2025年静电场练习题及答案

2025年静电场练习题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1.真空中有两个点电荷，电荷量分别为+4q和-q，相距为r。若将-q的电荷量改为+2q，且两电荷间距变为2r，则两电荷间库仑力的大小变为原来的（）A.1/2倍B.1/4倍C.1/8倍D.1/16倍2.如图所示，三个点电荷q₁、q₂、q₃固定在等边三角形的三个顶点上，边长为a。已知q₁=+q，q₂=-q，q₃=+2q，O为三角形中心。则O点电场强度的方向为（）（注：等边三角形中心到顶点的距离为√3a/3）A.指向q₁B.指向q₂C.指向q₃D.垂直于q₁q₂连线向右3.关于电场线，下列说法正确的是（）A.电场线是电荷在电场中的运动轨迹B.电场线密集处电势一定高C.匀强电场的电场线是等间距的平行直线D.电场线可以相交，交点处电场方向由两条线共同决定4.一个带电量为Q的金属球壳，内部有一个带电量为q的点电荷（位于球心）。则球壳外表面的电荷量为（）A.QB.Q+qC.Q-qD.05.某电场的电势分布为φ(x,y,z)=3x²+2y-z，则电场强度E在x方向的分量Eₓ为（）A.-6xB.6xC.-3xD.3x6.平行板电容器充电后与电源断开，若将两极板间距增大，则（）A.电容增大，电势差减小B.电容减小，电势差增大C.电容不变，电势差不变D.电容增大，电势差增大7.真空中，一个半径为R的均匀带电球面，带电量为Q。球内某点（到球心距离为r<R）的电势为（）A.kQ/RB.kQ/rC.kQ/(2R)D.0（k为库仑常数）8.两个相同的平行板电容器C₁和C₂，C₁充满相对介电常数为εᵣ的电介质，C₂为真空。若它们的极板面积和间距相同，则C₁与C₂的电容之比为（）A.1:εᵣB.εᵣ:1C.1:1D.无法确定9.一个点电荷q位于坐标原点，另一个点电荷-2q位于x轴上x=a处。则x轴上电势为零的点的位置为（）A.x=a/3B.x=2a/3C.x=aD.x=3a10.电场中某点的电场强度E与试探电荷q₀的关系是（）A.E与q₀成正比，与q₀所受电场力F成正比B.E与q₀成反比，与F成正比C.E由电场本身决定，与q₀无关D.E的方向与F的方向一定相同二、填空题（每题4分，共20分）11.真空中，两个点电荷q₁=+2×10⁻⁶C和q₂=-3×10⁻⁶C相距0.3m，它们之间的库仑力大小为______N（k=9×10⁹N·m²/C²）。12.均匀带电直线段长为L，带电量为Q，沿x轴放置，左端在原点。则x轴上距离左端为d的点（d>L）的电场强度大小为______（用k、Q、L、d表示）。13.电势差的定义式为Uₐᵦ=______，其物理意义是______。14.一个平行板电容器的极板面积为S，间距为d，充满相对介电常数为εᵣ的电介质，则其电容C=______（真空介电常数为ε₀）。15.电场中A、B两点的电势分别为φₐ=100V，φᵦ=200V，将一个带电量为-5×10⁻⁶C的电荷从A移到B，电场力做功为______J。三、计算题（每题10分，共80分）16.真空中有两个点电荷，q₁=+4μC位于(0,0)，q₂=-1μC位于(3m,0)。求x轴上电场强度为零的点的坐标。17.半径为R的均匀带电圆环，带电量为Q，求其轴线上距离圆心为x处的电场强度大小。18.如图所示，无限长均匀带电直线的线电荷密度为λ，求距离直线r处的电场强度（用高斯定理求解）。19.一个点电荷q=+2×10⁻⁸C位于原点，求空间中电势为100V的等势面方程，并说明其形状。20.平行板电容器极板面积S=0.1m²，间距d=0.01m，充电后与电源断开，极板间电势差U=1000V。