河北省邯郸市魏县六校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邯郸市魏县六校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知直线可化为，则其斜率为.故选：A.2.已知空间中三点共线，则（）A.2 B.0 C.1 D.-1【答案】B【解析】因为三点共线，所以，因为，所以，解得.故选：B.3.已知数列，则该数列的一个通项公式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】将数据代入各个选项中，验证可知，该数列的一个通项公式为.故选：D.4.若直线与互相垂直，则（）A. B. C.4 D.1【答案】C【解析】由题意知，所以.故选：C.5.已知双曲线的两个焦点为，双曲线上有一点，若，则（）A.10 B.2 C.2或10 D.14【答案】A【解析】因双曲线，所以，故，即，由双曲线的定义知，，所以或，当时，,不合题意，舍去.故.故选：A.6.在四面体中，.设，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】.故选：C.7.一条沿直线传播的光线经过点，且在轴上的截距为，然后被直线反射，则反射光线所在直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】入射光线所在直线的方程为，即，由解得，即入射点的坐标为，设关于直线对称的点为，则，解得，即，因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线的方程为，即．故选：B．8.阿基米德在数学方面贡献巨大.抛物线上任意两点处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交于点，则“阿基米德三角形”面积的最小值为（）A.18 B.24 C.27 D.36【答案】D【解析】抛物线的焦点为，准线方程为.显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由得，则.设直线的方程为，由得.因为直线与抛物线相切，所以，所以，即直线的方程为.同理直线的方程为，联立与可得，，又，所以.设的中点为，则的坐标为.故两点横坐标相同，即与轴平行，不妨设，所以，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为36.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于椭圆，下列选项正确的是（）A.椭圆的长轴长为B.椭圆的一个顶点为C.椭圆的焦距为D.椭圆的离心率为【答案】BD【解析】由椭圆的方程可得，所以，所以椭圆的长轴长为，故A错误；短轴端点为，则一个顶点为，故B正确；因为，所以椭圆的焦距为，故C错误；离心率为，故D正确.故选：BD10.已知是空间的一个单位正交基底，则下列向量可以做基底的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因为，所以共面，故A不符合题意；因为方程，化简可得，由题意易知方程无解，所以不共面，故B符合题意；因，所以共面，故C不符合题意；因为方程，化简可得，由题意可得，易知该方程组无解，所以不共面，故D符合题意.故选：BD.11.关于的方程有唯一解，则的取值可能是（）A. B.1 C. D.5【答案】ABC【解析】关于的方程有唯一解，即曲线（以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分）与直线有唯一公共点，如图，当直线经过点时，；当直线经过点时，4.若直线与曲线相切，则，得，数形结合可知，的取值范围是.故选：ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若圆上到直线的距离为5的点刚好有3个，则__________，直线被圆截得的弦长为__________.【答案】①.10②.【解析】由题意，圆心，则圆心C到直线l的距离，因为圆上到直线的距离为5的点有且仅有3个，所以，则直线被圆截得的弦长为.故答案为：10；13.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为______.【答案】【解析】因为向量，，所以向量在向量上的投影向量，其模为.故答案为：.14.曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆上点处的曲率半径公式为.若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为，则椭圆的标准方程为__________.【答案】【解析】因为点在椭圆上，则，即，所以，因为，所以，则，所以，则，，所以，故椭圆的标准方程为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在长方体中，.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求到平面的距离；（3）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则，.因为，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.（2）设平面的法向量为，则，令，得.设到平面的距离为，则，即到平面的距离为.（3）设直线与平面所成的角为，∵，∴，即直线与平面所成角的正弦值为.16.已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）已知直线交曲线于两点，且的中点为，求直线的方程.解：（1）由题意知，动点到点的距离比它到直线的距离小2，则动点到点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则，两式相减得，整理得，因为的中点为，所以，则，所以直线的方程为，即.又直线过点，故直线与抛物线相交，满足条件17.已知是等差数列的前项和，.（1）求的通项公式；（2）求的最值；（3）设，求数列的前20项和.解：（1）设数列的首项为，公差为，则解得，故的通项公式为.（2）因为，所以单调递增.因为，所以的最小值为，无最大值.（3）由（1）可知，，所以易知为等差数列.设的前项和为，则，所以数列的前20项和为18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面和平面都垂直于平面，，分别为，的中点，直线与相交于点.（1）证明：平面.（2）判断与是否垂直，并说明理由.（3）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以.同理，平面，所以，所以直线两两垂直，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.因为，所以因为平面平面，所以平面（2）解：设，因为，所以，得，所以.因为，所以，故与不垂直.（3）解：设平面的法向量为，因为，所以，令，得.设平面的法向量为，因为，所以，令，得因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.19.已知双曲线的离心率为，虚半轴长为．（1）求双曲线的方程．（2）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，证明：为定值．（3）已知坐标原点为，定点为双曲线上两个不重合的动点，直线，分别与轴交于点，点在直线上，且.试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点和；若不存在，请说明理由．（1）解：因为虚半轴长为，所以.因为离心率为，所以，因为，所以，所以双曲线的方程为．（2）证明：如图所示：双曲线渐近线方程为，双曲线上一点到渐近线的距离之