数学试卷(教师版)【全国5强校】湖南炎德英才大联考雅礼中学2026届高三月考试卷（四）（12.15-12.16）

∅,综上只有A正确.A.ac2>bc2B.a3>b3C.D.a-c>b-d对于B,a3-b3=(a-b((a2+ab+b2(=(a-b因为a>b,若(a则a且b=0,可得a=b=0,这与a>b矛盾,所以(a且a-b>0,故a3-b3=(a-b故a3>b3,故B正确;对于C,当a=1>b=-1时显然不满足,故C错误;对于D,当a=8,b=6,c=4,d=1时,满足a>b,c>d,但a-c=4<b-d=5,a-c>b-d显然=|b|是向量a=b的必要不充分条件共线的单位向量是相等向量或相反向量,故A.256B.512C.1024D.2048a+a2=20,(a1=16,q3a+a2=20,(a1=16,所以an=a1qn-1=16×n-1=25-n,n(4+5-n(n(9-n(325-n=24+3+2+…+(5-n(=22=22,因为n(92-n(=-n29n=-(n-(2+,所以当n=4或n=5时,取得最大值10,直于棱l,若AB=2,AC=3，BD=4，CD=、41，则二面角α-l-β的大小为βDlABβDA.B.C.D.【解析】设<A,B>=θ(0≤θ≤π(,则二面角α-l-β的大小为θ,由题意，CA丄AB,AB丄BD，则A.A=B.A=0,<C,B>=π-θ,-θ(,即二面角α-l-β的大小为.A.B.C.D. n 7.若实数x,y满足x2+2y2-2xy=1,则2x2+2y2的最小值为2-2A.1B.3-5C.D.22【解析】原方程化为(x-y(2+y2=1,令cosθ=x-y,sinθ=y,则2x2+2y2=2(cosθ+sinθ(2+2sin2θO=4-2cos2θ+4cosθsinθ555=4-cos2θ-1+2sin2θ=3+5sin(2θ-φ(≥3-5.其中5558.已知正四面体P-ABC内接于球O,点E是底面三角形ABC的边AB的中点,过点E作球O的截面,若存在半径为3的截面圆,则正四面体P-ABC棱长的则正四面体的高PO1=PC2-O1C2=a22=a,设外接球半径为R,在Rt△OO1C中,OC2=OO+O1C2,即R2=a-R(2+2,解得R=a,所以在Rt△OO1E中,OE=OO+O1E2=2+2=a,此时截面圆的半径为r=R2-OE2=22=a,最大截面圆为过球心的大圆,半径为r=R=a,由题设存在半径为、3的截面圆,所以a≤、3≤a,解得22≤a≤29.若复数z满足(2+i(=4+3i其中i为虚数单位),则下列说法正确的是C.z2=5-4iD.若|z1|=2,则|z1-z|的最大值为5+2【解析】z====1-2i,z.z-=(1-2i(.(1+2i(=1+4=5,故B正确;z2=(1-2i(2=1-4-4i=-3-4i,故C错误;而|z1-z|=|z1-(1-2i(|,即为点P到点(1,-2(之间的距离,所以|z1-z|的最大值为12+(-2(2+2=5+2,故D正确.10.若随机变量X∼N(μ,σ2(,则A.X的正态曲线与y轴只有一个交点B.X的正态曲线关于直线x=σ对称C.2P(X>μ+3σ)=P(|X-μ|>3σ)D若Y=则E(Y(=0,D(Y(=1【解析】若X∼N(μ,σ2(,则其密度函数f(x,因此X的正态曲线与y轴只有一个交点X的正态曲线关于直线x=μ对称，故B错误；P(|X-μ|>3σ(=P(X<μ-3σ(+P(X>μ+3σ(=2P(X>μ+3σ(,故C正确;E(YD(YD(X(=1,故D正确.11.已知函数f(x(=|lnx|-a,g(x(=x,则A.若f(x(存在两个零点x1,x2,则x1x2=1B.若f(x(=g(x(仅有一解,则a=-1C.用[x[表示不大于x的最大整数.若h(x(≠g([x[(,则h(x+1(>h(x(D.若方程f(x(+[g(x([2=0无解,则实数a的取值范围是由图知,不妨取0<x1<1<x2,a=-lnx1=lnx2⇒lnx1+lnx2=lnx1x2=0⇒x1x2=1,故A正确;0<x<1,x≥1,当0<x<1时,y=-x-lnx在区间(0,1(上单调递减;当x≥1时,y=-x+lnx,y/=-1+=≤0,所以y=-x+lnx在区间[1,+∞(上单调递减,-x-lnx,0<x<1,即a=|lnx|-x=-x+lnx,-x-lnx,0<x<1,对于C,因为[x+1[=[x[+1,h(x(所以h(x+1(=g([x+1[(=[x+1[>h(x(=g([x[(=[x[,故C正确;0<x<1,x≥1,当x≥1时,y=x2+lnx在区间[1,+∞(上单调递增,值域为[1,+∞(,当0<x<1时,y=h(x(=x2-lnx,h/(x(=2x-==0⇒x1=,x舍),即0<x<1时,y=h(x(=x2-lnx的值域为,+∞(,故若f(x(+[g(x([2=0有解,则a若方程f(x(+[g(x([2=0无解,则实数a的取值范围+易知S△OAB=S△OAF+S△OBF,而tanθ=、2,则cosθ=.