2024-2025学年广东深圳振兴学校九年级（上）期中数学试题含答案

初中2024-2025学年度九年级第一学期期中质量检测一、单选题（每题3分，共30分）1.下列方程是一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.某射击运动员在同一条件下射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（）射击次数1002004008001000“射中九环以上”的次数87172336679850“射中九环以上”的频率0870.860.840.850.85A.0.84 B.0.85 C.0.86 D.0.873.用配方法解方程时，原方程应变形（）A. B.C. D.4.如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后，不一定是正方形的选项为（）A.， B.，C.， D.，5.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A. B. C.且 D.且6.菱形中，对角线、交于点O，，，则菱形的高长度为（）A. B. C.12 D.137.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为（）A. B.C. D.8.如图，中，平分，交于E，交于F，若，则四边形的周长是（）A.24 B.28 C.32 D.369.如图，在和中，，，M是的中点，连接，，若，则的面积为（）A.12 B. C.15 D.2410.边长为2的正方形中，M是的中点，以为折痕将翻折，使B落在E处，延长交于F，求的长为（）A. B. C.1 D.二、填空题（每题3分，共15分）11.如果直角三角形的斜边长8，那么斜边中线的长是______．12.一元二次方程的一次项系数是______．13.不透明袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率是______．14.如图，以矩形的顶点为圆心，长为半径画弧交的延长线于；过点作交于点，连接，则_________．15.如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为___________．三、解答题16.解方程：（1）（2）17.如图，四边形是平行四边形，D为边上的中点，，连接，．（1）求证：四边形是矩形．（2）若，判断四边形的形状，并说明理由．18.不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为．（1）直接写出袋中黄球的个数；（2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率．19.如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接．（1）求证：四边形菱形；（2）若，求菱形的面积．20.某商店通过网络在一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价；（1）2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率；（2）若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？21.下面是小乐设计的“利用已知矩形作一个内角为45°角的菱形”的尺规作图过程．已知：矩形．求作：菱形，使．作法：①作的角平分线；②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点E；③分别以点、为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连结、．则四边形即为所求作的菱形．（1）请你用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）填空：①四边形是菱形依据__________________；②连结、，四边形的形状是______，依据是__________________．22.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即“一线三等角”模型和“字”模型．【问题发现】如图，已知，中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．易证；（1）如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系_________；【问题提出】（2）在（）的条件下，若，，则的面积为____________．（3）如图，正方形中，，，求的面积．

2024-2025学年度九年级第一学期期中质量检测一、单选题（每题3分，共30分）1.下列方程是一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．据此判断即可．【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项错误；B、分母含有未知数，不是一元二次方程，故此选项错误；C、是一元二次方程，故此选项正确；D、是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项错误；故选：C．2.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（）射击次数1002004008001000“射中九环以上”的次数87172336679850“射中九环以上”的频率0.870.860.840.85085A.0.84 B.0.85 C.0.86 D.0.87【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率，根据大量的试验结果稳定在0.85即可得出结论．【详解】解：根据表格知，从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.85，

则该运动员“射中九环以上”的概率是0.85．

故选：B．3.用配方法解方程时，原方程应变形为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，其步骤为：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数．根据配方法解一元二次方程的步骤即可得到答案．【详解】解：，故选：B

