直线的点斜式方程(课件)高中数学人教A版(2019)选择性必修一

2.2.1直线的点斜式方程第二章

§2.2

直线的方程<<<1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.(重点)3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.(难点)学习目标射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若要把子弹飞行的轨迹看作一条直线，且射击手达到了上述的两个动作要求，则托枪的手的位置相当于直线上的定点，眼睛瞄准的方向即为直线的倾斜方向.导语一、求直线的点斜式方程二、直线的斜截式方程课时对点练三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直随堂演练内容索引求直线的点斜式方程一

给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？问题1我们把方程

称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程.方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的

，简称点斜式.y-y0=k(x-x0)点斜式方程(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此种形式.(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y=y0.特别地，x轴的方程是y=0.(3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地，y轴的方程是x=0.

注

意

点<<<(课本例1)直线l经过点P0(-2，3)，且倾斜角α=45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.例

1直线l经过点P0(-2，3)，斜率k=tan45°=1，代入点斜式方程得y-3=x+2.解画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1，y1)，例如，取x1=-1，则y1=4，得点P1的坐标为(-1，4)，过P0，P1两点的直线即为所求，如图所示.

根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(-4，3)，斜率k=3；例

1由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y-3=3(x+4).解(2)经过点B(-1，4)，倾斜角为135°.由题意知，直线的斜率k=tan

135°=-1，故所求直线的点斜式方程为y-4=-(x+1).解求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0).(2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x=x0除外.

反思感悟

跟踪训练

1

解(2)经过点P(5，-2)，且与y轴平行；与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示.但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x=5.解(3)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点.

解二直线的斜截式方程提示由点斜式方程得y-b=k(x-0)，即y=kx+b.直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程.问题21.直线l与y轴的交点(0，b)的

叫做直线l在y轴上的截距.2.把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.纵坐标b(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距.(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.

注

意

点<<<

已知直线l1的方程为y=-2x+3，l2的方程为y=4x-2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.例

2由斜截式方程知，直线l1的斜率k1=-2，又因为l∥l1，所以kl=-2.由题意知，l2在y轴上的截距为-2，所以直线l在y轴上的截距b=-2.由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.解

本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求直线l的方程.延伸探究1

解

若本例条件不变，求本例中直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.延伸探究2

解求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.

反思感悟根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直三(课本例2)已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，试讨论：(1)l1∥l2的条件是什么？例

3若l1∥l2，则k1=k2，此时l1，l2与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之，若k1=k2，且b1≠b2，则l1∥l2.解(2)l1⊥l2的条件是什么？若l1⊥l2，则k1k2=-1；反之，若k1k2=-1，则l1⊥l2.解

例

3

解若l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2=-1.

反思感悟(1)当a为何值时，直线l1：y=-x+2a与直线l2：y=(a2-2)x+2平行？跟踪训练2

解(2)当a为何值时，直线l1：y=(2a-1)x+3与直线l2：y=4x-3垂直？

解1.知识清单：(1)直线的点斜式方程.(2)直线的斜截式方程.2.方法归纳：待定系数法、数形结合法.3.常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离.随堂演练四1234

√

解析1234

√

解析12343.若直线y=kx+b通过第一、三、四象限，则有A.k>0，b>0 B.k>0，b<0C.k<0，b>0 D.k<0，b<0√∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.解析12344.已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a=

.

由题意可知a·(a+2)=-1，解得a=-1.解析-1课时对点练五题号1234567答案BDAADBC题号811121314答案y=x+5BCD题号

15答案对一对答案123456789101112131415169.答案12345678910111213141516

10.答案12345678910111213141516

10.答案12345678910111213141516

16.答案12345678910111213141516(1)由y=kx+2k+1，得y-1=k(x+2).由直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点(-2，1).(2)设函数f(x)=kx+2k+1，显然其图象是一条直线(如图所示)，若要使当-3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，16.答案12345678910111213141516

基础巩固1.过点P(2，-1)，且倾斜角为90°的直线方程为A.y=-1 B.x=2C.y=2 D.x=-1√过点P(2，-1)，且倾斜角为90°的直线垂直于x轴，其方程为x=2.解析答案12345678910111213141516

√答案12345678910111213141516

解析3.已知直线l过点(-3，4)且方向向量为(1，-2)，则l在x轴上的截距为A.-1 B.1

C.-5 D.5√因为直线l的方向向量为(1，-2)，所以直线l的斜率k=-2，又直线l过点(-3，4)，所以直线方程为y-4=-2(x+3)，

令y=0，得x=-1，所以l在x轴上的截距为-1.解析答案12345678910111213141516

√所求直线与已知直线垂直，因此所求直线的斜率为-2，故方程为y-3=-2(x+1).解析答案12345678910111213141516

√答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

解析

√√答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

解析

解析答案12345678910111213141516

8.直线l的斜率k为方程x2-2x+1=0的根，且在y轴上的截距为5，则直线l的方程为

.

由题意，方程x2-2x+1=0的根为1，所以k=1，又在y轴上的截距为5，则直线l的方程为y=x+5.解析答案12345678910111213141516y=x+59.求满足下列条件的m的值.(1)直线l1：y=-x+1与直线l2：y=(m2-2)x+2m平行；∵l1∥l2，∴两直线的斜率相等.∴m2-2=-1且2m≠1，∴m=±1.解答案12345678910111213141516(2)直线l1：y=-2x+3与直线l2：y=(2m-1)x-5垂直.

解答案1234567891011121314151610.直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程.答案12345678910111213141516答案12345678910111213141516

解11.(多选)同一坐标系中，直线l1：y=ax+b与l2：y=bx-a大致位置正确的是综合运用答案12345678910111213141516√√答案12345678910111213141516因为l1：y=ax+b，l2：y=bx-a，对于A，由图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b>0，矛盾，故A错误；对于B，由图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b<0，在y轴上的截距-a<0，即a>0，符合题意，故B正确；对于C，由图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，符合题意，故C正确；对于D，由图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b<0，矛盾，故D错误.解析12.已知直线l：y=xsinθ+cosθ的图象如图所示，则角θ是A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角√答案12345678910111213141516结合图象易知，sin

θ<0，cos

θ>0，则角θ是第四象限角.解析13.在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成60°角的直线方程为

.

答案1234567891011121314