所以、2mn=m+n,即1+所以m+n=(m+n(+=++2(≥2.+2(=62,当且仅当m=n=32时,等号成立,+品做检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1(,且备件产品是否为不合格品相互独立.(2)求f(p(的最大值点p0.【解析】(1)4件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p(=Cp2(1-p(2=6p2(1-p(2.(2)因为f/(p(=6[2p(1-p(2-2p2(1-p([=12p(1-p((1-2p(,令f/(p(=0,得p=0.5.当p∈(0,0.5(时,f/(p(>0;当p∈(0.5,1(时,f/(p(<0.所以f(p(在区间(0,0.5(上单调递增,在区间(0.5,1(上单调递减,所以f(p(的最大值点为p0=0.5.+c2-b2(sinB=、3accos。。B.+c2-b2(sinB=、3accosB,∴sinB=cosB,即cosBsinB=cosB,∴c-2a=sinC-sinA=sin-A(-sinA=cosA-3sinA=2cos(A+(,∵0<A<,∴<A+<π,∴-1<cos(A+<,1=12，AB=A1B1=3，BC=B1C1=4，对角线AA1'分别交BB1，CC1A1B1C1.A1B1C1A1'A1AA1APQBA图1B1C1QPBCBMA1AB1C1QPNCBCM“BB1ⅡCC1,:MNⅡPB,:M,N,P,B四点共面,且平面MNPB交平面APQ于PN,由题可知,AB=3,BC=4,AC=5,QC=7,在Rt△AMN中，AMMN=3=BP，:四边形MNPB为平行四边形,:BMⅡPN,又PNC平面APQ,BM丈平面APQ,:BMⅡ平面APQ.2=AB2+BC2，:AB丄BC.又BB1丄AB,BB1丄BC,分别以BA,BB1PA1zB1PA1zC1QByCByCAMAMx—→(-3,0,3(,AQ=(-3,4,7(,A1P=(-3,0,-9(,A1Q=(-3,4,-5(,设平面APQ的法向量为=(x,y,z(,(n.AQ=-3x+4y+7z=0,设平面A1PQ的法向量为=(x1,y1,z1(,.A—1Q=-3x1+4y1-5z1=0,:平面APQ与平面A1PQ所成夹角的余弦值为椭圆C有且只有一个公共点的直线l与x轴交于点P，A为椭圆C的上顶点，点R是椭圆C上异于点M的一动点.+=1,a=2,2+=1,a=2,24所以椭圆C的方程为x+y2=1.4x24+y2=1联立，x24+y2=1联立，得(m2+4(y2+2mny+n2-4=0，由椭圆C与直线l只有一个交点，令Δ=0,即n2-m2-4=0,①又直线l:x=my+n过点M(3,(,则3=m+n,②=2S△OPM，6故直线MR的方程为y=3x.6(y=kx+1,4+y2=1,AQ:y=kx+1，联立{x2可得(4k2+1(x+4+y2=1,联立,可得2kx2+(2k+1(x=0,12k则xS=-21=-1-2,则yS=-k+,12k则xS=-21=-1-2设lRQ:y=-x+p,联立{+-2,p,可得x2-2px+2p2-2=0,则xR,又yQ=-xQ+p,可得p=-4+1,设直线SR与x轴交于点T(t,0(,则lSR:y=-k(x-t(,代入点S,可得t=-2,19.设函数f(x(=2acosx-e-x,f/((=e+1，(2)证明:f(x(在区间2nπ+,2nπ+|(n∈N(上有唯一零点xn；【解析】(1)f/(x(=-2asinx+e-x,则fa+e1,故a.(2)令f(x(=cosx-e-x=0，得excosx=1，令g(x(=excosx-1,g/(x(=ex(cosx-sinx(.x(≤0,所以g(x(在区间2nπ+,2nπ+|(n∈N(上单调递减，又g(2nπ+=e2nπ+×-1>0,g(2nπ+=-1<0,故f(x(在区间n∈N(上有唯一零点xn.(3)记