《 等比数列的前n项和公式（第1课时）》导学案教师版

4.3.2《等比数列的前n项和公式（第1课时）》导学案【学习目标】说出等比数列前n项和的定义，理解错位相减法的推导思路.掌握等比数列前n项和公式，能根据已知条件选择合适公式进行计算.能运用等比数列前n项和公式解决简单的实际问题，体会数学与实际生活的联系.归纳等比数列前n项和公式中各量之间的关系，提升逻辑推理和运算能力.【学习重点】等比数列前n项和公式的推导及应用，“知三求二”的基本运算.【学习难点】错位相减法的推导原理，灵活运用公式解决实际问题.学习任务一情境引入与问题思考【合作探究】国际象棋起源于古印度，相传国王要奖赏发明者，发明者提出：“请在棋盘的第1个格子里放1颗麦粒，第2个格子放2颗，第3个格子放4颗……依此类推，每个格子的麦粒数是前一个格子的2倍，直到第64个格子.”你觉得国王能满足这个要求吗？答案：不能.因为各格子麦粒数构成首项、公比的等比数列，前64项和颗.1000颗麦粒约重40g，总质量约为gkg吨，约是2016—2017年度世界小麦产量7.5亿吨的981倍，国王无法实现.上述问题中，各格子的麦粒数构成了什么数列？该问题本质上是求这个数列的什么量？答案：构成首项为1、公比为2的等比数列；本质是求该等比数列的前64项和.若把该数列记为，首项，公比，则前64项和如何表示？尝试写出表达式.答案：类比等差数列前n项和公式的推导方法，你能想出求等比数列前n项和的思路吗？答案：可采用错位相减法.设，两边同乘公比得，两式相减消去中间相同项，进而推导公式.学习任务二等比数列前n项和公式的推导与理解【自主梳理】等比数列前n项和的定义：对于等比数列，其前n项和表示为，其中（为公比）.公式推导（错位相减法）：设等比数列的首项为，公比为，前n项和为，则：①两边同乘公比：②用①②，消去相同项： 当时，整理得前n项和公式：（或，其中）当时，等比数列各项都相等，前n项和公式为：公式适用条件：当时，使用或；当时，使用，此时数列是常数列.核心关系：等比数列的相关量包括（首项）、（第n项）、（公比）、（项数）、（前n项和），已知其中3个量，可求另外2个量，即“知三求二”.【合作探究】推导公式时，为什么要分和两种情况讨论？如果不分类讨论，能否直接推导公式？答案：当时，，此时无意义，因此必须分类讨论；不分类讨论无法直接推导，因为公式的推导依赖于作为分母，需保证其不为0.用错位相减法推导公式的关键步骤是什么？该方法适用于哪些数列求和？答案：关键步骤是“乘公比错位相减消去中间项”；适用于“等差数列×等比数列”形式的数列求和（如）.已知等比数列中，，，，求；若，，求.答案：当，，时，，；当，时，先求：，.4.结合情境引入问题，计算，并根据以下数据判断国王能否实现诺言：1000颗麦粒约重40g；2016—2017年度世界小麦产量约7.5亿吨.答案：颗；总质量为g吨，约是世界小麦产量的倍，国王无法实现诺言.学习任务三公式的应用与拓展【自主梳理】实际问题中的等比数列模型：价格升降、细胞繁殖、利率、增长率、分期付款等问题，常可抽象为等比数列模型，需明确首项、公比、项数，再代入公式计算.解题步骤：审题：判断问题是否为等比数列问题，明确求还是，确定已知量和未知量；建模：将文字语言转化为数学语言，列出等比数列的相关量；计算：代入合适的前n项和公式求解；检验：验证结果是否符合实际意义.【合作探究】某企业今年的产值为100万元，计划今后每年的产值比上一年增长10%，则该企业未来5年的总产值是多少万元？（精确到0.1万元）答案：每年产值构成首项，公比的等比数列，前5项和.计算得，因此万元.已知等比数列的前n项和，求k的值及数列的通项公式.答案：当时，；当时，；因为是等比数列，所以需满足，即，解得；通项公式为（）.3.比较等差数列和等比数列前n项和公式的推导方法及适用条件，填写下表：比较项目等差数列前n项和等比数列前n项和推导方法倒序相加法错位相减法公式形式或时，；时，关键区别与公差相关，无需分类讨论与公比相关，需分和答案：如上表所示.【自查自纠】正误判断：等比数列前n项和公式对任意等比数列都适用（）答案：×解析：当时，该公式无意义，不适用.若等比数列的公比，，则（）答案：√解析：，.已知等比数列中，，，则（）答案：√解析：由得，，.若数列的前n项和，则是等比数列（）答案：√解析：当时，；时，，满足（），是首项为1、公比为2的等比数列.【典例】已知等比数列中，，，，求公比和项数.答案：若，则，矛盾，故；由题意得；由得，代入求和公式：；解得；由得；综上，，.【习题巩固】等比数列中，，，则（）A. B. C. D.31答案：C解析：，.已知等比数列的前3项和为1，前6项和为9，则公比（）A.2 B.2 C.3 D.3答案：A解析：，，则.由等比数列性质，，，成等比数列，公比为，故.某商场第一年的营业额为500万元，若每年的营业额比上一年增长10%，则第5年的营业额是多少万元？前5年的总营业额是多少万元？（精确到1万元）答案：第5年营业额：万元；前5年总营业额：万元.已知等比数列中，，，求.答案：若，则，但，故；由，两式相除得；代入第一式得；故.下列说法正确的是（）A.若等比数列的公比，则一定有最大值B.等比数列中，，，则C.数列的前n项和，则是等比数列D.等比数列中，，，则答案：CD解析：A错误：时，数列各项正负交替，无固定最大值（如，，，，，，无最大值）；B错误：由等比数列性质，，，成等比数列，即，，成等比数列，公比为2，故？此处原解析有误，正确计算：，的公比为2，下一项为，故，但实际需验证：设，，，，则，，