19-20版 第3章 §4 42 简单线性规划

4.2简单线性规划

学习目标核心素养

1.了解目标函数、约束条件、二元线性规划

1.通过学习与线性规划有关

问题、可行解、可行域、最优解等基本概

的概念培养数学抽象素养.

念.（重点）

2.通过研究最优解的方法

2.掌握二元线性规划问题的求解过程，特

提升数学运算能力.

别是确定最优解的方法.（重点、难点）

自主预习。擢新加

/I/IIIJYUXIIAZKIZ/III

二新知初探

简单线性规划

阅读教材Pioo〜Pm“例6”以上部分，完成下列问题

（1）线性规划中的基本概念

名称意义

约束条件关于变量x,y的一次不等式（组）

线性约束条件关于x,y的一次不等式（组）

目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x,y的函数解析式

线性目标函数关于变量X，＞的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解Cr,y）

可行域由所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规在线性约束条件卜求线性E标函数的最大值或最小值

戈IJ问题问题

（2）线性规划问题

①目标函数的最值

线性目标函数z=ox+b，SW0）对应的斜截式直线方程是尸一条+东在y

轴上的截距是东当Z变化时，方程表示一组互柞平行的直线.

当。＞0,截距最大时，Z取得最大值，截距最小时，Z取得最小值；

当。＜0,截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值.

②解决简单线性规划问题的一般步骤

在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步

骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，

(i)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图

形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平

面区域.

(ii)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过

或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.

(iii)求：解方程组求最优解，进而求出H标函数的最大值或最小值.

(iv)答：写出答案.

思考：(1)在线性约束条件下，最优解唯一吗？

［提示］可能唯一，也可能不唯一.

(2)若将目标函数z=3x+y看成直线方程时，z具有怎样的几何意义？

［提示］由z=3x+y得y=—3x+z,z是直线在y轴上的截距.

匚初试身

产1,

1.设变量X,y满足约束条件＜x+y—4＜0,则目标函数Z=3x—y的最

j—3y+4W0,

大值为()

A.-4B.0

4

C.gD.4

D［作出可行域，如图所示.

x+y-4=(),

联立

A3)，+4=0,

当目标函数z=3x-y移到（2,2）时，z=3x-y有最大值4.]

卜+厂220

2.若实数x,y满足，则s=x+），的最小值为

、户5

2[如图所示阴影部分为可行域，由s=x+），得y=一犬+s,由图可知,

当直线y=—x+s与直线x+y—2=（）重合时，s最小，即x=4,y=—2时,

s的最小值为4-2=2.]

3.如图，点。，）》在四边形的内部和边界上运动，那么z=2v-y的

最小值为.

B03tj2)

C(J5J)

o例1,0）

1[法一：目标图数Z=2JT—），可变形为），=2x—z,所以当直线），=2v—z在

y轴上的截距最大时，z的值最小.移动直线〃一），=0,当直线移动到经过点A

时，直线在），轴上的截距最大，即z的值最小，为2X1-1=1.

法二：将点A,8,C,。的坐标分别代入目标函数，求出相应的z值，比较

大小，得在4点处取得最小值为1.]

卜十）忘4,

4.已知点P（x,丁）的坐标满足条件＜点。为坐标原点，那么|PO|

、x21,

的最小值等于,最大值等于.

啦Vio［画出约束条件对应的可行域，如图阴影部分所示，因为IPOI表示

可行域上的点到原点的距离，从而使|PO|取得最小值的最优解为点4（1,1）;使|PO|

取得最大值的最优解为点8（1,3）,所以|PO|min=啦，|P（2|max=VTb.

合作探究。提素养

线性目标函数

'券型1

的最值问题

【例1】若x,），满足约束条件

（x-y+120,

x—2）＜0,则z=x+y的最大值为

x+2）-2W0,

5［由题意画出可行域（如图所示）,

其中4一2,-1）,Bl1,2bC（°，l），由z=x+y知），=-x+z,当直线），=

3

-

—x+z经过B12

规律方法

用图解法解决线性规划问题的关键和注意点

图解法是解决线性规划问题的有效方法.其关键在于平移目标函数对应的直

线内+b=0,看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域,

则这样的点即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取最大值还是最小

值.

。跟踪训练

卜一y+120,

1.若x,y满足约束条件*+)，-320,则z=x-2y的最小值为.

Lr—3W0,

x-y+1=0

-5［画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x=3与直线x

—y+1=0的交点(3,4)处取得，代入目标函数z=x-2y得到-5.］

线性规划问题

0s型「

1-...«中的参数问题

俨+2y—3W0,

【例2】已知变量x,y满足的约束条件为，犬+3)，-32(),若目标函数

1),一1W0.

z=or+y(其中。＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a的取值范围.

［解］依据约束条件，画出可行域.