求：（1）电容器的电容；（2）极板上的电荷量；（3）若将极板间距增大到0.02m（仍断开电源），新的电势差和电场强度。21.两个同心金属球壳，内球壳半径为R₁，带电量为Q₁；外球壳半径为R₂（R₂>R₁），带电量为Q₂。求：（1）内球壳表面的电场强度；（2）两球壳之间（R₁<r<R₂）的电势差；（3）外球壳外表面的电荷量。22.均匀带电球体内，电荷体密度为ρ，半径为R。求球内（r<R）和球外（r>R）的电场强度分布（用高斯定理）。23.一个平行板电容器，极板间充满两层电介质，第一层厚度d₁，相对介电常数εᵣ₁；第二层厚度d₂（d₁+d₂=d），相对介电常数εᵣ₂。极板面积为S，求电容器的电容。四、综合题（每题15分，共45分）24.如图所示，水平放置的平行板电容器极板间距d=0.02m，上极板带正电，下极板带负电，极板间电场强度E=5×10⁴N/C。一个质量m=1×10⁻⁶kg、带电量q=+2×10⁻⁸C的小球从下极板边缘以初速度v₀=10m/s水平射入电场，忽略重力。求：（1）小球在电场中的运动时间；（2）小球离开电场时的竖直位移；（3）小球离开电场时的速度大小和方向。25.如图所示，导体球A半径为R₁，带电量Q；导体球壳B与A同心，内半径R₂，外半径R₃，带电量-2Q。求：（1）各区域（r<R₁，R₁<r<R₂，R₂<r<R₃，r>R₃）的电场强度；（2）球A与球壳B之间的电势差；（3）若将球壳B接地，球壳B的带电量和球A的电势如何变化？26.如图所示，两个平行板电容器C₁和C₂，C₁=2μF，C₂=4μF，初始时C₁充电至U₁=100V，C₂未充电。现将开关S闭合，使两电容器并联。求：（1）并联后两电容器的电压；（2）C₁和C₂极板上的电荷量；（3）并联过程中损失的电场能量。答案一、选择题1.A（原库仑力F₁=k(4q)(q)/r²=4kq²/r²；新库仑力F₂=k(4q)(2q)/(2r)²=8kq²/(4r²)=2kq²/r²，故F₂/F₁=1/2）2.B（q₁和q₂在O点的电场强度大小均为kq/((√3a/3)²)=3kq/a²，方向分别指向q₂和q₁；q₃在O点的电场强度大小为k(2q)/((√3a/3)²)=6kq/a²，方向指向q₂。合成后总场强指向q₂）3.C（电场线不是运动轨迹，密集处场强大但电势不一定高，不能相交）4.B（静电平衡时，球壳内表面感应电荷为-q，外表面电荷为Q+q）5.A（Eₓ=-dφ/dx=-6x）6.B（断开电源后电荷量Q不变，C=ε₀S/d，d增大则C减小；U=Q/C，故U增大）7.A（均匀带电球面内电势等于表面电势kQ/R）8.B（C=ε₀εᵣS/d，故C₁/C₂=εᵣ:1）9.D（设x轴上x处电势为零，kq/x+k(-2q)/(x-a)=0，解得x=3a）10.C（电场强度由电场本身决定，与试探电荷无关）二、填空题11.6（F=k|q₁q₂|/r²=9×10⁹×2×10⁻⁶×3×10⁻⁶/(0.3)²=6N）12.kQ/[d(d+L)]（取微元dx，电荷元dq=Qdx/L，电场强度dE=kdq/(d+x)²，积分得E=kQ/[d(d+L)]）13.φₐ-φᵦ；将单位正电荷从a点移到b点时电场力做的功14.ε₀εᵣS/d15.5×10⁻⁴（W=q(φₐ-φᵦ)=-5×10⁻⁶×(100-200)=5×10⁻⁴J）三、计算题16.设电场强度为零的点在x轴上坐标为x（x>3m或x<0）。若x>3m，q₁在x处产生的场强E₁=k×4μC/(x)²（向右），q₂产生的场强E₂=k×1μC/(x-3)²（向右），无法抵消；若x<0，E₁=k×4μC/x²（向左），E₂=k×1μC/(3-x)²（向右），令E₁=E₂：4/x²=1/(3-x)²→2/|x|=1/(3-x)（x<0，|x|=-x）解得x=-3m。答案：(-3m,0)17.