《运用完全平方公式因式分解》课件

第十四章

整式的乘法与因式分解14.3.2公式法第2课时

运用完全平方公式因式分解1.理解完全平方公式的结构特点，培养模型观念。2.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.3.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.4.在探索和应用公式因式分解的过程中渗透整体、数形结合、类比的数学思想.学习重点：掌握公式的特点，运用完全平方公式进行因式分解.学习难点：理解完全平方公式的结构特征，灵活运用公式.1.因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？提公因式法平方差公式a2–b2=(a+b)(a–b)3.完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2

我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？用完全平方公式分解因式知识点你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？aabbabababa²b²ab学生活动

【一起探究】同学们拼出图形为：这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2(a+b)2=ababa²ababb²(a+b)2a2+2ab+b2=将上面的等式倒过来看，能得到：

a2+2ab+b2

a2–2ab+b2

我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.观察这两个多项式：(1)每个多项式有几项？(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项.这两项都是数或式的平方，并且符号相同.是第一项和第三项底数的积的±2倍.完全平方式的特点：

1.必须是三项式(或可以看成三项的)；

2.有两个同号的数或式的平方；

3.中间有两底数之积的±2倍.

完全平方式:简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.2ab+b2±=(a

±

b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.3.a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²2.m²–6m+9=(

)²–2·()·(

)+()²=()²1.x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²x2x+2aa

2ba+2b2b对照a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：mm–33x2m3试一试下列各式是不是完全平方式？

(1)a2–4a+4;(2)1+4a²;(3)4b2+4b–1;(4)a2+ab+b2;(5)x2+x+0.25.是只有两项；不是4b²与–1的符号不统一；不是不是是ab不是a与b的积的2倍.例1分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.素养考点1利用完全平方公式分解因式分析：(1)中，16x2=(4x)2，

9=3²，24x=2·4x·3，

所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32.(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.解：

(1)16x2+24x+9=(4x+3)2；=(4x)2+2·4x·3+32(2)–x2+4xy–4y2

=–(x2–4xy+4y2)

=–(x–2y)2.把下列多项式因式分解.(1)x2–12xy+36y2;(2)16a4+24a2b2+9b4;

解：(1)x2–12xy+36y2

=x2–2·x·6y+(6y)2

=(x–6y)2;(2)16a4+24a2b2+9b4=(4a2)2+2·4a2·3b2+(3b2)2=(4a2+3b2)2;(3)–2xy–x2–y2;(4)4–12(x–y)+9(x–y)2.

解：(3)–2xy–x2–y2

=–(x2+2xy+y2)

=–(x+y)2;(4)4–12(x–y)+9(x–y)2

=22–2×2×3(x–y)+［3(x–y)］2

=［2–3(x–y)］2

=(2–3x+3y)2.例2如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是()A.11B.9C.–11D.–9B解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.素养考点2利用完全平方公式求字母的值方法点拨

本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________.解析：∵16=(±4)2，故–m=2×(±4)，m=±8.±8例3把下列各式分解因式：

(1)3ax2+6axy+3ay2

；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.素养考点3利用完全平方公式进行较复杂的因式分解解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)

=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b)·6+62

=(a+b–6)2.

利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.因式分解：(1)–3a2x2＋24a2x–48a2；(2)(a2＋4)2–16a2.＝(a2＋4＋4a)(a2＋4–4a)解：(1)原式＝–3a2(x2–8x＋16)＝–3a2(x–4)2；(2)原式＝(a2＋4)2–(4a)2＝(a＋2)2(a–2)2.有公因式要先提公因式.要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．例4把下列完全平方式分解因式：(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.素养考点4利用完全平方公式进行简便运算

解：(1)原式=(100–99)²

(2)原式＝(34＋16)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.=1.＝2500.

计算:7652×17–2352×17.

解：7652×17–2352×17

=17×(7652–2352)

=17×(765+235)(765–235)

=17×1000×530=9010000.例5

已知:a2+b2+2a–4b+5=0，求2a2+4b–3的值.提示：从已知条件可以看出，a2+b2+2a–4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.素养考点5利用完全平方公式和非负性求字母的值解：由已知可得(a2+2a+1)+(b2–4b+4)=0即(a+1)2+(b–2)2=0

∴2a2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7方法总结：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．

已知x2–4x＋y2–10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．＝112＝121.解：∵x2–4x＋y2–10y＋29＝0，∴(x–2)2＋(y–5)2＝0.∵(x–2)2≥0，(y–5)2≥0，∴x–2＝0，y–5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2

几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.1.下列四个多项式中，能因式分解的是()A．a2＋1B．a2–6a＋9C．x2＋5yD．x2–5y2.把多项式4x2y–4xy2–x3分解因式的结果是()A．4xy(x–y)–x3B．–x(x–2y)2C．x(4xy–4y2–x2)D．–x(–4xy＋4y2＋x2)BB3.把下列多项式因式分解.(1)x2–12x+36;(2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3)y2+2y+1–x2;

(2)原式=[2(2a+b)]²–

2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b–

1)2;解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;

(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).4.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.x2–2x＋3.(2)原式＝

(x2–6x＋9)＝(x–3)2解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2小聪:小明:××完全平方公式分解因式公式a2±2ab+b2=(a±b)2特点(1)要求多项式有三项.(2)其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.学前温故新课早知1.平方差公式:(a+b)(a-b)=

,完全平方公式:(a+b)2=

,(a-b)2=

.

2.把一个多项式化成了几个

的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式

.a2-b2

a2+2ab+b2

a2-2ab+b2整式

分解因式

学前温故新课早知1.因式分解的平方差公式:a2-b2=

,即两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的

.

2.下列各式运用平方差公式分解因式正确的是

(

).A.x2-y2=(x+y)(x+y)B.x2-y2=(x+y)(x-y)C.-x2+y2=(-x+y)(-x-y)D.-x2-y2=-(x+y)(x-y)3.把2x2-18分解因式,结果正确的是

(

).A.2(x2-9) B.2(x-3)2C.2(x+3)(x-3) D.2(x+9)(x-9)(a+b)(a-b)

积

BC2x2-18=2(x2-9)=2(x+3)(x-3).学前温故新课早知4.因式分解的完全平方公式:a2+2ab+b2=

,

a2-2ab+b2=

.

即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.5.下列各式能用完全平方公式分解的是(

).A.x2-1

B.x2+2x-1C.x2+x+1 D.4x2+4x+16.如果把乘法公式的等号两边互换位置,就可以得到用于分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做

.

(a+b)2

(a-b)2D公式法

分析:应用公式法分解因式的关键是认清公式中的字母各代表什么.【例2】

计算:1.992-2.992.分析:1.99相当于平方差公式中的a,2.99相当于平方差公式中的b.解:1.992-2.992=(1.99-2.99)×(1.99+2.99)=(-1)×4.98=-4.98.2.分解因