2024-2025学年广东深圳宏扬学校九年级（上）期中数学试题含答案

初中2024-2025学年九年级数学（上册）学科素养形成练习期中（第一章~第四章）（满分：100分）第一部分（选择题，共24分）一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分）1.下列方程中是一元二次方程是（）A. B.C. D.2.用配方法解方程，变形正确的是（）A B. C. D.3.在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个球，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为（）A.2 B.5 C.10 D.124.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（）A.AB=CD B.OA=OC，OB=OD C.AC⊥BD D.AB∥CD，AD=BC5.某县政府2024年投资亿元用于保障性住房建设，计划到2026年投资保障性住房建设的资金为亿元．如果从2024年到2026年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（）A. B. C. D.6.若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A. B. C.且 D.且7.如图所示，在菱形中，，，则菱形边上高的长是（）A. B. C. D.8.如图，等腰△ABC的面积为2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（）A. B.3 C. D.4第二部分（非选择题，共76分）二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）9.已知是方程一个根，那么另一个根为________．10.将四个小球分别标上，，，四种化学元素符号（除标记符号外，其余均相同），放入一个不透明的袋中，摇匀后从中任意摸出2个小球，能够组成“一氧化碳”化学式的概率是__________．11.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有支，根据题意，列出的方程是：________．12.如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为_____cm2．13.如图，正方形中，点在上，连接，点在上，点在上，于点，连接、，的延长线交于点，，，，则的长为___________．

三、解答题（本题有7小题，共61分）14.解方程：（1）；（2）．15.先化简，再求值：，其中a2+3a﹣1=0．16.如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“|I”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题：（1）当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为；（2）当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．17.如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接，（1）求证：四边形是矩形．（2）连接，若______．18.“荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱，某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元．（1）当一斤荔枝降价6元时，每天销量可达______千克，每天共盈利______元；（2）若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？19.根据以下素材，探索完成任务探究纸伞中的数学问题素材1我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，，D点为伞圈．素材2伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且A、E、三点共线．测得，，伞完全张开时，如图1所示（参考值：）．素材3项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得．问题解决任务1判断位置求证：平分．任务2探究伞圈移动距离当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）．任务3拟定撑伞方案求伞至少向下移动距离，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）20.在一次数学活动课上，小明尝试着把一块含有的直角三角板放置于四边形的内部，且使得直角顶点E始终与边的中点重合，进行了一系列活动探究．（1）初步探究】当四边形是正方形，顶点F、G分别在、边上，小明作辅助线“延长和交于点M”，证明了，请你补全证明过程．（2）【类比探究】如图2，当四边形是矩形，顶点F与A重合，点G在边上，类比图1的方法，不难求得______，______，请说明理由．（3）【拓展探究】当四边形是平行四边形，且．如图3，当顶点F与A点重合，G在边上，则______；（直接写出答案，不需要说明理由）如图4，当顶点F与D点重合，G在边上，则______．（直接写出答案，不需要说明理由）

2024-2025学年九年级数学（上册）学科素养形成练习期中（第一章~第四章）（满分：100分）第一部分（选择题，共24分）一、选择题（本题有8小题，每小题3分，共24分）1.下列方程中是一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，这样的方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可．【详解】解：A．分母含未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；B．是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；C．当时，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；D．化简得，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；故选B．2.用配方法解方程，变形正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】方程移项，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断．【详解】解：方程+4x-1=0，移项得：+4x=1，配方得：+4x+4=1+4，即=5．故选：A．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3.在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15个球，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为（）A.2 B.5 C.10 D.12【答案】B【解析】【分析】本题主要考查随机事件概率，假设红球有x个，根据红球可能出现的情况除以总的可能情况即可，利用事件发生的概率=所求情况数与总情况数之比．【详解】解：设有x个红球，得，解得．故选：B．4.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（）A.AB=CD B.OA=OC，OB=OD C.AC⊥BD D.AB∥CD，AD=BC【答案】B【解析】【详解】解：A．由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；B．∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确；C．由AC⊥BD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．D．由AB∥CD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．故选B．点睛：本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．5.某县政府2024年投资亿元用于保障性住房建设，计划到2026年投资保障性住房建设的资金为亿元．如果从2024年到2026年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．设年增长率是x，由题意可列出方程，求解即可．读懂题意，根据增长前的量×（1＋年平均增长率）增长后的量列出方程是解本题的关键．【详解】解：设年增长率是x，根据题意可得：，解得（不合题意舍去），．故年增长率是．故选：D．6.若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=22-4a＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得a≠0且△=22-4a＞0，解得a＜1且a≠0．故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．7.如图所示，在菱形中，，，则菱形边上的高的长是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了菱形面积的计算方法，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算的值是解题的关键．对角线，交于点，则为直角三角形，在中，已知，根据勾股定理即可求得的长，根据菱形面积不同的计算方法可以求得的长度，即可解题．【详解】解：对角线，交于点，则为直角三角形则．，，菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算，即，∴，故选：B．8.如图，等腰△ABC的面积为2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（）A. B.3 C. D.4【答案】B【解析】【分析】当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在N处，当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN．求出CF的长即可解决问题．【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，连接CE，∵AB=AC，∴BD=DC=BC=1，∵AE=BC，∴AE=DC=1，∵AE∥BC，∴四边形AECD是矩形，∴S△ABC=BC×AD=×2×AD=2，∴AD=2，则CE=AD=2，当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在CE的中点N处，当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MN．∵BC=2，CE=2，由勾股定理得BE=4，cos∠EBC=，即，∴BF=8，∴CF=BF-BC=6,∵点N是CE的中点，点M是EF的中点，∴MN=CF=3，∴点M的运动路径长为3，故选：B．【点睛】本题考查点的轨迹、矩形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题．第二部分（非选择题，共76分）二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分）9.已知是方程的一个根，那么另一个根为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系，先设方程的另一个根是，根据根与系数的关系，易得，从而易求,解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两根之间的关系：，．【详解】解：设方程的另一个根是，则可得，，即另一个根为，故答案为：．10.将四个小球分别标上，，，四种化学元素符号（除标记符号外，其余均相同），放入一个不透明的袋中，摇匀后从中任意摸出2个小球，能够组成“一氧化碳”化学式的概率是__________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了列表法求概率，根据列表法求概率，即可求解．【详解】解：列表如下，共有12种等可能结果，其中能组成（一氧化碳）的有2种，∴能够组成“一氧化碳”化学式概率是，故答案为：．11.参加足球联赛每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有支，根据题意，列出的方程是：________．【答案】【解析】【分析】设参加比赛的球队有支，根据“参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场”列出方程，即可求解．【详解】解：设参加比赛的球队有支，根据题意得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键．12.如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为_____cm2．【答案】4【解析】【分析】首先根据菱形的性质可得BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，然后再根据勾股定理计算出AO长，进而得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，∵BD＝2cm，∴BO＝1cm，∵AB＝cm，∴AO＝＝＝2（cm），∴AC＝2AO＝4cm．∴S菱形ABCD＝（cm2）．故答案为：4．【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；解题的关键是熟悉菱形的面积公式和直角三角形三边之间的关系．13.如图，正方形中，点在上，连接，点在上，点在上，于点，连接、，的延长线交于点，，，，则的长为___________．

