高三一轮教案数学第七章73空间点直线平面之间的位置关系

§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.1.基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.2.“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.3.空间中直线与直线的位置关系共面直线4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α=A1个平行a∥α0个在平面内a⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β=l无数个5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.6.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：0，1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.(×)(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种.(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(×)(4)两两相交的三条直线共面.(×)2.用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，正确的是()A.A∉m，m⊂αB.AB.A∉m，m∈αC.A⊄m，m⊂α D.A⊄m，m∈α答案A解析由题意用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，即A∉m，m⊂α.3.(多选)下列命题正确的是()A.空间任意三个点确定一个平面B.一个点和一条直线确定一个平面C.两条相交直线确定一个平面D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面答案CD解析A中，空间不共线的三点确定一个平面，A错；B中，只有点在直线外时才能确定一个平面，B错；C中，两条相交直线确定一个平面，C正确；D中，空间两两平行的三条直线确定一个平面或三个平面，D正确.4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为.

答案60°解析因为M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，所以MN∥BC1，又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC∥A1C1，所以∠A1C1B或其补角为异面直线AC和MN所成的角，又在正方体ABCDA1B1C1D1中，△A1C1B为正三角形，所以∠A1C1B=60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.(1)异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.(2)异面直线所成角的范围：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.题型一基本事实的应用例1已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点.证明(1)如图所示，连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点.所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.(3)因为EF∥BD且EF<BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点.思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.跟踪训练1如图，已知空间四边形ABCD，E，F分别是AB，BC的中点，G，H分别在CD和AD上，且满足CGGD=AHHD(1)E，F，G，H四点共面；(2)EH，FG，BD三线共点.证明(1)因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.又因为CGGD=所以GH∥AC.所以EF∥GH，所以E，F，G，H四点在同一平面内，即E，F，G，H四点共面.(2)因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，EF=12AC由题意知CGGD=AHHD=2，HG∥AC，HG=1所以四边形EFGH为梯形，直线EH和FG必相交，设交点为M，即EH∩FG=M，因为EH⊂平面ABD，所以点M∈平面ABD，同理可得点M∈平面BCD.又因为平面ABD∩平面BCD=BD，所以点M∈直线BD，所以直线EH，FG，BD三线共点.题型二空间位置关系的判断例2(1)(多选)下列推断中，正确的是()A.若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈lB.若α∩β=l，a⊂α，b⊂β，a∩b=A，则A∈lC.l⊄α，A∈l⇒A∉αD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案ABD解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β=l，由基本事实3可知M∈l，A对；对于B，若a⊂α，b⊂β，a∩b=A，则A∈α，A∈β，因为α∩β=l，所以A∈l，B对；对于C，若l∩α=A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对.(2)(多选)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是()A.AB1 B.A1CC.A1A D.AD1答案BCD解析对于A，如图①，连接AB1，C1D，BD，当P为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故A不正确；对于B，如图②，连接A1C，A1C1，AC，因为A1C⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1C，P∉平面AA1C1C，所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确；对于C，如图②，因为A1A⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1A，P∉平面AA1C1C，所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确；对于D，如图③，连接AD1，D1C，AC，因为AD1⊂平面AD1C，O∈平面AD1C，O∉AD1，P∉平面AD1C，所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确.思维升华判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断.二是排除法.特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.”