取圆环上微元dl，带电量dq=Qdl/(2πR)，在轴线上x处产生的电场强度dE=kdq/(R²+x²)，方向沿轴线分量为dEₓ=dE×x/√(R²+x²)。积分得Eₓ=∫dEₓ=kQx/(R²+x²)^(3/2)。答案：E=kQx/(R²+x²)^(3/2)（方向沿轴线远离圆环，若Q为负则相反）18.作半径为r、高为h的圆柱高斯面，电场强度沿径向，通过上下底面的电通量为0，侧面电通量Φ=E×2πrh。根据高斯定理，Φ=λh/ε₀，故E=λ/(2πε₀r)。答案：E=λ/(2πε₀r)（方向沿径向，λ>0时向外）19.点电荷电势φ=kq/r=100V，r=kq/φ=9×10⁹×2×10⁻⁸/100=1.8m。等势面为以原点为球心、半径1.8m的球面。答案：x²+y²+z²=1.8²，球面20.（1）C=ε₀S/d=8.85×10⁻¹²×0.1/0.01≈8.85×10⁻¹¹F；（2）Q=CU=8.85×10⁻¹¹×1000≈8.85×10⁻⁸C；（3）d’=0.02m，C’=ε₀S/d’=C/2，U’=Q/C’=2U=2000V；电场强度E=U/d=1000/0.01=1×10⁵N/C（间距增大后E=U’/d’=2000/0.02=1×10⁵N/C，不变）。答案：（1）8.85×10⁻¹¹F；（2）8.85×10⁻⁸C；（3）2000V，1×10⁵N/C21.（1）内球壳表面r=R₁，电场强度E=kQ₁/R₁²（方向径向，Q₁>0时向外）；（2）两球壳间电势差U=∫(R₁到R₂)E·dr=∫(R₁到R₂)kQ₁/r²dr=kQ₁(1/R₁-1/R₂)；（3）外球壳外表面电荷量为Q₁+Q₂（内表面感应电荷为-Q₁，外表面电荷为Q₂+Q₁）。答案：（1）kQ₁/R₁²；（2）kQ₁(1/R₁-1/R₂)；（3）Q₁+Q₂22.球内（r<R）：作半径r的高斯面，电荷量q=ρ×(4πr³/3)，高斯定理Φ=E×4πr²=q/ε₀，故E=ρr/(3ε₀)；球外（r>R）：q=ρ×(4πR³/3)，E=ρR³/(3ε₀r²)=kQ/r²（Q=ρ×4πR³/3）。答案：r<R时E=ρr/(3ε₀)，r>R时E=ρR³/(3ε₀r²)23.两层电介质的电场强度分别为E₁=σ/ε₀εᵣ₁，E₂=σ/ε₀εᵣ₂（σ=Q/S），总电势差U=E₁d₁+E₂d₂=Qd₁/(ε₀εᵣ₁S)+Qd₂/(ε₀εᵣ₂S)；电容C=Q/U=ε₀S/(d₁/εᵣ₁+d₂/εᵣ₂)。答案：C=ε₀S/(d₁/εᵣ₁+d₂/εᵣ₂)四、综合题24.（1）水平方向匀速运动，运动时间t=L/v₀（假设极板长度为L，题目未给，需补充条件。若极板足够长，小球在电场中运动时间由竖直方向是否飞出决定，此处假设极板长度L=0.2m，则t=0.2/10=0.02s）；（2）竖直加速度a=qE/m=2×10⁻⁸×5×10⁴/1×10⁻⁶=10m/s²，竖直位移y=½at²=½×10×(0.02)²=0.002m=2mm；（3）竖直速度vᵧ=at=10×0.02=0.2m/s，速度大小v=√(v₀²+vᵧ²)=√(100+0.04)≈10.002m/s，方向与水平夹角θ=arctan(vᵧ/v₀)=arctan(0.02)≈1.15°。（注：题目未给极板长度，假设L=0.2m，实际应根据具体条件调整）25.（1）r<R₁：导体内部场强为0；R₁<r<R₂：电场由球A电荷Q产生，E=kQ/r²；R₂<r<R₃：导体壳内部场强为0；r>R₃：总电荷Q+(-2Q)=-Q，E=k(-Q)/r²=-kQ/r²；（2）电势差U=∫(R₁到R₂)E·dr=kQ(1/R₁-1/R₂)；（3）球壳B接地后，外表面电荷为0，内表面电荷为-Q，球壳B带电量为-Q；球A的电势φ=kQ/R₁+k(-Q)/R₂（壳内电势）。