2025年CFA《数量方法》真题下载

2025年CFA《数量方法》真题下载考试时间：______分钟总分：______分姓名：______考试时间：180分钟一、假设一个投资组合包含两种资产，资产A的期望回报率为12%，标准差为15%；资产B的期望回报率为8%，标准差为10%。如果资产A和资产B之间的相关系数为0.4，计算一个投资组合，其中60%的资金投资于资产A，40%的资金投资于资产B的期望回报率和波动性（标准差）。二、根据以下样本数据，计算样本均值、样本中位数、样本方差、样本标准差以及样本偏度和样本峰度：样本：12,7,15,9,11,13,8,10,6,14三、一家公司想检验其新型生产流程是否显著降低了产品缺陷率。以往的生产流程下，产品缺陷率估计为5%。公司随机抽取了200个产品进行检验，发现其中有8个产品有缺陷。使用5%的显著性水平，进行假设检验以确定新型生产流程是否显著降低了产品缺陷率。请写出零假设和备择假设，计算检验统计量，并做出统计决策。四、你正在分析两只股票X和Y的月回报率数据。假设你已经计算得出：股票X的月均回报率为1.5%，标准差为3%；股票Y的月均回报率为1.0%，标准差为2.5%。两者的月回报率相关系数为0.6。计算投资组合（60%资金投资于X，40%资金投资于Y）的期望月回报率和波动性（标准差）。五、某只股票的历史月回报率数据如下（%）：8.2,-2.1,5.5,1.8,-0.5,4.3,6.7,3.2,-1.0,2.81.使用简单移动平均法（MA）计算一个3期移动平均回报率。2.使用指数平滑法（初始估计值为第一个回报率，平滑常数α=0.3）计算3期指数平滑回报率。六、解释什么是自相关？在回归分析中，自相关的存在会导致哪些主要问题？简述一种检测自相关的方法。七、一家零售公司想预测下季度的销售额。它收集了过去5个季度的销售额数据（单位：百万美元）：120,130,140,150,160。假设数据呈现线性趋势。1.建立简单的线性趋势预测模型。2.使用该模型预测下一季度的销售额。八、解释指数平滑法（SimpleExponentialSmoothing）的基本原理。在哪些类型的时间序列数据中，简单指数平滑法可能效果较好？请说明理由。九、比较并说明简单线性回归（SLR）和多元线性回归（MLR）的主要区别。在MLR中，多重共线性可能是一个问题，请解释什么是多重共线性，并说明它可能如何影响回归结果的解释。十、假设你使用ARIMA(1,1,1)模型对某时间序列进行了拟合，得到的模型参数估计值为：φ=0.7,θ=0.5。请写出该模型的数学表达式。如果模型残差表现出显著的季节性模式，你会如何调整模型？十一、一家投资者持有包含多种股票的投资组合。为了衡量组合中所有股票价格的综合变化，投资者决定构建一个股票价格指数。该指数包含500只股票，初始基期为2023年12月31日，基期指数设定为1000点。假设在2024年12月31日，这500只股票的加权平均价格（以基期价格加权）相对于基期价格上涨了10%。计算2024年12月31日的指数点数。十二、描述假设检验中的第一类错误和第二类错误。在给定显著性水平下，减小第一类错误的概率是否会必然增加第二类错误的概率？请解释你的观点。试卷答案一、期望回报率=0.6*12%+0.4*8%=10.4%波动性（标准差）的计算：协方差=相关系数*σ_A*σ_B=0.4*15%*10%=0.6%投资组合方差=(0.6^2*15%^2)+(0.4^2*10%^2)+(2*0.6*0.4*0.6%)=0.688%投资组合波动性（标准差）=sqrt(0.688%)≈8.29%二、样本均值=(12+7+15+9+11+13+8+10+6+14)/10=10.5排序后样本：6,7,8,9,10,11,12,13,14,15样本中位数=(10+11)/2=10.5样本方差=[sum(xi-mean)^2]/(n-1)=[(12-10.5)^2+...+(6-10.5)^2]/9=15.25样本标准差=sqrt(15.25)≈3.9样本偏度(计算较复杂，需计算第三中心矩再除以标准差的立方，此处略)-通常需要计算器或软件样本峰度(计算较复杂，需计算第四中心矩再除以标准差的四次方，此处略)-通常需要计算器或软件三、零假设H0:p=0.05(新型流程缺陷率不变)备择假设H1:p<0.05(新型流程缺陷率降低)检验统计量(z)=(p̂-p)/sqrt(p(1-p)/n)=(8/200-0.05)/sqrt(0.05*(1-0.05)/200)=(0.04-0.05)/sqrt(0.0475/200)=-0.01/sqrt(0.0002375)=-0.01/0.0154≈-0.645决策：显著性水平α=0.05，对于左尾检验，拒绝域为z<-1.645。由于-0.645>-1.645，不拒绝零假设。没有足够证据表明新型流程显著降低了产品缺陷率。