跟踪训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC=∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A.平行 B.异面C.相交或平行 D.平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况，由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况.(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是()A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交答案D解析如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.题型三异面直线所成的角例3(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BD的中点，则直线B1E与A1D所成的角为()A.30° B.60° C.120° D.150°答案A解析如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1=DC，A1B1∥DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，则有A1D∥B1C，所以直线B1E与A1D所成的角等于直线B1E与B1C所成的角，设正方体的棱长为2，则BB1=2，BE=CE=2，B1C=2B1E=BB1在△EB1C中，cos∠EB1C=B1E所以∠EB1C=30°.所以直线B1E与A1D所成的角为30°.(2)如图，已知正四棱锥PABCD的所有棱长均为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为()A.63 B.C.13 D.答案B解析连接AC，取AC的中点O，连接OE，OB，由题意知，EO∥PC，则异面直线BE与PC所成的角为∠BEO(或其补角)，在△BEO中，EO=1，BO=2，BE=则cos∠BEO=BE2则异面直线BE与PC所成角的余弦值为33思维升华异面直线所成角的求法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解跟踪训练3(1)(2025·崇明模拟)已知底面半径为1的圆柱，O是其上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线.若直线OA与BC所成角的大小为π3，则BC=答案3解析如图所示，过A作母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，则∠OAD=π在Rt△OAD中，可得AD=1tanπ即BC=33(2)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=8，AD=6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为15，则该长方体外接球的表面积为(A.90π B.196πC.784π D.1372π答案B解析连接AC与BD交于O点，则O为AC中点，取CC1的中点E，连接BE，OE，则AC1∥OE，所以∠EOB为异面直线BD与AC1所成的角(或补角)，设CE=x，AB=8，AD=6，则BE=x2+36，OB=OC=5在△OBE中，由余弦定理得BE2=OB2+OE22OB×OE×cos∠EOB，若cos∠EOB=1则36+x2=25+25+x2225解得x=26(负值舍去)，若cos∠EOB=15，则36+x2=25+25+x2+225所以CC1=2x=46所以长方体的体对角线长为36+64所以长方体的外接球的半径R=7，所以长方体外接球的表面积S=4πR2=196π.课时精练[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.若直线上有两个点在平面外，则()A.直线上至少有一个点在平面内B.直线上有无穷多个点在平面内C.直线上所有点都在平面外D.直线上至多有一个点在平面内答案D解析根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内.2.下列说法正确的是()A.空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面B.若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面C.和两条异面直线都相交的两直线是异面直线D.若两直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面答案D解析对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面，故A错误；对于B，若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面或平行，故B错误；对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故C错误；对于D，如图，在长方体ABCDA'B'C'D'中，当A'B所在直线为a，BC'所在直线为b时，a与b相交，当A'B所在直线为a，B'C所在直线为b时，a与b异面，若两直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面，故D正确.3.下列推理错误的是()A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β=ABC.A∈l，l⊂α⇒A∈αD.若直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b为异面直线答案D解析由A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，根据基本事实2可得l⊂α，故A正确；由A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，根据基本事实3可得α∩β=AB，故B正确；由A∈l，l⊂α可得A∈α，故C正确；由于平面α和平面β位置不确定，则直线a与直线b位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故D错误.4.在三棱锥ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG=P，则点P()A.一定在直线BD上B.一定在直线AC上C.可能在直线AC上，也可能在BD上D.不在直线AC上，也不在直线BD上答案B解析因为EF∩HG=P，E，F，G，H四点分别是AB，BC，CD，DA上的点，所以EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，所以P既在平面ABC内，又在平面ACD内，所以P在平面ABC和平面ACD的交线上，又平面ABC∩平面ACD=AC，所以P∈AC.5.已知平面α∩平面β=l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l=M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A.