广东省领航高中联盟2025-2026学年高二上学期12月检测考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省领航高中联盟2025-2026学年高二上学期12月检测考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】因双曲线，所以，，则，所以.故选：B.2.过点的直线的倾斜角为，则在轴上的截距为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题知的斜率为，所以的方程为，令，得.故选：B.3.在空间直角坐标系中，已知，，若点与点关于平面对称，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由点与点关于平面对称，得，所以.故选：A.4.若椭圆：（）仅经过，，中的一个点，则椭圆的短轴长为（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】因为，关于轴对称，椭圆也关于轴对称，所以，要么都在椭圆上，要么都不在椭圆上，而椭圆仅经过，，中的一个点，所以椭圆经过，代入得，解得，所以椭圆的短轴长为.故选：B.5.已知直线：与直线：交于点，则（）A.点为定点 B.直线可能同时经过第三、四象限C.直线可能不经过第三象限 D.存在定点，使得定值【答案】D【解析】联立，可得，显然点随的变化而变动，故A错误；直线的方程可化为，该直线经过点在轴的正半轴上，不可能同时经过第三、四象限，故B错误；直线的方程可化为，该直线经过点在第三象限，直线经过第三象限，故C错误；当时，；当时，，则，所以，则，取的中点，则为定值，故D正确.故选：D.6.若直线（）与圆：及圆：共有2个公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，当直线与相交相离时，则，解得；当直线与和都相切时，则，无解；当直线与相离相交时，则，无解.综上所述，的取值范围是.故选：C.7.已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，由点为的中点，可得，所以.因为，所以点在平面内，的最小值就是三棱锥的高，由，得，得.故选：C.8.已知双曲线：（），的右支上存在两点,，使得线段的中点是.若过的右焦点且垂直于轴的直线与的右支分别交于点,，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，，由线段中点为，则且，，.因为，，两式相减整理得，即，所以，所以直线的斜率为，由于双曲线渐近线方程为：，因为直线与的右支有2个交点，所以，化简得，解得.把代入，得，依题意，点在点的下方，所以，解得.综上得，.由于，将代入中，计算可得，则，由于当时，随的增大而增大，又当时，.所以，则的取值范围是故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线：，则（）A.可能是椭圆 B.不可能是双曲线C.不可能是圆 D.可能是两条直线【答案】AD【解析】当，时，为椭圆，故A正确；当，时，为双曲线，故B错误；当时，为圆，故C错误；当，时，为两条直线，故D正确.故选：AD.10.下列结论正确的是（）A.若为空间的一组基底，则，，也能构成空间的一组基底B.若为空间的一组基底，则不存在，，使得C.若为直线的一个方向向量，为平面的法向量，则D若，，则对任意实数，，不共线【答案】BCD【解析】对于A：因为，所以，，共面，不能构成空间的基底，故A错误；对于B：若存在，，使得，则，，共面，不满足题意，故B正确；对于C，由，可得，C正确；对于D：因为，所以对任意实数，，不共线，故D正确.故选:BCD.11.已知点，圆：（），定义直线：为点的“伴随线”，则下列结论正确的有（）A.若点在圆上，则点的“伴随线”与圆相切B.若点在圆外，过点作两直线与圆分别相切于点，，则直线为点的“伴随线”C.若点在圆内，则点的“伴随线”与圆相交D.若点，在圆上，它们的“伴随线”分别为，，且垂直，则【答案】ABD【解析】选项A：当点在圆上时，，圆心到的距离，点的“伴随线”与圆相切，故A正确；选项B：设，，则圆在点，处的切线方程分别为：，．因为点在这两条切线上，所以，，所以点，都在直线上，所以直线的方程为，故B正确；选项C：当点在圆内时，，圆心到的距离，“伴随线”与圆不相交，故C错误；选项D：设，，易知：，：，因为，垂直，所以，所以，即，所以，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系中，点到轴的距离为______.【答案】3【解析】点到轴的距离为.故答案为：3.13.已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为______.【答案】或【解析】在椭圆中，，，则，故是的上焦点，设的下焦点为，由椭圆定义可得，故，如下图所示：则，当且仅当点为延长线与的交点时取等号.故的最大值为.故答案为：.14.已知，则的取值范围是______.【答案】【解析】设，，则（，），，表示圆弧（，）上的点与点连线的斜率，如图，连线过，时斜率最大为，连线与圆弧相切时斜率最小，设最小斜率为k，则此时切线方程为，即，则，解得（舍去）或，即连线与圆弧相切时斜率最小为，所以的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线：与轴交于点，原点为.（1）若直线过点，且与平行，求的一般方程；（2）若圆过点，两点且与相切，求圆的标准方程.解：（1）把代入，得，所以直线的斜率，直线.因为，所以的斜率，所以的方程为，即.（2）法一：设圆的标准方程为（），由题意可得，解得或，所以圆的方程为或.法二：因为圆过原点，所以点在线段的垂直平分线上，设圆的方程为（），由圆过点，得，由圆与相切，得，即，整理得，解得或，当时，，当时，，所以圆的方程为或.16.已知，，动点满足，点的轨迹为.（1）求的方程；（2）若点在上，且，求的面积.解：（1）由双曲线的定义及，可得点的轨迹是焦点在轴上的双曲线，设其标准方程为（，），则，解得，，所以的方程为.（2）设，，由双曲线的定义得，因为，所以，所以的面积为.17.如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，，点为的中点，.（1）证明：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：由，，，可得，，因为，所以，又，所以.因为点为的中点，，所以.因为，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，平面，，所以平面，因为平面，所以，所以，，两两垂直.以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，设平面的一个法向量为，则，即，取，得，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.18.如图，在三棱柱中，点为的中点，记，，.（1）用，，表示；（2）若三棱锥是棱长为2的正四面体，求；（3）若三棱锥是正三棱锥，且异面直线与所成角的余弦值大于，求的取值范围.解：（1）由已知，，，则.（2）因为三棱锥是棱长为2的正四面体，所以，则.因为，所以.（3）由三棱锥是正三棱锥，设，，则，所以，则，则，.因为，所以，.设异面直线与所成的角为，则，解得，所以的取值范围是.19.已知椭圆：经过点，且与椭圆：的离心率平方之和为.（1）求的方程；（2）已知，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线与交于点，.（i）若，分别在第一、四象限，求四边形面积的取值范围；（ii）若直线，的倾斜角分别为，，且，求直线与直线的交点到直线的距离.解：（1）由椭圆经过点，得，解得，所以椭圆的离心率为；椭圆的离心率为，由椭圆与椭圆的离心率平方