线（）过点，其焦点为，若.(1)求的值以及抛物线的方程；(2)过点斜率为的直线交抛物线于，两点，求面积的取值范围.【答案】(1)的值为，抛物线的方程为(2)【难度】0.65【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题【分析】（1）根据题意结合抛物线的方程和定义列式求，即可得结果；（2）设直线，，联立方程可得韦达定理，进而可求和面积，结合函数的单调性求值域即可.【详解】（1）由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，则，且点在抛物线（）上，则，即，联立方程，解得，即，所以的值为，抛物线的方程为.（2）由（1）可知：，，抛物线的方程为，由题意可设：直线，，，且，联立方程，消去x可得，则，可得，，则，又因为点到直线的距离，则面积，构造函数，显然在内单调递增，且，，可知在内的值域为，所以面积的取值范围为.【题型九】定点与定值问题【例9】．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C、D两点，直线CD的斜率为，求的值及直线CD所经过的定点坐标．【答案】(1)(2)，定点为【难度】0.4【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的直线过定点问题、椭圆中的定值问题、直线与二次曲线方程及性质【分析】（1）依题意得，再由求得，从而可得椭圆的标准方程；（2）将椭圆向左平移一个单位得，进而根据曲线系方程求解即可.【详解】（1）由题意，得，解得，则，所以椭圆C的标准方程为.（2）将椭圆向左平移一个单位得：，即：，设，，，故曲线系方程为：，则的系数：，常数项：，的系数：，的系数：，则，所以，即，此时直线，即，则直线CD的方程为，恒过定点.

【变式9-1】．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，.离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)若点P在第一象限且轴，求的角平分线所在直线的方程；(3)过右焦点的直线交椭圆C于A，B两点，点A关于x轴对称的点为D（异于点B），直线交x轴于点E，记与的面积分别为，.求证：为定值.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【难度】0.4【知识点】已知点到直线距离求参数、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题【分析】(1)由题可得，解方程即可求解.(2)求出点坐标，设的角平分线所在直线与轴的交点为，根据角平分线性质可知点到直线和的距离相等即可求解；(3)设直线的方程为：,,联立,由韦达定理可得,由直线的方程为：,令，可得点,由三角形面积公式即可证明.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，点是椭圆上任意一点，且的最大值为3，所以，解得：,则,所以椭圆C的方程为:,（2）由题可得，，因为点P在第一象限且轴，所以,解得：或(舍去)，则点所以，则直线的方程为：，即设的角平分线所在直线与轴的交点为，显然则，解得:或(舍去)；所以,则，所以的角平分线所在直线的方程为，即,故的角平分线所在直线的方程为；（3）由题可得直线的斜率不为，设直线的方程为：,,则,联立,得,所以,,直线的方程为：,令，则,所以,即点,则,,所以，则为定值【题型十】开放性与探索性问题【例10】．（25-26高二上·湖北·期中）已知椭圆过点，且离心率为．(1)求的方程．(2)设为的右顶点，为上一点，求面积的最大值．(3)若过点，斜率为（为定值且）的直线与交于点，直线上是否存在不同于点的点，使得平分？若存在，求出点的坐标（用含的式子表示）．若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)答案见解析【难度】0.4【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据离心率求椭圆的标准方程【分析】（1）根据题意可知，结合离心率可得，即可得椭圆方程；（2）设平行于直线的直线的方程为，分析可知当直线与椭圆相切时，直线与直线之间的距离有最大值，此时的面积最大，进而运算求解；（3）设，可得过的直线：，联立方程可得韦达定理，结合向量的数量积可得，代入整理可得，进而分析求解.【详解】（1）由题意得：，即，又因为，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由题意可知：，则，直线的斜率，则直线的方程为，设平行于直线的直线的方程为，则当直线与椭圆相切时，直线与直线之间的距离有最大值，此时的面积最大，联立方程，消去y得，则，解得：，当时，直线与直线距离：，此时面积；当时，直线与直线距离：，此时面积；所以面积的最大值为.（3）假设直线上存在点，使得平分，因为，可知点在椭圆内，则过的直线与椭圆必相交，过的直线：，设，，联立方程，消去y可得，则，，若，则，设，则，，，可得，，则，即，整理得：，可得，整理可得，即，当时，点不存在；当时，点Q与D重合应排除，点不存在；当且时，则，，所以存在点，使得平分，此时.【变式10-1】．（25-26高二上·广东中山·月考）已知在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．(1)求动点的轨迹的方程；(2)已知直线与轨迹交于两点．①求的取值范围；②已知点，直线与直线分别交于点，平面内是否存在一定点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)①或；②存在，.【难度】0.65【知识点】求点到直线的距离、轨迹问题——椭圆、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中存在定点满足某条件问题【分析】（1）利用已知条件可得出关于、的等式，化简可得出轨迹的方程；（2）①直线方程联立椭圆方程消元，利用判别式求解可得；②利用直线表示出点的坐标，结合韦达定理求出中点坐标，结合为平行四边形求解可得.【详解】（1）由题得：，两边平方并化简得，所以，轨迹的方程为.（2）①设，，由，得，由直线与轨迹交于两点，得，所以或.②存在点使得四边形为平行四边形，理由如下：因为在椭圆上，所以易知，设直线的方程为，令，得，同理，又由①知，所以，所以，所以线段的中点坐标为，连接，若四边形为平行四边形，则线段的中点坐标也为，由于，可得得，所以点的坐标为.

【题型一】容易直线的斜率不存在的情况致错【例1】．（2025高二·全国·专题练习）已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴长为直径的圆与直线相切．(1)求椭圆的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于轴的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)存在，定值，【难度】0.4【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数【分析】（1）由椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴为直径的圆与直线相切，列出方程组，求得的值，即可求解；（2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，结合根与系数的关系，结合向量的数量积的运算求得，进而得到，确定定点，②当直线的斜率不存在时，验证成立，即可得到结论.【详解】（1）由题意，椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆的长轴为直径的圆与直线相切，可得，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）①当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，由，且，，假设轴上存在定点，使得为定值，则，要使得为定值，则的值与无关，所以，解得，此时为定值，定点，②当直线的斜率不存在时，，，，则，，可得，综上所述，在轴上存在定点，使得为定值．【变式1-1】．（25-26高二上·宁夏银川·月考）已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点A，B，证明：；(3)过点斜率为的直线，与椭圆相交于不同两