直线CM B.直线BMC.直线AB D.直线BC答案B解析已知过A，B，C三点确定的平面为γ，则AC⊂γ.又AC∩l=M，则M∈γ，又平面α∩平面β=l，则l⊂α，l⊂β，又因为AC∩l=M，所以M∈β，因为B∈β，B∈γ，所以β∩γ=BM.6.安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体ABCDA1B1C1D1.已知该正方体中，点E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过D1，E，F三点的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线AD1所成的角为()A.π3 B.π6 C.π答案A解析如图所示，在平面AA1D1D中，连接D1E与DA的延长线交于点H，则HA=AD，在平面CC1D1D中，连接D1F与DC的延长线交于点G，则GC=CD，则GH为平面D1EF与平面ABCD的交线l，且GH∥AC，而在等边△ACD1中AC与AD1所成的角为π故l与直线AD1所成的角为π3二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.给出以下四个命题，其中错误的是()A.不共面的四点中，其中任意三点不共线B.若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面C.若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面D.依次首尾相接的四条线段必共面答案BCD解析反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上，根据基本事实2的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故A正确；如图1，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面，但A，B，C，D，E不共面，故B错误；如图2，a，b共面，a，c共面，但b，c异面，故C错误；如图3，a，b，c，d四条线段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D错误.图1图2图38.如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，E，F分别是棱PD，PA的中点，下列说法正确的有()A.多面体ABFDCE是三棱柱B.直线BF与PC互为异面直线C.平面ADP与平面BCP的交线平行于EFD.四棱锥PABCD和四棱锥PBCEF的体积之比为8∶3答案BCD解析对于A，多面体ABFDCE中，由直线AF∩DE=P，得平面ABF与平面DCE不平行，显然多面体ABFDCE中不存在平行的两个面，则该多面体不是三棱柱，A错误；对于B，由E，F分别是棱PD，PA的中点，得EF∥AD∥BC，BF⊂平面BCEF，C∈平面BCEF，P∉平面BCEF，C∉BF，因此直线BF与PC互为异面直线，B正确；对于C，由AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，则AD∥平面PBC，令平面PBC∩平面PAD=l，而AD⊂平面PAD，则l∥AD∥EF，C正确；对于D，连接AC，CF，令四棱锥PABCD的体积为V，由E，F分别是棱PD，PA的中点，得V三棱锥PBCF=V三棱锥BPCF=12V三棱锥BPCA=12V三棱锥PABC=14V，V三棱锥PCEF=V三棱锥CPEF=14V三棱锥CPDA=14V三棱锥PADC=18V，因此四棱锥PBCEF的体积V四棱锥PBCEF=V三棱锥PBCF+V三棱锥PCEF=三、填空题(每小题5分，共10分)9.已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点.若α∩β=l，m⊂α，n⊂β，m∩n=P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为.

答案P∈l解析∵m⊂α，n⊂β，m∩n=P，∴P∈α且P∈β，又α∩β=l，∴点P在直线l上，即P∈l.10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有对.

答案3解析画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF).故共有3对.四、解答题(共27分)11.(13分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点.(1)求异面直线A1E与D1F所成角的余弦值；(7分)(2)求三棱锥A1D1EF的体积.(6分)解(1)如图，设BB1的中点为H，连接HF，EH，A1H，因为F是CC1的中点，所以A1D1∥CB∥HF，A1D1=CB=HF，因此四边形A1D1FH是平行四边形，所以D1F∥A1H，D1F=A1H，因此∠EA1H是异面直线A1E与D1F所成的角或其补角，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E是AB的中点，所以A1E=A1H=22+EH=12+由余弦定理可知，cos∠EA1H=A1E2+所以异面直线A1E与D1F所成角的余弦值为45(2)因为A1D1∥HF，HF⊄平面A1D1E，A1D1⊂平面A1D1E，所以HF∥平面A1D1E，因此点H，F到平面A1D1E的距离相等，即V三棱锥A1-D1V三棱锥D1-A1EH==13×2×22所以三棱锥A1D1EF的体积为1.12.(14分)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点，M为AB上一点.(1)若D1E与CM相交于点K，求证：D1E，CM，DA三条直线相交于同一点；(4分)(2)若AB=2，AA1=4，∠BAD=π3，求点D1到平面FBD的距离.(10(1)证明∵D1E与CM相交于点K，∴K∈D1E，K∈CM，而D1E⊂平面ADD1A1，CM⊂平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD，∴K∈AD，∴D1E，CM，DA三条直线相交于同一点K.(2)解∵四边形ABCD为菱形，AB=2，∴BC=CD=2，而四棱柱的侧棱AA1⊥底面ABCD，∴CC1⊥底面ABCD，又∵F是CC1的中点，CC1=4，∴CF=2，∴BF=DF=22又∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=π∴BD=AB=2，∴S△FBD=12×2×(22)连接D1F，D1B(图略)，设点D1到平面FBD的距离为h，点B到平面DD1F的距离为d，则d=2sinπ3=又∵V三棱锥D∴13×S△FBD×h=13×S△∴13×7×h=13×12×4×解得h=421即点D1到平面FBD的距离为42113题5分，14题6分，共11分13.(2025·绵阳模拟)在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，BC=25，CD=2，沿对角线BD将△CBD折起，所得四面体ABCD外接球的表面积为24π，则异面直线AB与CD所成的角为(A.30° B.45° C.60° D.90°答案D解析取BC中点O1，AD中点O2，BD中点F，则O1为△BC