高一物理（人教版）学案 必修二 第五章 综合 融通（一）小船渡河和关联速度模型

4/4综合·融通(一)小船渡河和关联速度模型(融会课主题串知综合应用)高考物理命题改革的指导思想要求具备综合运用所学知识分析、解决实际问题的能力。运动的合成与分解中的小船渡河和关联速度模型就是“学以致用,活学活用”的典型应用。通过本节课的学习要掌握建立小船渡河模型的一般思路和解法,建立常见的绳、杆关联速度模型的解法。主题(一)小船渡河模型[知能融会通]1.三个速度(1)分速度v水:水流的速度。(2)分速度v船:船在静水中的速度。(3)合速度v:表示船的实际航行的速度。2.两类问题类型矢量图解过河方法渡河时间最短当船头方向(即v船方向)垂直于河岸时,渡河时间最短,最短时间tmin=d渡河位移最短如果v船>v水,当船头朝向上游与河岸夹角θ满足v船cosθ=v水时,合速度垂直于河岸,渡河位移最短,等于河宽d如果v船<v水,当船头方向与合速度方向垂直时,渡河位移最短,等于d[典例]一小船渡河,河宽d=180m,水流速度为v1=2.5m/s。小船在静水中的速度为v2=5m/s,求:(1)小船渡河的最短时间为多少?该过程渡河位移多大?(2)欲使小船渡河的航程最短,船头应朝什么方向?用多长时间?尝试解答:[变式拓展]对应典例的情境,如果水流速度变为v1=6.25m/s,欲使小船渡河的航程最短,船头应朝什么方向?此时最短航程为多少?[题点全练清]1.(2024·长沙高一调研)如图所示,快艇在静水中的航行速度大小为13m/s,某河流的水流速度大小为5m/s,已知快艇在此河流中渡河的最短时间为12s。若快艇以最短路程渡河,则渡河的时间为()A.13s B.15s C.18s D.20s2.如图所示,某河流中水流速度大小恒为v1,A处的下游C处是个漩涡,A点和漩涡的连线与河岸的最大夹角为θ。为使小船从A点出发以恒定的速度安全到达对岸,小船航行时在静水中速度的最小值为()A.v1sinθ B.v1cosθC.v1tanθ D.v主题(二)关联速度模型[知能融会通]1.两物体通过不可伸长的轻绳(杆)相连,当两物体都发生运动,且物体运动的方向不在绳(杆)的直线上时,两物体的速度是关联的。2.处理关联速度问题的方法:首先认清哪个是合速度、哪个是分速度。物体的实际速度一定是合速度,分解时两个分速度方向应取沿绳(杆)方向和垂直绳(杆)方向。3.常见的速度分解模型情境图示定量结论v=v∥=v物cosθv物'=v∥=v物cosθv∥=v∥'即v物cosα=v物'cosβv∥=v∥'即v物cosθ=v物'cosα[典例](多选)如图所示,一条不可伸长的细绳跨过一个小定滑轮,将A、B两物体连在一起,B物体以速度v0向左匀速运动,当细绳与水平方向成θ角时(0<θ<90°),A物体的速度大小和绳的拉力与A物体重力之间的关系为()A.A物体的速度大小为vB.A物体的速度大小为v0cosθC.绳的拉力大于A物体重力D.绳的拉力等于A物体重力听课记录:[题点全练清]1.(2024·广东佛山高一期末)(多选)钓鱼是一项受欢迎的运动,钓到大鱼时一般会先将鱼遛至没有力气再收线,如图所示,在收尾阶段,鱼已经浮在水面不再挣扎,钓鱼者以恒定速率v收鱼线(钓鱼者和鱼竿视为不动),鱼线与水平面的夹角为θ,以下说法正确的是()A.鱼在靠近钓鱼者过程中速率增大B.当θ=60°时,鱼的速率为2vC.当θ=37°时,鱼的速率为0.8vD.鱼受到的合外力恒定2.如图所示,一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的小球A和B(A、B均可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑,当轻杆到达位置2时,小球A与球形容器球心等高,其速度大小为v1,已知此时轻杆与水平面成θ=30°角,小球B的速度大小为v2,则()A.v2=12v1 B.v2=2vC.v2=v1 D.v2=3v1课下请完成课时跟踪检测(三)综合·融通(一)小船渡河和关联速度模型主题(一)[典例]解析：(1)欲使小船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸渡河时，如图甲所示，小船的合速度方向为倾斜方向，垂直河岸的分速度为v2＝5m/s，小船渡河的最短时间t＝eq\f(d,v2)＝eq\f(180,5)s＝36s，小船的合速度大小为v合＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2))＝eq\f(5\r(5),2)m/s，该过程渡河位移大小为x＝v合t＝90eq\r(5)m。(2)欲使小船渡河的航程最短，小船的合运动方向应垂直河岸。船头应朝上游与河岸成某一角度β，如图乙所示，由v2cosβ＝v1，得β＝60°。所以当船头朝上游与河岸成60°角时，小船渡河的航程最短，则最短航程x＝d＝180m所用时间t′＝eq\f(d,v合′)＝eq\f(d,v2sin60°)＝eq\f(180,\f(5,2)\r(3))s＝24eq\r(3)s。答案：(1)36s90eq\r(5)m(2)船头应朝上游与河岸成60°角24eq\r(3)s[变式拓展]解析：因为v1＝6.25m/s＞v2＝5m/s，合速度方向不可能垂直于河岸。如图所示，当船头与河岸上游夹角θ满足cosθ＝eq\f(v2,v1)＝eq\f(5,6.25)＝eq\f(4,5)，得θ＝37°，此时小船渡河的航程最短，最短航程为xmin＝eq\f(d,cosθ)＝225m。答案：船头应朝上游与河岸成37°角225m[题点全练清]1．选A设河宽为d，快艇渡河时间最短，船头指向需垂直河岸，最短渡河时间为t＝eq\f(d,v静)，则河宽d＝v静t＝13×12m＝156m，由于快艇的静水航行速度大于水流速度，以最短路程渡河时，快艇的合速度方向应垂直河岸，如图所示，快艇的合速度大小为v＝eq\r(v\o\al(2,静)－v\o\al(2,水))＝eq\r(132－52)m/s＝12m/s，渡河的时间为t′＝eq\f(d,v)＝eq\f(156,12)s＝13s，故A正确。2.选A如图所示，设小船航行时在静水中速度为v2，当v2垂直AB时速度最小，由三角函数关系可知v2＝v1sinθ，故A正确。主题(二)[典例]选BC将B物体的速度v0沿绳子的方向和垂直于绳子的方向进行正交分解，如图所示，则有A物体上升的速度vA＝v0cosθ，故A错误，B正确；由于B物体以速度v0向左匀速运动，θ变小，则vA变大，A物体加速上升，处于超重状态，所以绳的拉力大于A物体的重力，故C正确，D错误。[题点全练清]1.选AB将鱼的速度分解为沿鱼线方向的速度和垂直鱼线方向的速度，如图所示，则v＝v鱼cosθ，钓鱼者以恒定速率v收鱼线过程中，鱼线与水平面的夹角θ增大，则v鱼增大，鱼做变加速运动，鱼受到的合外力不是恒定值，故A正确，D错误；根据v＝v鱼cosθ，可知当θ＝60°时，v鱼＝2v，当θ＝37°时，v鱼＝1.25v，故B正确，C错误。2