河北省沧州市八校联考2026届高三上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省沧州市八校联考2026届高三上学期11月期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的．1.设集合，，则的子集个数为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】因为，所以其子集个数为．故选：B.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】由于全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定是：，.故选：C.3.复数的实部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故实部为.故选：C.4.已知，，且，则的最小值为（）A.9 B.6 C.4 D.【答案】D【解析】因为，所以，所以，因为，，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以所求最小值为．故选：D.5.已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则（）A. B.14 C. D.【答案】C【解析】因为，的周期为2，所以．因为为偶函数，所以．因为当时，，所以．故选：C.6.设动点满足，则点的轨迹的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，故点到点与点的距离之和为，又，故点的轨迹为以、为焦点，为长轴长的椭圆，则点的轨迹的离心率.故选：A.7.蹴鞠（如图所示），类似今日的足球运动，被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．已知某鞠表面上的四个点A，B，C，D满足cm，cm，cm，则该鞠的表面积为（）A.cm2 B.371πcm2 C.742πcm2 D.cm2【答案】A【解析】因为某鞠表面上的四个点A，B，C，D满足cm，cm，cm，所以可以把空间四面体放到如下图所示的长方体中，设长方体的棱长分别为，则有，于是该长方体的对角线长为，所以蹴鞠的半径为，于是该鞠的表面积为，故选：A.8.对任意，存在，使得不等式成立，则a的最大值为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】由，得，所以当时，取得最小值，最小值为，所以．因为，所以．因为在上单调递增，所以的最大值为，故a的最大值为6．故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知双曲线，则（）A.的虚轴长为4B.的焦距为C.的实轴长为4D.的渐近线方程为【答案】BCD【解析】双曲线的焦点在轴上，且，即，所以，则，所以的虚轴长为，A错误；的焦距为，B正确；的实轴长，C正确；的渐近线方程为，D正确.故选：BCD.10.如图，这是函数（，）的部分图象，则（）A.B.图象的一个对称中心为点C.图象的一条对称轴为直线D.在上单调递增【答案】ACD【解析】由图可知，，因为，所以，故A正确．因为是在y轴右侧的第一个零点，所以，得，故．因为，所以点不是图象的对称中心，故B不正确．因为，所以直线是图象的对称轴，故C正确．令，，解得，，令，得，故D正确，故选：ACD．11.古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（）A.圆C的方程为B.的最大值为C.M为直线上一动点，则的最小值为D.若O为坐标原点，则的最大值为【答案】BCD【解析】设点，因为，所以，整理得，所以圆C的方程为，故A错误．因为，所以．因为，所以，故B正确．设A关于直线的对称点为，则解得因为，所以，所以当，C，M三点共线时，有最小值．因为，所以，故C正确．设，，因为，，所以，所以当时，有最大值，最大值为，故D正确．故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是__________．【答案】【解析】因为“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，所以．即的取值范围是，故答案为：.13.已知向量，满足，，且，的夹角为60°，则________.【答案】【解析】因为，，且，的夹角为60°，所以，所以．故答案为：.14.若表示不大于的最大整数，曲线在点处的切线经过点，则___________，数列的前项和___________.【答案】①.42②.【解析】因为，，曲线在点处的切线方程为，又因为切线过点，所以，可得，所以，所以，.故答案为：42；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）求；（2）若，，求b和的值．解：（1）因为，所以，所以，整理得，因为，所以，（2）因为，，，所以，所以．因为，，所以，所以，，因为，，，所以，因为，所以，故．16.已知抛物线的焦点到直线的距离为.（1）求的准线方程；（2）若直线经过点，直线与交于两点，为坐标原点，证明：.（1）解：由题可知，则其到的距离为，又，所以，所以抛物线的准线方程为；（2）证明：由（1）得抛物线的标准方程为由题可知，直线斜率不为0，所以设直线,设，联立得，所以，，所以，所以.17.四棱锥中，底面是正方形，为正三角形，，E为的中点．（1）证明：平面．（2）证明：平面平面．（3）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：证明：连接，交于F，连接．因为E为的中点，F为的中点，所以为的中位线，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）证明：因为四边形为正方形，所以．因为，，平面，所以平面．因为平面，所以．因为为等边三角形，且E为的中点，所以．因为，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（3）解：过点P作，垂足为O，由是等边三角形，可知O为的中点．又因为平面，平面，所以平面平面，又因为平面平面，平面PDC，所以平面．设的中点为Q，连接，则，平面．以O为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，则，，，，．设是平面ACE的法向量，因为，，所以令，得．取PC的中点M，连接DM，由中点得，所以，由等边可知：，因为平面，平面，所以，又因为，所以，又因为平面，所以平面，即为平面的一个法向量．则，所以平面与平面夹角的余弦值为．18.已知数列，，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和；（3）设函数，若，，求λ的最大值．解：（1）因为，所以当时，．因为，所以．当时，，所以，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，即．是首项为2，公差为2的等差数列，所以，即，故．（2）因为，所以．（3）因为，所以．因为，所以，所以．不等式可化为．令，，则．当时，，所以；当时，，所以，所以，故λ的最大值为．19.已知函数．（1）若，，求a的取值范围．（2）当时，．①判断函数在内的零点个数；②证明：．（1）解：因为，，所以对恒成立．因为，所以．由，可得，即，其中，．令，，因为，所以在上单调递增．不等式等价于，所以，所以．令，则，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以a的取值范围是．（2）①解：因为，所以．令，则．a.当时，因为，所以，，所以恒成立，此时，在内无零点．b.当时，