2023考研数学线性代数知识点

2023考研数学线性代数必备知识点

2023年研究生备考的硝烟还未散尽时，另一场战役已经

打响。在考研数学的三门课里，线性代数这门课的特点又是什

么呢？线性代数这门课对考生的抽象才能的要求特别的高，大

纲要求主要考察的有抽象行列式的计算，抽象矩阵求逆，抽象

矩阵求秩，抽象行列式求特征值与特征向量，这四种抽象题型

是考研线性代数每年常出题型，占有很大比重，要求同学们有

较高的综合才能。

线性代数的前后知识的连续性强完全是由它自身的知识体

系和逻辑推理方式来决定的，很多同学也都说线性代数的公式

概念结论特别的多，前后联络特别的严密，在做一个题时，假

设有一个公式或者结论不知道，后面的过程就无法做下去，其

实这也符合考研大纲的要求的考生运用所学的知识分析问题和

解决问题的才能。假设和高等数学做个比较，我们把高等数学

看作是一个连续性的推理过程，线性代数就是一个跳跃性的推

理过程，在做题时表现的会很明显。同学们在做高等数学的题

时，从第一步到第二步到第三步在数学式子上一个一个等下去

很明晰，但是同学们在做线性代数的题目时从第一步到第二步

到第三步经常在数学式子上看不出来，比方行列式的计算，从

第几行（或列）加到哪行（列）很多时候很难一下子看出来。针对

上述特点，给出线性代数的各章节重要知识点详细复习建议，

希望同学们的复习可以有的放矢。

一、行列式与矩阵

行列式、矩阵是线性代数中的根底章节，从命题人的角度

来看，可以像光滑油一般结合其它章节出题，因此必须纯熟掌

握。

行列式的核心内容是求行列式——详细行列式的计算和抽

象行列式的计算。其中详细行列式的计算又有低阶和高阶两种

类型，主要方法是应用行列式的性质及按行（列）展开定理化为

上下三角行列式求解；而对于抽象行列式而言，考点不在如何

求行列式，而在于结合后面章节内容的相对综合的题。

矩阵部分出题很灵敏，频繁出现的知识点包括矩阵各种运

算律、矩阵的根本性质、矩阵可逆的断定及求逆、矩阵的'

秩、初等矩阵等。

二、向量与线性方程组

向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比

之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分

的问题而做铺垫的根底性章节，而其后两章特征值和特征向

量、二次型的内容那么相对独立，可以看作是对核心内容的扩

展。

向量与线性方程组的内容联络很亲密，很多知识点互相之

间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就

是彻底理顺诸多知识点之间的内在联络，因为这样做首先可以

保证做到真正意义上的理解，同时也是纯熟掌握和灵敏运用的

前提。

这部分的重要考点一是线性方程组所具有的两种形式一一

矩阵形式和向量形式；二是线性方程组与向量以及其它章节的

各种内在联络。

(1)齐次线性方程组与向量线性相关、无关的联络

齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为

零时等式一定成立一一印证了向量部分的一条性质“零向量可

由任何向量线性表示”。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一

零解;②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等

式中的变量只能全为零才能使等式成立，而当齐次线性方程组

有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立；但向量部分中

判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发

的。故向量与线性方程组在此又产生了联络一一齐次线性方程

组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可

以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组

问题而提出的。

(2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联络

同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而

引入的c秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数“。经过

“秩f线性相关、无关一线性方程组解的断定”的逻辑链条，

就可以断定列向量组线性相关时，齐次线性方程组有非零解，

且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量

(根底解系)线性表示。

(3)非齐次线性方程组与线性表出的联络

非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量

三、特征值与特征向量

相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重

点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代

中的大量内容一一既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相

关性，“牵一发而动全身“O

本章知识要点如下：

1.特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列

公式和性质。

2.相似矩阵及其性质，需要区分矩阵的相似、等价与合

同：

3.矩阵可相似对角化的条件，包括两个充要条件和两个

充分条件。充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;

二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。

4.实对称矩阵及其相似对角化，n阶实对称矩阵必可正

交相似于以其特征值为对角元素的对角阵。

四、二次型

这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个

延伸，因为