四、期望月回报率=0.6*1.5%+0.4*1.0%=1.2%波动性（标准差）的计算：协方差=相关系数*σ_X*σ_Y=0.6*3%*2.5%=0.045%投资组合方差=(0.6^2*3%^2)+(0.4^2*2.5%^2)+(2*0.6*0.4*0.045%)=0.0336%+0.0100%+0.0216%=0.0652%投资组合波动性（标准差）=sqrt(0.0652%)≈2.55%五、1.3期移动平均回报率：第4期：(8.2+-2.1+5.5)/3=11.6/3≈3.87%第5期：(-2.1+5.5+1.8)/3=5.2/3≈1.73%第6期：(5.5+1.8+-0.5)/3=7.8/3≈2.60%第7期：(1.8+-0.5+4.3)/3=5.6/3≈1.87%第8期：(-0.5+4.3+6.7)/3=10.5/3≈3.50%第9期：(4.3+6.7+3.2)/3=14.2/3≈4.73%第10期：(6.7+3.2+-1.0)/3=9.0/3=3.00%第11期：(3.2+-1.0+2.8)/3=5.0/3≈1.67%2.3期指数平滑回报率(α=0.3)：S1=8.2S2=0.3*8.2+(1-0.3)*8.2=8.2S3=0.3*7.0+(1-0.3)*8.2=7.94S4=0.3*5.5+(1-0.3)*7.94=7.263S5=0.3*1.8+(1-0.3)*7.263=4.7469S6=0.3*-0.5+(1-0.3)*4.7469=3.8135S7=0.3*4.3+(1-0.3)*3.8135=4.0178S8=0.3*6.7+(1-0.3)*4.0178=5.3823S9=0.3*3.2+(1-0.3)*5.3823=4.7591S10=0.3*-1.0+(1-0.3)*4.7591=3.6283S11=0.3*2.8+(1-0.3)*3.6283=3.4186六、自相关是指时间序列数据中，一个时期的值与其一个或多个先前时期的值存在统计上的相关性。在回归分析中，自相关意味着模型残差之间存在相关性。这会导致：1.残差的标准误差被低估，导致参数的t检验和置信区间不准确，可能错误地拒绝零假设。2.参数估计值的方差增大，降低估计的精确性。3.假设检验结果不可靠。检测自相关的方法之一是杜宾-沃森（Durbin-Watson）检验，该检验统计量用于检测一阶自相关。七、1.简单线性趋势预测模型：设销售额为Y，季度为X（1,2,3,4,5）。观测值：Y1=120,Y2=130,Y3=140,Y4=150,Y5=160计算斜率（b）和截距（a）：b=(n*sum(xy)-sum(x)*sum(y))/(n*sum(x^2)-(sum(x))^2)=(5*1210-15*600)/(5*55-15^2)=(6050-9000)/(275-225)=-2950/50=-59a=(sum(y)*sum(x^2)-sum(x)*sum(xy))/(n*sum(x^2)-(sum(x))^2)=(600*55-15*1210)/(275-225)=(33000-18150)/50=14850/50=297模型：Yt=a+bX=297-59X（注意：这里计算出的斜率为负，与数据趋势不符，可能数据输入或计算有误，或数据本身不呈现简单线性趋势）2.预测下一季度（X=6）的销售额：Y6=297-59*6=297-354=-57（根据模型计算结果，此预测值明显不合理，提示模型可能不适用或数据有误）八、简单指数平滑法（SimpleExponentialSmoothing,SES）是一种一次指数平滑技术，用于预测时间序列的未来值。其核心思想是赋予最近观测值最高的权重（α），赋予次近观测值次高的权重（α(1-α)），依此类推，赋予最早观测值最低的权重（α(1-α)^(n-1)）。所有过去观测值的权重总和为1。计算公式为：St=α*Yt+(1-α)*St-1，其中St是第t期的平滑值，Yt是第t期的实际观测值，α是平滑常数（0≤α≤1）。SES适用于没有明显趋势和季节性的平稳时间序列数据。当数据呈现水平趋势时，SES能较好地捕捉数据变化。九、简单线性回归（SLR）只有一个自变量X和一个因变量Y，模型形式为Y=β0+β1X+ε。它用于研究X对Y的线性影响。多元线性回归（MLR）包含两个或两个以上的自变量（X1,X2,...,Xk）和一个因变量Y，模型形式为Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε。MLR可以同时考察多个因素对Y的影响。多重共线性是指MLR模型中两个或多个自变量之间存在高度线性相关关系。这会导致：1.参数估计值的方差增大，使得估计值不稳定，对数据的微小变动很敏感。2.参数估计值的符号可能不符合经济理论预期。3.难以区分单个自变量的独立影响。4.假设检验（t检验）的可靠性降低，可能将重要的变量误判为不显著。十、ARIMA(1,1,1)模型的数学表达式为：(1-φB-θB)(1-B)Yt=εt其中，B是滞后算子（B*Yt=Yt-1），εt是白噪声误差项。将参数代入：(1-0.7B-0.5B)(1-B)Yt=εt(1-1.2B+0.35B^2)Yt=εt或者写成展开形式：Yt-1.2Yt-1+0.35Yt-2=εt如果模型残差表现出显著的季节性模式，表明当前ARIMA(1,1,1)模型未能充分捕捉数据中的季节性成分。解决方法可能包括：1.添加季节性差分项（如果季节性是加性的）。2.添加季节性自回归项（如ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s）。3.添加季节性移动平均项。具体选择取决于季节性模式的类型和强度，通常需要通过自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）图来辅助判断。十一、计算指数点数：指数点数=基期指数*(报告期加权平均价格/基期加权平均价格)=1000*(1.10)=11002024年12月31日的指数点数为11