广东省广州市三校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省广州市三校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题一、单选题．本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过点（1，－1）且一个方向向量为（1，）的直线l的方程是（）A.3x+2y－1＝0 B.3x+2y+1＝0 C.2x+3y+1＝0 D.x－2y－3＝0【答案】A【解析】直线l的一个方向向量为（1，），且经过（1，－1），故直线l的斜率k＝，故直线方程为：y+1＝（x－1），即3x+2y－1＝0，故选：A.2.若构成空间的一个基底，则下列选项可构成空间的另一个基底的是（）A B.C. D.【答案】D【解析】对A：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底；对B：因为，所以向量共面，所以不能构成空间向量的基底；对C：因为，所以共面，所以不能构成空间向量的基底；对D：因为不存在，使得，所以不共面，所以可以作为空间的另一组基底.故选：D.3.若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意可设椭圆的标准方程为：，.则，解得：，，所以椭圆的方程为.故选：B.4.两圆与的公共弦长等于（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】两圆为①，②①②可得：．两圆的公共弦所在直线的方程是，的圆心坐标为，半径为，圆心到公共弦的距离为，公共弦长．故选：B．5.在平行六面体中，，，则的长为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依题意，，所以.所以.故选：B.6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记，则为直线的斜率，故当直线与半圆相切时，斜率最小，设，则，解得或（舍去），即的最小值为.故选：C.7.在四棱锥中，，，，则此四棱锥的高为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设平面的法向量为，则，又，，所以，令，可得，，所以为平面的一个法向量，又，所以向量在法向量上的投影向量的大小为，所以四棱锥的高为.故选：D.8.阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为.同理可知，与分别为平面与的一个法向量.设直线的方向向量为，则，不妨取，则.设直线与平面所成的角为，则.所以.故选：D.二、多选题．本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，错选不得分，漏选得部分分.9.已知直线，下列说法正确的是（）A.直线过定点B.当时，关于轴的对称直线为C.直线一定经过第四象限D.点到直线最大距离为【答案】BD【解析】对于A，直线，所以直线过定点，故A错误；对于B.当时，直线方程为，关于轴的对称直线为，故B正确；对于C，当时，直线方程为，直线不经过第四象限，故C错误；对于D，如图所示：设，由图象知：，点到直线的最大距离为，故D正确；故选：BD.10.已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（）A. B.的最大面积为C.存在点P，使得 D.的周长最大值是【答案】ABD【解析】对A，由题知，，则，设，，则，A正确；对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B正确；对C，，则，C错误；对D，由椭圆定义可知，，所以，又，所以，当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确.故选：ABD.11.如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形上的动点，则（）A.满足平面的点的轨迹长度为B.满足的点的轨迹长度为C.存在唯一的点满足D.存在点满足【答案】AC【解析】对于A，取的中点，的中点，又点为的中点，由正方体的性质知，，，，所以平面平面，又平面，平面，故点的轨迹为线段，故A正确；以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，设，且，，，，对于B，，即，又，，则点的轨迹为线段，,且，故B错误；对于C，,显然，只有时，，即，故存在唯一的点满足，故C正确；对于D，点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短，故，故不存在点满足，故D错误.故选：AC.三、填空题．本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆与圆有且仅有一条公切线，______.【答案】【解析】由，显然，又只有一条公切线，所以相内切，将点坐标代入圆方程知，即在圆外部，所以圆内切于圆，则有，解之得.故答案为：13.设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________.【答案】【解析】设，，则，，即，，即，当且仅当时等号成立，故，即，.故答案为：14.设，过定点A的动直线与过定点B的动直线的交点为P，则的最大值为________．【答案】【解析】直线过定点，直线，即，经过定点，当时，直线；直线，交点，当时，它们的斜率之积等于，两条直线垂直，，点P是以为直径的圆上，，，当且仅当时，等号成立，,综上可得，的最大值为.故答案为：.四、解答题．本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知圆的圆心在直线上，且经过点，.（1）求圆的标准方程；（2）求经过点且与圆相切的直线方程.解：（1）线段的中点，直线的斜率，则线段的中垂线方程为，即，由，解得，，因此圆的圆心，半径，所以圆的标准方程为.（2）点到直线的距离为2，即直线与圆相切；当切线斜率存在时，设切线方程为，即，由，解得，因此方程为，所以经过点且与圆相切的直线方程为或.16.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，，点、分别为线段和的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离.（1）证明：因为底面是直角梯形，，所以，因为，为中点，则，又因为，，且，所以四边形是矩形，则，因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，又平面，所以，又因为，为中点，所以，又，且平面，所以平面.（2）解：以点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，，，由（1）知平面，所以为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，设平面与平面夹角为，所以.则平面与平面夹角的余弦值为.（3）解：由（2）得，则点到平面距离.17.已知椭圆的左焦点为，为坐标原点，过点的直线交于两点，当与轴垂直时，.（1）求椭圆的方程；（2）若直线的斜率存在且不为，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围.解：（1）由题意知，半焦距，当与轴垂直时，设点在轴的上方，将代入方程得，，所以，则，解得或（舍），所以，故椭圆的方程为.（2）如图：设直线的方程为，与联立得，，设点，，的中点为，由根与系数的关系可得，，，所以，.直线的垂直平分线的方程为，令，则，因为，所以，即点横坐标的取值范围是.18.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，活动弹子在上移动.（1）求证：直线平面；（2）a为何值时，的长最小?（3）为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值.（1）证明：如图1，在平面内，过点作，交于点，连接，因为，所以.由已知可得，，，所以，，，所以，，所以，.又，所以.因为平面，，平面，所以，平面.同理可得，平面.因为平面，平面，，所以，平面平面.因为平面，所以直线平面.（2）解：由（1）可知，，，所以，所以.同理可得，.又平面平面，平面平面，，平面，所以，平面.因为平面，所以.因为，，所以.所以，是直角三角形，所以，.又，所以，即为线段中点时，有最小值，所以，当时，的长度最小，最小值为.（3）解：由（2）知，平面，又，如图2，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，设，，所以，，，.设是平面的一个法向量，则，取，则是平面的一个法向量.因为.设与平面所成的角为，则.当时，；当时，有.因为，当且仅当，即时等号成立，所以，，，所以，.因为，所以.综上所述，与平面所成角的正弦值的最大值为.19.圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差：在平面上任给两个不同心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴.已知圆与圆.（1）求圆C与圆M的根轴l；（2）已知点P为根轴l上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为A，B，当最小时，求直线的方程；（3）给出定点，设N，Q分别为根轴和圆M上的动点，求的最小值及此时点N的坐标.解：（1）由题圆的圆心为，半径为；圆圆心为，半径为，设点为圆C与圆M的根轴l上的任意一点，则由题可得，即，整理得，即圆C与圆M的根轴l为直线.（2）由题意可知且，，设与相交于点H，则，又，所以，所以取得最小值时即取得