河北省五校联合教研体2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省五校联合教研体2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分．）1.“”是“且”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当，此时满足，但且不成立，所以充分性不成立；反之：若且，可得成立，所以必要性成立，所以“”是“且”必要不充分条件.故选：B.2.设，则“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，由，根据传递性可知，因此“”能推出“”，因此充分性成立；不妨取，满足，但不成立，因此必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.化简：（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.4.下列命题中正确的是（）A.零向量没有方向 B.共线向量一定是相等向量C.若向量，同向，且，则 D.单位向量的模都相等【答案】D【解析】对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误；对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误；对于C：向量不可以比较大小，故C错误；对于D：单位向量模为，都相等，故D正确.故选：D.5.已知中，点，满足，，设，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选：A.6.与向量同向的单位向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以与向量同向的单位向量为.故选：B.7.已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设点的坐标为，因为，.因为是平行四边形，所以，即，解得，所以点的坐标为.故选：A.8.如图，在长方形中，，则（）A.-9 B.-4 C.4 D.9【答案】C【解析】在长方形中，由可知，所以，解得.故选：C.9.已知向量，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意.故选：A.10.已知，若，则等于（）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】因为，所以，又因为，所以，解得.故选：A.11.已知，则的最小值与最大值分别为（）A.，12 B.2，12 C.2，14 D.10，14【答案】B【解析】因为，所以，因为，则，所以，则的最小值与最大值分别为2，12.故选：B.12.已知和的夹角为，且，则（）A. B. C.3 D.9【答案】C【解析】.故选：C.13.已知向量，若，则的值为（）A.10 B. C. D.【答案】D【解析】由，可得，解得，，，则.故选：D.14.已知和是椭圆的两个焦点，过焦点的直线交椭圆于两点，则三角形的周长为（）A.16 B.6 C.5 D.11【答案】A【解析】由椭圆方程可知，，，所以.因点在椭圆上，所以由椭圆定义可知，所以三角形的周长为.故选：A.15.点到双曲线的一条渐近线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.故选：A.16.与双曲线有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设椭圆方程为，双曲线的焦点坐标为，又短轴长为2，故，解得：，则，故椭圆方程为.故选：C.17.设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（）A. B. C. D.【答案】B18.双曲线上的点到上焦点的距离为12，则到下焦点的距离为（）A.22 B.2 C.2或22 D.24【答案】A【解析】设的上、下焦点分别为，则．因为,,所以，，则，由双曲线的定义可知，，即，解得或，当时，，不符合题意；当时，，符合题意.综上所述：.故选：A.19.曲线与曲线有共同的（）A.长轴长 B.短轴长 C.离心率 D.焦距【答案】D【解析】中：长轴长，短轴长，离心率，焦距.曲线中：实轴长，虚轴长，离心率，焦距.曲线与曲线有共同的焦距.故选：.20.已知双曲线经过点，且与双曲线具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意设双曲线的标准方程为，代入点，得，得，所以双曲线的标准方程为.故选：A.二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）21.四边形中，“”是“是梯形”的___________条件．【答案】充分不必要【解析】若，则且，则四边形为梯形，故充分性成立，若为梯形，则或，若不平行于，则，故必要性不成立.所以“”是“是梯形”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.22.已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是_________________．【答案】【解析】试题分析：因为向量与的夹角为锐角，所以且与不共线，所以且，解之得：考点：向量夹角及坐标运算.23.已知两点，，则___________．【答案】10【解析】因为，，所以，所以.故答案为：10.24.椭圆的一个焦点是，那么等于________．【答案】1【解析】由，得，又椭圆的一个焦点为，所以，且，由，得，解得.故答案为：1.25.已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是__________．【答案】【解析】设双曲线的方程为一条渐近线方程为.该双曲线的离心率.三、解答题（本题共5小题，共45分，请在答题卡中对应题号下面指定位置作答，解答应写出文字说明及演算步骤）26.已知条件：，条件：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解：由可得或，由，即可得，故条件对应的的取值范围为：，因为是的必要不充分条件，故是的真子集，则，且，解得.即实数的取值范围为：.27.已知单位向量与的夹角为．（1）求；（2）求向量与的夹角的余弦值；（3）若，求的值．解：（1）.（2），.（3）因为，所以.所以，解得．28.平面内给定两个向量，（1）求；（2）若，求实数k的值.解：（1）因为，，所以，则（2）由题意，，.因为，则，解得.29.已知椭圆：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）若直线的斜率为，求的面积．解：（1）依题意，的周长为，解得，而离心率，则椭圆半焦距，，所以椭圆的方程为．（2）由（1）知，，，由对称性不妨令，则直线方程为，由消去并整理得，解得，，，，所以的面积.30.已知