・・•直线工+2)，-3=0的斜率肌=一5，

目标函数z=ar+y(a＞0)对应直线的斜率ki=­a,

若符合题意，则需左1＞内.即一；＞一〃，得a＞；.

妮律商法

含参数的线性目标函数问题的求解策略

(1)约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分情况作出可行域，结

合条件求出不同情况下的参数值.

(2)目标函数中含有参数；此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一

定，则对直线作平移变换；如果斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系

分情况确定最优解的位置，从而求出参数的值.

回跟踪训练

X—＞2(),

2.⑴已知人，y满足约束条件[x+)W2,若z=oi十)•的最大值为4,则〃

=()

A.3B.2

C.-2D.-3

入+厂2W0,

(2)己知满足约束条件｛x—2y—2W0,若z=)，一帆取得最大值的最优

2—丁+22().

解不唯一，则实数。的值为()

A.3或1B.2或百

C.2或1D.2或一1

(1)B(2)D[(1)画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示.

因为目标函数z=ax~\-y的最大值为4,即目标函数对应直线与可行域有公共

点时，在y轴上的截距的最大值为4,作出过点0(0,4)的直线，由图可知，目标

函数在点8(2,0)处取得最大值，故有2〃+0=4,解得。=2.

(2)作出可行域，如图中阴影部分所示.

由y=ax~\~z知z的几何意义是直线在y轴上的极距，故当〃>0时，要使z

=.y—or取得最大值的最优解不唯一,则〃=2;当〃<()时，要使z=y—at取得

最大值的最优解不唯一，则〃=一11

非线性目标函

'委型3

数的最值问题

［探究问题］

1.(1)设A(xi,yi),8(x2,p),则A,8两点间的距离是什么？

(2)设A(xi,yi),B(X2,)2),且xi/X2,直线A3的斜率是什么？

［提示］(1)H8|=A/(XI—X2)2+(JJI—yz)2.

⑵人年

2.(1)代数式Na+2)2+「的几何意义是什么?

(2)代数式总的几何意义是什么？

［提示］(1)点a,y)与(一2,0)间的距离.

(2)点。，y)与(2,一3)连线的斜率.

Ix一厂2<0,

【例3】设实数x,)，满足约束条件，工+2y一420,求

［2厂3<0,

(l)f+)2的最小值;

(2)《的最大值.

［解］如图，画出不等式组表示的平面区域A6C,

(1)令〃=f+)，2,其几何意义是可行域ABC内任一点(X,)，)与原点的距离的

平方.

x+2y-4=0,

过原点向直线x+2y—4=0作垂线y=2x,则垂足为彳的解,

U=2x

又由1+"'4一°，得d1,先所以垂足在线段*的延长线上，故可行

I2y—3=0,二乙)

域内的点到原点的距离的最小值为ioci=yi7^}=手，所以，f+y2的最小

值为争

(2)令y=7，其几何意义是可行域ABC内任一点(九，y)与原点相连的直线/

V—0

的斜率为即0=-

A-0

由图形可知，当直线/经过可行域内点C时，。最大，由(1)知c(l,|),

33

-1-

所以Pinax2X2

［母题探究］

1.(变结论)例3的条件不变,求/+()，+1)2的最大值.

［解］令2=.广+6+1）\其几何意义是可行域A8C内任一点（x,y）与（0,一

2y-3=0

1）的距离的平方，由＜解得点B的坐标为由例3的解答可知,

X—y—2=0

2\

2r2++H!237

点8与（0,—1）间的距离的平方最大,-l7-2

、

2.（变条件）把例3的线性约束条件换为彳xW1，求z=f+），2的最小值.

［解］实数.），满足的可行域如图中阴影部分所示，则z的最小值为原点到

直线A3的距离的平方，故Zmin=

规律方法

非线性目标函数的最值的求解策略

（l）z=（x-a）2+（），一/力2型的目标函数可转化为点（X,），）与点3"）距离的平方;

特别地，z=『+）2型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方.

（2）z=。型的目标函数可转化为点（居），）与点（。，份连线的斜率.

.Aka

（3）z=|At+8y+q可转化为点（X,y）到直线Ar+8y+C=0的距离的舟短

倍.

课堂小结）

1.用图解法求线性目标函数的最值时，要清楚z的含义，z一般与直线在y

轴上的截距有关.

2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，平移直线时，

要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.

当堂达标。固亚基

IAOGLSHUAZGJI|

1.判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)只有当可行域是封闭的图形时，目标函数才有最优解.()

(2)最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或)，的值.()

(3)目标函数2=。/十⑺(力中0)中，z的几何意义是直线ax-\~by—z=O在y轴

上的截距.()

［答案］(1)X⑵X(3)X

［提示］(1)错误，可行域不是封闭的图形，目标函数也有最优解；

(2)错误，最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解；

(3)错误，由ax-^by—z=()得y=—疝+京，知z的几何意义是