江苏省南通市2025-2026学年高一上学期期中考试数学含解析

江苏省南通市2025-2026学年高一上学期期中质量监测数学试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．命题“”的否定是（

）A． B．C． D．3．设，则的分数指数幂形式为（

）A． B． C． D．4．已知，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知，则（

）A． B． C．3 D．6．已知偶函数的定义域为，对任意的，都有不等式成立.设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．7．任何一个正实数可以表示成，此时，.当时，是位数，则是（

）（参考数据：）A．24位数 B．33位数 C．34位数 D．43位数8．已知，若对于正数，满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（

）

A． B． C． D．10．已知，且满足，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．的最小值为11．已知函数若，且，则（

）A．的最小值B．的最大值为1C．，使D．存在唯一，使三、填空题12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为.13．若不等式的一个充分不必要条件为，则实数的取值范围是.14．若，其中，则.四、解答题15．（1）计算的值；（2）已知，求的值.16．已知函数.设的定义域为集合，的值域为集合，集合.(1)求；(2)若，求实数的取值范围.17．已知函数.(1)若不等式在上恒成立，求的取值范围；(2)若在上单调递减，求的取值范围；(3)若函数在上的最大值为6，求的值.18．研究发现：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.请根据以上结论解决下列问题：(1)求函数的值域；(2)已知函数.①写出的单调减区间，并用定义法证明；②若，满足，证明：.19．设集合.若，且，至少有一个成立，则称集合为“”集.(1)已知，直接判断集合是否为“”集.(2)若为“”集，，求的值；(3)若为“”集，，，求.

题号12345678910答案BCBABCCDACBCD题号11答案AC1．B根据题意结合集合的并集运算求解即可.【详解】因为集合，所以.故选：B.2．C利用全称命题的否定法则可得答案.【详解】命题“”的否定是“”.故选：C3．B利用根式与分数指数幂的互化可得出结果.【详解】当时，则.故选：B.4．A根据充分必要条件的定义从充分性，必要性两个方面分析即可.【详解】判断是否是的充分条件（即是否成立）：由，得，由和，得，因此，，故成立，是的充分条件；判断是否是的必要条件（即是否成立）：反例：取，则，满足，即成立，但，不满足中的，因此，不成立，不是的必要条件.故是的充分不必要条件.故选：A5．B应用赋值法计算求解.【详解】因为，令，则.故选：B.6．C根据给定条件，利用单调性定义确定函数单调性，再利用单调性、偶函数性质比较大小.【详解】由对任意的，都有不等式，得函数在上单调递增，由是R上的偶函数，得在上单调递减，而，因此，所以的大小关系为.故选：C7．C先利用对数的性质进行化简，再根据题干即可求出.【详解】先对取常用对数，，又，又，，则，设，根据，，这里，时，是位数，是位数.故选：.8．D先判断出的单调性和奇偶性，然后将条件转化为关于的等量关系，利用“的代换”求解出的最小值，则的最大值可知.【详解】因为，且的定义域为关于原点对称，所以为上的奇函数，又因为均在上单调递增，所以在上单调递增，因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，又因为，所以的最大值为，故选：D.9．AC利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果.【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合，即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且；因此阴影部分可表示为，即A正确；且，因此阴影部分可表示为，C正确；易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误.故选：AC.10．BCD利用对数的运算法则化简可得到，再令，经计算可得到，通过代换化简可判断选项A，B，C，对于D利用基本不等式求最值可得答案.【详解】由对数的运算法则可得：，所以：，所以：，令，，则，，且，得：，即：，令（因为)，则：，，由于，得：，解得：，又因为，故.于是：.选项A：假设A选项正确，即：，代入得：，由得：，即，，而，当时，，两者不相等，故A错误；选项B：，，由，，所以，故B正确；选项C：由，，得：计算：，，，所以，故C正确；选项D：令，则，，由基本不等式得：.当且仅当，即，时取等号.故的最小值为.故D正确.故选：BCD11．AC令，易得，对于A，换元后构造成二次函数求其在中的最小值即可判断；对于B，换元构造新函数，判断其在中的最大值即可判断；对于C，举例即可判断；对于D，分类讨论，根据其根是否符合题意进行判断.【详解】在上的值域为，在上的值域为，令，易得，且，，对于A，，令，，所以是开口向上，对称轴为的二次函数，所以在上的最小值为，故A正确；对于B，，令，，则其为开口向下，对称轴为即的二次函数，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为，故B错误；对于C，取，则，，因此，使得，故C正确；对于D，当时，，当时，，解得，当时，，解得，所以存在两解，故D错误；故选：AC．12．应用抽象函数的定义性质计算求解.【详解】由函数的定义域为，则函数中，即得，则函数的定义域为.故答案为：.13．先求解不等式，再根据充分不必要条件的性质得到关于的不等式，进而求出实数的取值范围.【详解】由题意得，即，解得，当时，不等式无解；当时，不等式的解集为，不等式是不等式的充分不必要条件，不等式的解集是不等式解集的真子集，当时，不等式的解集为空集，不符合要求，当时，不等式的解集为，需满足，解得.实数的取值范围是.故答案为：.14．或由题意可得与有公共的正零点，设为，则可得，可得且，结合可得或，再分类计算即可得.【详解】当时，，则，由，则单调递减，且在上单调递增，则时，，当时，，则与有公共的正零点，设为，则，即有，解得，且有，则在上单调递减，又在上单调递增，当时，，，满足题意；当时，，，满足题意；由，则，，又，则或；若，则，此时；若，则，此时.故答案为：或.15．（1）（2）（1）利用换底公式以及指对数的运算法则可得答案；（2）利用完全平方公式以及立方和公式可得答案.【详解】（1）原式（2）因为，所以.所以16．(1)(2).（1）求出的定义域与值域，把集合具体化，然后利用集合的运算法则可得答案；（2）由，得，解一元二次不等式可得到，利用集合的基本关系可得答案.【详解】（1）由，得，即.由，因为，所以，即.所以.（2），得.因为，所以，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是.17．(1)(2)(3)或.（1）利用一元二次不等式恒成立的解法可得答案；（2）利用二次函数的单调性可得答案；（3）根据对称轴与定义域的关系分类讨论，结合二次函数的单调性可得答案.【详解】（1）由条件，在上恒成立，当，不符合；当时，显然也不符合，所以，且，解得.综上，的取值范围是.（2）由条件，在上单调递减，当，符合；当时，显然不符合，所以，且，解得.综上，的取值范围是（3）由，即.由条件在上的最大值为6，当，即时，，即，解得，符合；当，即时，，即，解得，符合.所以符合条件的的取值为或.18．(1)(2)①单调减区间为，证明见解析；②证明见解析（1）利用题目中给的结论得到函数的单调性，再结合函数的奇偶性可得答案；（2）①利用题目中给的结论得到函数的单调性，并用函数单调性定义证明；②由得，再化简即得答案.【详解】（1）由，知，所以，所以当时，在上单调递减，在上单调递增，所以.又，所以是奇函数，所以当时，.所以的值域为.（2）①的单调减区间为.证明如下：设，（*）因为，所以，