．4.如图，已知的对角线，交于点O，添加条件后，不一定是正方形的选项为（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】本题考查了正方形的判定，根据题意逐一对选项分析即可得出答案．【详解】解：A、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故A错误；B、因为，所以为菱形，但不能证明为正方形，故B正确；C、因为，所以为矩形，又因为所以为正方形，故C错误；D、因为，所以为菱形，又因为所以为正方形，故D错误；故选：B．5.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程有实数根，则”是解题的关键．根据一元二次方程有实数根，则列出不等式，解不等式即可，需要注意．【详解】解：由题意得，解得：且，故选：D．6.菱形中，对角线、交于点O，，，则菱形的高长度为（）A. B. C.12 D.13【答案】A【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，孰练掌握菱形的相关性质，勾股定理是解决本题的关键．根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论．【详解】解：在菱形中，，，∴，，，∴，∵，∴，∴．故选：A．7.某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．本题可先用表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．【详解】解：设平均每月的增长率为，则二月份的产值为：，三月份的产值为：，根据题意得：．故选：B．8.如图，中，平分，交于E，交于F，若，则四边形的周长是（）A.24 B.28 C.32 D.36【答案】A【解析】【分析】本题主要考查菱形的判定与性质，根据、即可得出四边形为平行四边形，再根据平分即可得出，即，从而得出平行四边形为菱形，根据菱形的性质结合即可求出四边形的周长．【详解】解：∵，，∴四边形为平行四边形，．∵平分，∴，∴，∴平行四边形为菱形．∵，∴．故选：A．9.如图，在和中，，，M是的中点，连接，，若，则的面积为（）A.12 B. C.15 D.24【答案】A【解析】【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．过M作于E，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出答案即可．【详解】解：过M作于E，，M是的中点，，，，，由勾股定理得：，的面积为，故选：A．10.边长为2的正方形中，M是的中点，以为折痕将翻折，使B落在E处，延长交于F，求的长为（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了对折叠性质、勾股定理、三角形的全等判定和性质，熟练掌握对折的性质是解题的关键；根据翻折的性质，及正方形的性质得，在证明，得，分别表示出，，，利用勾股定理即可得出结论．【详解】解：四边形是边长为2的正方形，，，以为折痕将翻折得，，，，，，，，，，，，设，，M是的中点，，，在中，，即，解得：，故选：D．二、填空题（每题3分，共15分）11.如果直角三角形的斜边长8，那么斜边中线的长是______．【答案】4【解析】【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可．【详解】解：∵一个直角三角形的斜边长为8，∴它斜边上的中线长为，故答案为：4．12.一元二次方程的一次项系数是______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，根据题意，将所给方程化为一般形式即可解决问题，熟知一元二次方程的一般形式是解题的关键．【详解】解：由题知，原方程可化为：，所以此一元二次方程的一次项系数是，故答案为：．13.不透明袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率是______．【答案】【解析】【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．【详解】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是黄球的结果数为4，∴两次摸出的球都是黄球的概率为．故答案为：14.如图，以矩形的顶点为圆心，长为半径画弧交的延长线于；过点作交于点，连接，则_________．【答案】【解析】【分析】由矩形的性质得，，则，再证明四边形是平行四边形，由作图得，则四边形是菱形，所以，则，可求得，则，于是得到问题的答案．【详解】解：∵四边形是矩形，，，，，∴四边形是平行四边形，由作图得，∴四边形是菱形，，，，，故答案为：．【点睛】此题重点考查矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握各知识点是解题的关键．15.如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为___________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，先根据线段垂直平分线的性质得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案【详解】∵点在的垂直平分线上，∴，∵，点是的中点，∴故答案为：三、解答题16.解方程：（1）（2）【答案】（1），，（2），，【解析】【分析】本题主要解一元二次方程：（1）二次系数为1，一次项系数为偶数，利用配方法解方程容易；（2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，即可解方程．【小问1详解】解：，，∴，∴，，【小问2详解】，，∴，∴，，17.如图，四边形是平行四边形，D为边上的中点，，连接，．（1）求证：四边形是矩形．（2）若，判断四边形的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）四边形是正方形，理由见解析【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟知相关概念是解题的关键．（1）根据等腰三角形的性质，可得，再利用平行四边的性质得到，且证明四边形是平行四边形，即可解答；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到解答．小问1详解】证明：四边形是平行四边形，，．为边上的中点，，，，四边形是平行四边形．为边上的中点，，，，四边形是矩形．【小问2详解】解：四边形是正方形，理由：，，是等腰直角三角形．为边AB上的中点．．由（1），可知四边形是矩形，四边形是正方形．18.不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为．（1）直接写出袋中黄球的个数；（2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率．【答案】（1）袋中黄球的个数1个（2）“取出至少一个红球”的概率为【解析】【分析】本题考查了概率的实际应用，掌握概率公式以及树状图或列表法是解题关键．（1）设袋中的黄球个数为x个，根据任意摸出一个球是蓝球的概率为，即可建立方程求解；（2）画出树状图，根据概率公式即可求解．【小问1详解】解：设袋中的黄球个数为x个，∴，解得：，经检验，是原方程的解，∴袋中黄球的个数1个；【小问2详解】解：画树状图得：一共有种等可能的情况数，其中“取出至少一个红球”的有种，则“取出至少一个红球”概率是．19.如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，点F在上，且，连接交于点G，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求菱形的面积．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质和判定，勾股定理，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线互相垂直且平分．（1）由平行四边形的性质和角平分线得出，证出，由得出，即可得出结论．（2）根据菱形的性质得到，利用勾股定理求出，根据菱形的面积公式求解即可．【小问1详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形；【小问2详解】解：∵四边形菱形，∴，又∵，∴，∴，∴，∴菱形的面积．20.某商店通过网络一源头厂家进一种季节性小家电，由于疫情影响以及市场竞争，该厂家不得不逐年下调出厂价；（1）2019年这个小家电出厂价是每台62.5元，到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元，若每年下调幅度相同，请你计算该小家电出厂价平均每年下调的百分率；（2）若明年商场计划按每台40元购一批该品牌小家电，经市场预测，销售定价为50元时，每月可售出500台，销售定价每增加1元，销售量将减少10台．因受库存的影响，每月进货台数不得超过300台；商家若希望月获利8750元，则应进货多少台？销售定价多少元？【答案】（1）20%（2）当该商品每个销售定价为75元时，进货250个【解析】【分析】（1）设该小家电出厂平均每年下调的百分率为，则2020年该小家电出厂价是每台，则2021年该小家电出厂价是每台，根据到2021年同期该品牌小家电出厂价下调为40元可列方程为，解方程即可；（2）根据利润售价进价，进而求出即可．【小问1详解】设平均每年下调的百分率为，根据题意，得：，解得：，（不合题意，舍去），答：平均每年下调的百分率为20%；【小问2详解】设每个商品的定价是元，由题意可得：解得：，，当时，进货个，不符合题意，舍去；当时，进货个，符合题意．答：当该商品每个销售定价为75元时，进货250个．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解题的关键．21.下面是小乐设计的“利用已知矩形作一个内角为45°角的菱形”的尺规作图过程．已知：矩形．求作：菱形，使．作法：①作的角平分线；②以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点E；③分别以点、为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点，连结、．则四边形即为所求作的菱形．（1）请你用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）填空：①四边形是菱形的依据__________________；②连结、，四边形的形状是______，依据是__________________．【答案】（1）见解析（2）①四条边都相等的四边形是菱形；②平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【解析】【分析】（1）根据作法可知：，由此即可得出四边形是菱形（2）根据菱形和矩形性质可证明，，继而判定四边形是平行四边形.【小问1详解】解：如图所示，