2025年大学数学（排除）试题及答案

2025年大学数学（排除）试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）答题要求：本大题共10小题，每小题3分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}+\ln(x-1)$的定义域是（）A.$(1,2)$B.$(1,2]$C.$(2,+\infty)$D.$[2,+\infty)$2.已知函数$f(x)$是奇函数，当$x\gt0$时，$f(x)=x^2-2x$，则当$x\lt0$时，$f(x)$的表达式为（）A.$-x^2-2x$B.$-x^2+2x$C.$x^2+2x$D.$x^2-2x$3.曲线$y=x^3-3x^2+1$在点$(1,-1)$处的切线方程为（）A.$y=3x-4$B.$y=-3x+2$C.$y=-4x+3$D.$y=4x-5$4.下列函数中，在区间$(0,+\infty)$上单调递增的是（）A.$y=-x^2$B.$y=\frac{1}{x}$C.$y=\lnx$D.$y=\sinx$5.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为（）A.5B.7C.11D.136.若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$是第二象限角，则$\cos\alpha$的值为（）A.$-\frac{4}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$-\frac{3}{5}$D.$\frac{3}{5}$7.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=1$，$a_3=5$，则$S_5$的值为（）A.15B.20C.25D.308.函数$y=2\sin(2x-\frac{\pi}{3})$的最小正周期为（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$\frac{\pi}{4}$9.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的渐近线方程为$y=\pm\frac{3}{4}x$，则该双曲线的离心率为（）A.$\frac{5}{4}$B.$\frac{4}{3}$C.$\frac{5}{3}$D.$\frac{3}{5}$10.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdotf(b)\lt0$，则方程$f(x)=0$在区间$(a,b)$内（）A.至少有一个实根B.至多有一个实根C.没有实根D.必有唯一实根第II卷（非选择题共70分）答题要求：本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11.（10分）求函数$y=x^3-3x^2-9x+5$的单调区间和极值。12.（12分）已知向量$\vec{a}=(\cos\theta,\sin\theta)$，$\vec{b}=(2,-1)$。（1）若$\vec{a}\perp\vec{b}$，求$\tan\theta$的值；（2）若$|\vec{a}-\vec{b}|=2$，$\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$，求$\sin(\theta+\frac{\pi}{4})$的值。13.（12分）已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$。（1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；（2）设$b_n=\frac{1}{a_n+1}$，求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$S_n$。材料：在平面直角坐标系中，已知圆$C$的方程为$(x-1)^2+(y-2)^2=4$。14.（13分）（1）求圆$C$的圆心坐标和半径；（2）若直线$l$过点$P(2,3)$，且与圆$C$相切，求直线$l$的方程。材料：已知函数$f(x)=x^2-2x+3$，$g(x)=\log_2x+m$。15.（13分）（1）当$m=1$时，求函数$y=f(x)+g(x)$的最小值；（2）若对任意$x_1\in[1,4]$，总存在$x_2\in[1,4]$，使得$f(x_1)\geqg(x_2)$成立，求实数$m$的取值范围。答案：1.C2.A3.B4.C5.D6.A7.C8.A9.Al0.A11.对函数求导得$y^\prime=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$。令$y^\prime=0$，解得$x=-1$或$x=3$。当$x\lt-1$时，$y^\prime\gt0$，函数单调递增；当$-1\ltx\lt3$时，$y^\prime\lt0$，函数单调递减；当$x\gt3$时$y^\prime\gt0$，函数单调递增。所以极大值为$f(-1)=10$，极小值为$f(3)=-22$。12.（1）因为$\vec{a}\perp\vec{b}$，所以$2\cos\theta-\sin\theta=0$，即$\tan\theta=2$。（2）由$|\vec{a}-\vec{b}|=2$可得$(\cos\theta-2)^2+(\sin\theta+1)^2=4$，展开得$\cos^2\theta-4\cos\theta+4+\sin^2\theta+2\sin\theta+1=4$，利用$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$化简得$2\sin\theta-4\cos\theta=-2$，即$\sin\theta-2\cos\theta=-1$，结合$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$且$\theta\in(0,\frac{\pi}{2})$，解得$\sin\theta=\frac{3}{5}$，$\cos\theta=\frac{4}{5}$，所以$\sin(\theta+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin\theta+\cos\theta)=\frac{7\sqrt{2}}{10}$。13.（1）由$a_{n+1}=2a_n+1$可得$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，所以数列$\{a_n+1\}$是以$2$为首项，$2$为公比的等比数列，则$a_n+1=2^n$，即$a_n=2^n-1$。（2）$b_n=\frac{1}{a_n+1}=\frac{1}{2^n}$，这是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，根据等比数列求和公式可得$S_n=1-\frac{1}{2^n}$。14.（1）圆$C$的圆心坐标为$(1,2)$，半径$r=2$。（2）当直线$l$的斜率不存在时，直线方程为$x=2$，满足与圆相切；当直线$l$斜率存在时，设斜率为$k$，直线方程为$y-3=k(x-2)$，即$kx-y+3-2k=0$，由圆心到直线距离等于半径可得$\frac{|k-2+3-2k|}{\sqrt{k^2+1}}=2$，解得$k=-\frac{3}{4}$，此时直线方程为$3x+4y-18=0$。所以直线$l$的方程为$x=2$或$3x+4y-18=0$15.（1）当$m=1$时，$y=f(x)+g(x)=x^2-2x+3+\log_2x+l$，求导得$y^\prime=2x-2+\frac{1}{x\ln2}$，在定义域内$y^\prime\gt0$，函数单调递增，所以最小值在$x=1$处取得，$y(