等腰三角形的判定课件华东师大版八年级数学上册

第十二章

全等三角形12.3

等腰三角形等腰三角形的判定数学华东师大版八年级上册1.掌握等腰、等边三角形判定定理；2.会利用等腰、等边三角形的判定定理解决相关问题；3.经历探索等腰三角形和等边三角形判定定理的过程，培养学

生从猜想验证到严谨证明的科学思维，掌握从特殊到一般、类比归纳的数学方法；4.通过探究积累数学活动经验，发展空间观念.1.什么是等腰三角形？有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.等腰三角形具有哪些性质呢？①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)；③等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线，互相重合(三线合一).活动一：等腰三角形的判定思考：对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三角形呢?根据定义，看它是否有两条边相等.想一想：你还能找到其他的判定方法吗？活动一：等腰三角形的判定我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？做一做：如图，已知∠α，试作△ABC，使∠A=∠B=∠α

.作法：作∠BAM=∠α，∠ABN=∠α，AM与BN交于点C.如图

，△ABC即为所求作的三角形.αABCMN量一量：你发现了什么？如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形.活动一：等腰三角形的判定猜想：有两个角相等的三角形是等腰三角形.AC=BC△ABC是等腰三角形你能证明上述猜想吗？已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC.ACB已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC.ACB活动一：等腰三角形的判定分析：要证明AB=AC，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边，于是想到作∠BAC的平分线AD.ACBD12证明：如图，作∠BAC的平分线AD，在△BAD和△CAD中，∠B=∠C，∠1=∠2，AD=AD∴△BAD≌△CAD(AAS)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)还能添加怎样的辅助线呢？已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC.ACB活动一：等腰三角形的判定分析：要证明AB=AC，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边.ACBD12ACBDAD⊥BC△BAD≌△CAD(AAS)我们得到等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简写成“等角对等边”.总结几何语言：在△ABC中，∠B=∠C，∴AB=AC.ACB活动一：等腰三角形的判定活动二：等边三角形的判定思考：一个三角形满足什么条件就是等边三角形？猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形.已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C，求证：△ABC是等边三角形.ACB根据定义，三边都相等的三角形是等边三角形.你能证明上述猜想吗？活动二：等边三角形的判定ACB证明：∵∠A=∠B，∴AB=AC，同理，AB=BC∴AB=AC=BC∴△ABC是等边三角形.已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C，求证：△ABC是等边三角形.我们得到等边三角形的判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.总结几何语言：在△ABC中，∠A=∠B=∠C∴△ABC是等边三角形.ACB活动二：等边三角形的判定活动二：等边三角形的判定思考：如果是一个等腰三角形，那么满足什么条件就是等边三角形呢？猜想：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形.ACB你能证明上述猜想吗？活动二：等边三角形的判定ACB证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又由∠A=60°，∴∠B=∠C=∠A=60°，∴△ABC是等边三角形.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求证：△ABC是等边三角形.我们得到等边三角形的判定2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.总结几何语言：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°∴△ABC是等边三角形.ACB顶角、底角都可以活动二：等边三角形的判定总结活动二：等边三角形的判定判定方法等腰三角形等边三角形定义有两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形其他有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形如图，在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°．求证：AB＝AC.分析：利用三角形的内角和定理及等角对等边进行求解即可.证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°，∠B=70°∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-40°-70°=70°∴∠C=∠B∴AB=AC(等角对等边)注意利用等角对等边的判定方法，需要找准对应的边和角.教材例题ABC40°70°如图，AB//CD，∠1＝∠2.求证：AB＝AC.证明：∵AB∥CD∴∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)又∵∠1=∠2(已知)∴∠B=∠1(等量代换)∴AB=AC(等角对等边)ABCD12教材例题分析：要证AB=AC，可以设法证明∠B=∠1，而∠1=∠2，因此只要证明∠B=∠2即可.

如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.B′C′A′BABCC′(C)A′(A)证明：由于直角边AC＝A′C′，我们移动Rt△ABC，使点A与点A′、点C与点C′重合，且使点B与点B′分别位于A'C'的两侧.∵∠A′C′B=∠A′C′B′=90°，∴∠B′C′B＝∠A′C′B′+∠A′C′B=180°，即点B′、C′、B在同一条直线上.教材例题

如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.B′C′A′B证明：在△A′B′B中，∵

A′B′=AB=A′B，∴∠B=∠B′(等边对等角)在△ABC和△A′B′C′中，∵∠B=∠B′，∠ACB=∠A′C′B′，AC=A′C′∴

Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.(AAS)这样，我们就证明了前面已给出的判定直角三角形全等的HL判定定理.教材例题

如图，在等边三角形ABC中，DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形.经典例题ACBDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.教材练习1.如图，∠A=72°，∠B=36°，CD平分∠ACB.试指出图中的哪些三角形是等腰三角形，并说明理由.解：∵∠A=72°，∠B=36°，∴∠ACB=72°，∴∠ACB=∠A，∴△ABC是等腰三角形.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=36°，∴∠ADC=72°，∴∠ADC=∠A，∠BCD=∠B∴△ACD、△BCD是等腰三角形.BACD2.如图，AB=DC，∠ABC=∠DCB，AC、BD相交于点E.求证：EB=EC.BAEDC证明：在△ABC和△DCB中，∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB(SAS)，∴∠ECB=∠EBC，∴EB=EC.教材练习证明：∵CE∥DA，∴∠A=∠CEB.∵∠A=∠B，∴∠CEB=∠B，∴CE=CB.3.如图，∠A=∠B，CE∥DA.求证：CE=CB.需再增加什么条件，可使△BCE成为等边三角形？ABECD教材练习再增加∠B＝60°，可使△BCE成为等边三角形(任意一角)；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.也可以：BE=BC，BE=CE(三边都相等的三角形是等边三角形).(答案不唯一)作法：①作线段BC=a.②作线段BC的垂直平分线DE，交BC于点D.③在DE上截取DA=h.④连接AB、AC，则△ABC即为所求作的等腰三角形.4.已知底边及底边上的高线作等腰三角形，即：如图，已知线段a、h，求作△ABC使AB=AC，BC=a，边BC上的高AD=h.(不写作法，保留作图痕迹)ha教材练习DBCEA5.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm.96.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有()A.4个B.5个C.6个D.7个DACBDEOBCDAE7.如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，BD=BE，求∠EDA的度数.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠CBA=60°.∵BD是AC边上的中线，∴∠BDA=90°，∠DBA=30°.∵BD=BE，∴∠BDE=∠BED，∴∠BDE=(180°-∠DBA)÷2=(180°-30°)÷2=75°.∴∠EDA=90°-∠BDE=90°-75°=15°.8.如图，A，O，D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.CBODAEF解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，∴AO=BO=CO=DO，∠AOB=∠COD=60°.∵A，O，D三点共线，∴∠