海南省部分学校2026届高三上学期学业水平诊断数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1海南省部分学校2026届高三上学期学业水平诊断数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以，又，所以.故选：C.2.已知复数，则（）A.2 B. C.1 D.0【答案】C【解析】由于，得到.故选：C.3.已知平行四边形的对角线AC与BD相交于点，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.4.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由不等式可得，且，所以.不等式的解集为.故选：B.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，故，故选：D.6.若函数且在区间上的值域为，则（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】由指数函数的性质知必是单调函数，又，因为值域为，所以函数在上单调递增，故，即，解得，又，故.故选：B.7.已知正数a，b，c满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意知a，b，c分别是方程的正根，即函数的图象与的图象的交点的横坐标，作出相应图象如图，由图可知.故选：A.8.已知函数，对任意，都满足，则正数的最大值为（）A. B.e C. D.2e【答案】B【解析】由题意可知的定义域为，由条件可得，所以.设，则在上单调递增.求导得，则在上恒成立，所以，即恒成立，易知在上单调递增，故只需，即在时恒成立即可.设，则，可知在上单调递减，在上单调递增，则，所以，即的最大值为e.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，且，则（）A. B.C.的夹角为 D.【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以，又，所以，故，A正确；对于B，由选项A的解析可得，因为，所以与不共线，故B错误；对于C，设的夹角为，则，又，所以，故C正确；对于D，，所以，所以，故D正确.故选：ACD.10.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的最大值为1C.的图象关于直线对称D.将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称【答案】AD【解析】，对于A，，所以的最小正周期为，故A正确；对于B，的最大值为2，故B错误；对于C，当时，，所以直线不是图象的对称轴，故C错误；对于D，，为奇函数，故D正确.故选：AD.11.已知函数的定义域为，且，则（）A.B.在上单调递增C.存在函数，使得的值域为D.存在函数，使得是奇函数【答案】BCD【解析】令，得，所以或.对于A，若，则对任意，左边，右边，矛盾，故A错误；对于B，若，则对任意，可得，经检验，符合题意，易知在上单调递增，故B正确；对于C，的值域为，只要满足定义域为，值域为即可，如，，符合题意，故C正确；对于D，令，得，而定义域为，，故即为奇函数，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，且，则xy的最大值为_____________.【答案】1【解析】因，则，所以，当且仅当时等号成立，则xy的最大值为.故答案为：.13.若，则____________.【答案】【解析】由得，则，所以.故答案为：.14.已知函数，过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为____________.【答案】【解析】设过点的直线与的图象相切于点，则切线斜率，由切线过点，得，因此，整理得.令，则，原问题等价于有三个不同零点.当时，单调递增，最多有1个零点，不符合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，极大值为，极小值为，要使有三个零点，需满足且，即，解得；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，极小值为，极大值为，要使有三个零点，需满足且，即，解得；综上，的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某公司为提升员工对人工智能模型的应用能力，组织了知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛.（1）初赛选手需从6道题中随机抽取2道作答，至少答对1道就可进入复赛，已知员工甲能答对这6道题中的4道，求甲进入复赛的概率；（2）复赛选手需从大量题中随机抽取2道作答，已知员工乙进入了复赛，他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，设乙在复赛中答对的题数为，求的分布列、数学期望与方差.解：（1）甲进入复赛的概率为.（2）的所有可能取值为0，1，2，，，分布列如下：X012P解法一：，解法二：因为，所以.16.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求；（2）若的平分线与BC交于点，求AD.解：（1）由条件及正弦定理可得，则，又因为，所以，故；（2）由余弦定理得，将代入，得，所以，因为为的平分线，，得，解得.17.如图，四边形是等腰梯形，是的中点，是与的交点，将沿折到的位置.（1）证明：平面；（2）若平面，求二面角的正弦值.（1）证明：如图，连接.为的中点，，又且四边形为菱形，.，又平面.与四边形为菱形同理，可知四边形为菱形，平面（2）解：由（1）可知即是边长为2的等边三角形，又平面，所以两两互相垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，已知，则，设平面的一个法向量为，则，取.设平面的一个法向量为，则取.故二面角的正弦值为.18.已知椭圆的离心率为，上的点到两个焦点的距离之和为4.（1）求的方程.（2）过的右焦点且不与轴重合的直线与交于A，B两点，过点作直线的垂线，垂足为D，O为坐标原点.（i）证明：直线恒过点；（ii）求的面积的最大值.（1）解：设的半焦距为.由椭圆的定义可知，所以.又，得，所以，故的方程为.（2）（i）证明：由的方程可得，设，点.将与的方程联立可得，所以.直线，令，可得，其中，所以直线BD恒过点.（ii）解：设，则.记，则，，设，，则，当时，单调递减，所以，故的面积的最大值为.19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设为正数，证明：中至少有一个小于；（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.（1）解：由题意可知的定义域为.令，得，故当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减.（2）证