【答案】【解析】【详解】过点作于点，设与交于点，通过证明，得到，，利用勾股定理求得，的长；通过证明为的垂直平分线，得到；利用三角形的面积求得的长，则结论可得．【解答】解：过点作于点，设与交于点，如图，四边形正方形，，，，四边形为矩形，，．，，，．在和中，，．．，．．在中，，，解得：或3．，．，，，，．，．，是的垂直平分线，．当时，，当时，，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线，三角形的面积，过点作于点是解题的关键．三、解答题（本题有7小题，共61分）14.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方程移项后利用因式分解法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可．【小问1详解】解：方程移项得：x（x+2）-2（x+2）=0，分解因式得：（x+2）（x-2）=0，所以x+2=0或x-2=0，解得：；【小问2详解】3x2-x-1=0，∵a=3，b=-1，c=-1，∴Δ=（-1）2-4×3×（-1）=1+12=13＞0，∴，解得：．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．15.先化简，再求值：，其中a2+3a﹣1=0．【答案】，．【解析】【详解】试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，已知方程变形后整体代入计算即可求出值．试题解析：解：原式=．当a2+3a﹣1=0，即a2+3a=1时，原式=．考点：1．分式的化简求值；2．整体思想的应用．16.如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“|I”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题：（1）当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为；（2）当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）据概率公式直接填空即可；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出小灯泡发光的结果数，然后根据概率公式求解．【小问1详解】解：当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，三种情况中小灯泡会发光的只有闭合开关一种情况，故小灯泡发光的概率为，故答案为：；【小问2详解】解：画树状图如下：由图可知，共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，∴小灯泡发光的概率为【点睛】题主要考查概率的求法．是跨学科综合题，综合物理学中电学知识，结合电路图，正确判断出灯泡发光的条件，掌握根据题意正确画出树状图或列表法以及概率的计算方法是解题的关键．17.如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接，（1）求证：四边形是矩形．（2）连接，若______．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，掌握特殊平行四边形的性质与判定是解题的关键．（1）根据菱形的性质可得且，进而证明四边形是平行四边形，根据，即可证明四边形是矩形；（2）根据菱形的性质以及已知条件求出，根据勾股定理先求得的长，然后求出的长，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形是菱形，∴且，∵，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形是矩形；【小问2详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∴，∵，∴∴，∴，又∵，∴．故答案为：．18.“荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱，某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元．（1）当一斤荔枝降价6元时，每天销量可达______千克，每天共盈利______元；（2）若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？【答案】（1）；（2）元【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）由题意：当销售单价为每千克元时，平均每天能售出千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出千克.即可得出结论;（2）由题意：超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．【小问1详解】解：由题意得：销售数量为千克；利润为元；故答案为：；；【小问2详解】由题意得:，解得：∵让顾客得到实惠，，答：销售利润每天达到元，且让顾客得到实惠，每千克应降价元．19.根据以下素材，探索完成任务探究纸伞中的数学问题素材1我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，，D点为伞圈．素材2伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且A、E、三点共线．测得，，伞完全张开时，如图1所示（参考值：）．素材3项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得．问题解决任务1判断位置求证：平分．任务2探究伞圈移动距离当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动距离（精确到0.1）．任务3拟定撑伞方案求伞至少向下移动距离，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）【答案】任务一：见解析；任务二：约为；任务三：【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，弄清题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．（1）利用证明即可得到答案；（2）过点E作于点G，求出的长，即可利用求出答案；（3）设与交于点O，与交于点Q，先求出，可得，再求出，进而可求出，即为问题的答案．【详解】解：（1）∵，且，，∴，在和中，，∴△AED≌△AFD（SSS），∴，∴平分；（2）过E做，∵，∴，∴，∵，∴，由勾