《含30°角的直角三角形性质》课件

第十三章

轴对称13.3.2

等边三角形

第2课时

含30°角的直角三角形性质1.掌握含30°角的直角三角形的性质，培养学生抽象概括能力。2.会运用含30°角的直角三角形的性质进行简单计算和证明，培养运算能力和应用意识。3.经历探索含30°角的直角三角形的性质的过程，“探索──发现──猜想──证明”，培养学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系.学习重点：含30°角的直角三角形性质定理的发现与证明.学习难点：含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.等边三角形的性质和判定

等边三角形性质1.三条边相等2.三个内角都相等，都为60°.3.“三线合一”4.轴对称图形（3条对称轴）判定1.定义（三条边相等）2.三个角相等3.有一个角是60°的等腰三角形2.这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？1.等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？想一想:如下图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？含30°角的直角三角形的性质知识点问题1：学生活动

【一起探究】分离拼接ACB将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？问题2：ABCD如图，显然，△ADC与△ABC关于AC成轴对称图形，因此AB=AD,∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD,可得BC=CD=AB.性质：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.你还能用其他方法证明吗？已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.求证：BC=AB．ABC证明：延长BC到D，使BD=AB，连接AD.在△ABC

中，∵∠C=90°，∠A=30°,∴∠B=60°．∴△ABD

是等边三角形．又∵AC⊥BD,ABCD

证明方法：倍长法∴BC

=AB．

∴BC=

BD．

方法一：方法点拨

倍长法就是延长得到的线段是原线段的正整数倍，即1倍、2倍……倍长法EABC证明：

在BA上截取BE=BC，连接EC.

∵∠B=60°，BE=BC.∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC=60°，BE=EC.∵∠A=30°，∴∠ECA=∠BEC–∠A=60°–30°=30°.∴AE=EC，∴AE=BE=BC，∴AB=AE+BE=2BC.∴BC

=AB．

证明方法：截半法方法二：方法点拨在证明中，在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段就是截半法.截半法含30°角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.∵在Rt△ABC

中，∠C=90°，∠A=30°，归纳总结应用格式：∴

BC=AB．

ABC例1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是(

)A．3cmB．6cmC．9cmD．12cmD利用含30°角的直角三角形的性质求线段的值素养考点1ABCD注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.△ABC中，AB=AC，∠C=30°,DA⊥BA于A，BD=9.6cm，则AD=.4.8cmBCDA如图∠C=90°，D是CA的延长线上的一点，∠BDC=15°，且AD=AB，则BC=AD.BCDA例2如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于(

)A．3B．2C.1.5D．1C解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.E归纳总结含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=

.1ABCD

已知:等腰三角形的底角为15°,腰长为20.求腰上的高.解:过点C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.∵∠B=∠ACB=15°

(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°，ACBD15°15°20))∴CD=AC=×20=10.例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．解：理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA).在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.归纳总结

含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？

证明：∵∠B+∠A=180°–

∠C=90°，

∠B=2∠A，

∴∠B=60°，∠A=30°.

∴

AB=2BC.例4如图是屋架设计图的一部分，点D

是斜梁AB的中点，立柱BC，DE

垂直于横梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC,DE

有多长？ABCDE利用直角三角形的性质解决实际问题素养考点2

图中BC,DE分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ABCDE解：∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°，∴BC=AB,DE=AD.∴BC=AB=×7.4=3.7(m).又AD=AB,∴DE=AD=×3.7=1.85(m).答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为()A．6米

B．9米C．12米

D．15米B2.某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要()A．300a元B．150a元C．450a元D．225a元B3.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,若AB=10,则BC

=

.54.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=____cm.8ACB第4题图内容在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半使用要点含30°角的直角三角形的性质①分清30°的角所在的直角边②作辅助线，构造直角三角形注意前提条件：直角三角形中证题方法倍长法截半法学前温故新课早知1.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是:

.

2.等腰三角形的

,

,

相互重合.

顶角平分线所在的直线(答案不唯一)顶角平分线

底边上的中线

底边上的高

学前温故新课早知1.三条边都

的三角形叫做等边三角形.

2.等边三角形的

,并且每一个角都等于60°.

3.三个角

的三角形是等边三角形.

的等腰三角形是等边三角形.

4.等边三角形是轴对称图形,它的对称轴有(

)条.A.1条

B.2条

C.3条

D.4条5.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于

.

相等

三个角都相等

都相等

有一个角是60°C斜边的一半

学前温故新课早知6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB,AB=4,则BC的长是

,∠BCD的长是

,BD的长是

.

230°11.等边三角形的判定【例1】

如图,在△ABC中,∠ACB=120°,CD平分∠ACB,AE∥DC,交BC的延长线于点E,证明△ACE是等边三角形.分析:利用平行线的性质以及平角的定义求出△ACE的每一个角都是60°.

1234561.若一个等腰三角形的腰与底边相等,给出以下结论:①该三角形的底角与顶角相等;②该三角形的顶角为60°;③该三角形的底角为60°;④该三角形的三个角均为60°.则其中正确的结论的个数为(

).A.1 B.2 C.3 D.4答案答案关闭D1234562.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B=

.

答案解析解析关闭∵EF垂直平分BC,∴BF=CF,∴∠B=∠BCF.∵△AFC是等边三角形,∴∠AFC=60°.又∠AFC=∠B+∠BCF=2