河北省邯郸市五校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邯郸市五校2025-2026学年高二上学期期中联考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆的焦距为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，，有，可得椭圆的焦距为.故选：D.2.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为在轴上的垂足的坐标为.所以点关于轴对称的点就是关于的对称点.所以对称点为，即.故选：C.3.已知，，则以线段为直径的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由中点坐标公式可知，的中点坐标为,点为以线段为直径的圆的圆心；半径，所以以线段为直径的圆的方程为.故选：B.4.点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】联立方程,可得点的坐标为,所以直线的方程为.故选：B.5.“曲线表示椭圆”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若曲线表示椭圆，有，可得或，“曲线表示椭圆”可以推出“”，“”不可以推出“曲线表示椭圆”，可得“曲线表示椭圆”是“”的充分不必要条件.故选:A.6.已知点在平面内，向量为平面的一个法向量，则下列各点不在平面内的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设点为平面内任意一点，有，所以，可得.对于选项A：，故在平面内，故A错误；对于选项B：，故在平面内，故B错误；对于选项C：，故不在平面内，故C正确；对于选项D：，故在平面内，故D错误；故选：C.7.已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（）A.8 B.9 C. D.10【答案】B【解析】由双曲线的虚半轴长为，有，可得，可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4，设双曲线的右焦点为，由双曲线的性质有，当且仅当点在线段上时，等号成立，故的最小值为9.故选：B.8.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，是的中点，是的中点，过，，三点的平面与相交于点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，则，且两两夹角为，因此，因为是的中点，所以，同理，又，因为点在上，所以设，所以，又，，，四点共面，所以存在唯一的实数对，使得，故，所以，解得，所以，所以，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，则（）A.直线倾斜角为B.原点到直线的距离为C.直线不经过第一象限D.直线的一个方向向量的坐标为【答案】BC【解析】对于A：由直线的斜率为，可得直线的倾斜角为,故A选项错误；对于B：原点到直线的距离为,故B选项正确；对于C：由直线与轴和轴的交点分别为,,可知直线不经过第一象限，故C选项正确；对于D：由,可得向量不是直线的一个方向向量，故D选项错误.故选：BC.10.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，则（）A.若直线是平面和平面的交线，则B.直线与所成角的余弦值为C.平面与平面的夹角的余弦值为D.点到平面的距离为【答案】ABD【解析】对于A：因为底面是菱形，所以，又因平面，平面，所以平面.又平面平面，平面，由线面平行的性质定理有，故A正确；设的中点为O，连，因为等边三角形，所以，而平面平面，所以平面.又底面是边长为2的菱形，，所以三角形是等边三角形，所以，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图：所以，，.对于B：，所以，故B正确；对于C：设平面的法向量为，，由，得，令，则，所以.再设平面的法向量为，，由，得，令，则，所以.所以，故C错误；对于D：因，平面的法向量，与同方向单位法向量，所以在上的投影向量的模为，故D正确.故选：ABD.11.已知椭圆的短轴长为，为椭圆的上顶点，过原点的直线与椭圆交于，两点（，不在坐标轴上），记直线，的斜率分别为，，则（）A.B.C.记直线的斜率为，可得D.记椭圆的右焦点为，可得的周长的取值范围为【答案】ACD【解析】由方程可知：，对于A选项，由，可得，故A选项正确；对于B选项，由，，两点关于原点对称，设，，有，可得，有，，有，故B选项错误；对于C选项，由，，有，故选项正确；对于D选项，记为椭圆的左焦点，连接，，由椭圆的对称性，有，又由，可得的周长的取值范围为，故D选项正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，若，则_____.【答案】【解析】由,有,可得,,可得.故答案为：.13.已知双曲线的离心率为，则双曲线的离心率为_____.【答案】【解析】由双曲线的离心率为，有，可得，所以双曲线的离心率为故答案为：.14.已知点是曲线上的动点，则的取值范围为_____.【答案】【解析】曲线可化为，可知曲线表示为以为圆心，1为半径在直线上方的半圆，又由，可得表示点与点两点间的直线的斜率，当直线与曲线相切时，设直线的方程为，有，解得（舍去）或，设曲线与直线的一个交点为，因为点和点两点间的直线的斜率为，所以，由图形可知的取值范围为，可得的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知直线的方程为.（1）若直线，且直线在轴上的截距为，求直线的方程；（2）若直线，且直线与直线之间的距离为3，求直线的方程.解：（1）由直线的斜率为，又由，可得直线的斜率为，又由直线在轴上的截距为，可得直线过点，可得直线的方程为，整理为.故直线的方程为.（2）由直线，可设直线的方程为，又由直线与直线之间的距离为3，有，解得或-16.故直线的方程为或.16.如图，在正方体中，是棱的中点，是棱的中点.（1）证明：；（2）求与平面所成的角的正弦值.（1）证明：不妨设，由正方体的性质，以为坐标原点，向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，可得，，因为，所以.（2）解：由（1）可得：，，，设平面的法向量为，则，令，则，，可得，则，可得与平面所成的角的正弦值为.17.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点.（1）若点在第一象限内，且，求点的坐标；（2）若，求的面积.解：（1）因，所以在以原点为圆心，以为半径的圆上，即在上.如图，联立，消去x得，解得（负值舍去），（负值舍去）.所以点的坐标为.（2）因为椭圆上的点，由椭圆的定义得，，又，所以，.在中，由余弦定理得.再由同角三角函数关系式可得，，所以.故的面积为.18.已知圆，半径为1的圆的圆心在第二象限，圆与两条坐标轴均相切.（1）求圆的标准方程；（2）求圆和圆的公切线的方程；（3）过点的直线与圆交于、两点，直线与圆交于、两点，证明：.（1）解：由圆与两条坐标轴均相切，圆的圆心在第二象限，半径为1，可得圆的圆心坐标为，故圆的标准方程为.（2）解：由，，有，又由，可得圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，又由，，圆和圆的半径分别为1，2，在平面直角坐标系中画出圆和圆的图象，可知轴和轴与圆和圆均相切，直线的方程为，整理为，可得直线与轴的交点为.设直线的倾斜角为，有，有，由于直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线，可得圆和圆的另一条公切线的斜率为，可得另一条公切线的方程为，整理为，轴与直线的交点为，可知点在圆和圆的另一条公切线上，设另一条公切线的方程为，整理为，有，解得.可得另一条公切线方程为，整理为，故圆和圆的公切线的方程为或或或.（3）证明：设过点的直线的方程为，整理为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，可得.又由，，所以.19.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程；（2）已知点，为双曲线的左、右顶点，直线与双曲线交于，两点，直线，分别与直线交于，两点.（i）当时，求；（ii）求点与点的纵坐标的比值.